Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Курсовое проектирование. Учебное пособие.pdf
Запишем разностное уравнение:
() ( 1) () ( 1) ( 2)Uk Uk q ek q ek q ek
Рассмотрим единичное ступенчатое изменение сигнала ошибки:
Сформируем систему уравнений для последовательных значений выходного сигнала регулятора U(k):
Uq
(0) ;
0
U U qq qq
(1) ( 0) 2 ;
UUqqqqqq
(2) (1) 3 2 ;
.
.
.
Uk Uk q q q k q k q k q
() (1) (1) (1)
В случае, когда U(1)<U(0), дискретный регулятор соответствует непрерывному ПИД-регулятору с дополнительной задержкой сигнала на один такт. Если параметр регулятора q
то можно записать следующие соотношения для параметров регулятора q
, q1 и q2:
0
при
при
() ( 1)Uk Uk
или
Таким образом, обобщая допустимые диапазоны изменения
параметров регулятора, получим:
Реакция регулятора на единичное ступенчатое входное воздействие имеет вид, представленный на рис. 14.
(3.7.14)
01 2
0;
1
ek k
() 1()
01 01
012 0 12
012 0 1 2
(1) ( 0)UU
00
:
01
при k
при k
0qq или
для : 2k
0
20
0q ;
qq
10
(qqq
;
) (3.7.18)
1
()qq q q
. (3.7.19)
01 2
(3.7.15)
.
qq
; (3.7.17)
1
0
012
0
0qqq
(3.7.16)
> 0,
0
51
K
K
)(ke
)(kU
q
0
)(20qq
0
2
1
1
34567
)2(
qq
10
2
34567
89
89
k
k
Рис. 14. Реакция ПИД-регулятора на единичное ступенчатое
воздействие
Определим следующие коэффициенты, характеризующие
свойства регулятора:
qq– коэффициент передачи;
0p 2
q
2
C
D
C
I
– коэффициент опережения;
p
(
qqq
012
K
p
)
– коэффициент интегрирования.
Эти коэффициенты, определяющие вид переходного процесса
регулятора, изображены на рис. 15.
)(kU
)1(ДрCK
qqq
210
CK
Iр
K
р
0
2
1
)1(IрCK
34
5
67
89
k
Рис. 15. Определение коэффициентов ПИД-регулятора
по графику переходного процесса на выходе регулятора
52
K
D
Коэффициенты при малых значениях такта квантования связаны с соответствующими коэффициентами непрерывных ПИДрегуляторов следующими соотношениями:
T
CT
K
pp
;
D
0
Если рассматриваемые выше коэффициенты подставить в (7.13),
то дискретная передаточная функция регулятора примет вид:
1(21)
KCCCzCz
pDID D
Wz
() .
p
z
1
Разностное уравнение ПИД-регулятора можно представить в виде:
(1 ) ( )
Cek
() ( 1)
Uk Uk K
p
Положив в уравнении (3.7.11) , полу
D
(21)(1) (2)
CC ek Cek
ID D
2
функцию:
qqz
()
01
1
Wz
p
Этой передаточной функции соответствует разностное уравнение:
() ( 1) () ( 1)Uk Uk q ek q ek
. (3.7.24)
01
Реакция регулятора на единичное ступенчатое входное воздействие определяется следующей системой уравнений:
(0) ;
Uq
U U qq qq
UUqqqq
.
0
(1) ( 0) 2 ;
(2) (1) 3 2 ;
01 01
01 0 1
.
.
Uk Uk q q k q k q
() ( 1) ( 1) .
01 0 1
При U(1) > U(0) алгоритм управления первого порядка аналогичен непрерывному ПИ-регулятору без дополнительной задержки.
Реакция дискретного ПИ-регулятора на дискретное ступенчатое воздействие будет аналогична реакции непрерывного ПИрегулятора на единичное ступенчатое воздействие, если
53
T
0
CT
;
1
0q
z
. (3.7.20)
I
I
12
чим передаточную
1
. (3.7.23)
1
(3.7.25)
(3.7.21)
(3.7.22)
K
U(0) < U(1)
< U(2) ет q
<…. Поэтому, если парам р регулятора
> 0,
0
получаем следующее соотношение, которому должны удовлетворять параметры q
Реакция дискретного ятора пер
ный
ступенчатый сигнал имеет вид, представленный на рис. 16.
)(kU
q
0
0
Рис. 16. Реакция ПИ-регулятора на единичное ступенчатое
ведем следующие коэ характеризующие свойст-
В ффициенты,
ва д
искретного ПИ-регулятора:
q – коэффициент передачи;
0p
и q1:
0
00
2
1
()qq
C
I
q
2qq
или
34
01
K
p
0qq
1
регу
л вого порядка на единич-
воздейст
, или (3.7.26)
01
5
67
вие
10
89
.qq
qq
10
k
– коэффициент интегрирования. (3.7.27)
С учетом выражения (3.7.27) разностное уравнение ПИрегулятора можно записать в виде:
() ( 1)
Uk Uk K e() ( 1) ( 1)
. (3.7.28)
Подставляя введенные коэффициенты в выражени
дато
чной функции (3.7.23), получим:
KC1)
Wz
()
p
Если параметр q
гуля
тор интегрирующего типа с передаточной функцией:
выбран равным нулю, то
0
p
Wz
()
p
k C ek
p
1(
1
qz
1
z
1
I
1
z
1
(3.7.30)
1
I
1
z
. (3.7.29)
будет получен ре-
е для пере-
54
соответствующим разностным уравнением: и
() ( 1) (Uk Uk q ek 1)
Другими частными случаями является регулятор П-типа, передаточная функция которого:
получена из
KCz
pI
()
Wz
p
и регулятор ПД-типа с передаточной функцией:
Wz q q z
p
полученной из
(1 ) ( 2 1)
K
p
0
()
Wz
p
при
CCCzCz
DID D
C
В практике цифрового ирования известно и широко испол
ьзуется большое число модификаций дискретных алгоритмов
управления. Так, для уменьшения больших изменений управляющей переменной U(k) при резких изменениях задающего сигнала
()wk это задающее воздействие ()wk исключают из дифференци-
альн а уп
ого члена дискретного закон равления. В результате вме-
сто алгоритма, где
() ( 1) ( 2),
qek qek qek
() ( 1)Uk Uk
ТТТ
ДДД
qK q K qK
01 1
1, 12 , ,
pp p
ТТТТ
000
01 2
который можно записать в виде одного уравнения
Uk Uk K ek ek
() ( 1) () ( 1)
Kekekek
p
Т
Д
() 2( 1) ( 2) ,
Т
0
получается модифицированный алгоритм
. (3.7.31)
1
W
()
p
1( 1)
1
()
1
. (3.7.35)
I
(3.7.32)
z q
0
1
при 0
C
1
z
,
02
1
z
1
I
12
регул
Т
0
И
T
p
0
T
И
(3.7.37)
(3.7.33)
(3.7.34)
(3.7.36)
55
Т
Uk K ek ek (1)
() (1) ()(1)Uk
Kykykyk
p
Т
Д
[(
Т
0
p
)2( 1) ( 2)],
() () ()yk wk ek
де – регу
г
Дополнительно правляющей пе-
рем
енной U(k) добиваются, оставляя значение задающего сигнала
()wk только в интегрирующем члене алгоритма (3.7.38):
() ( 1) () ( 1) ( 1)
Uk
Ky
го у
Uk K yk yk ek
Т
Д
[(
p
Т
0
лируемая координата.
меньшения амплитуды у
p
)2( 1) ( 2)].
kykyk
В алгоритме (3.7.39), кроме того, предпочтительнее использо-
вать сигнал e(k) вместо e(k-1):
Uk
Uk K yk ( 1) [ () ()]
() ( 1) ()
Т
Д
Kykykyk
[(
p
Т
0
p
)2( 1) ( 2)].
yk wk yk
Рассмотренные модифицированные алгоритмы менее чувстви-
ны к высокоча
тель
по сравнению с сигналом y(k). Поэтому параметры р гуляторов -
е , полу
стотным составляющим сигнала
ченные в результате оптимизации для определенных типов возмущений, например, для возмущений на входе объекта и на входе системы,
будут отличаться незначительно. Существенные изменения управляющей переменной могут быть также уменьшены путем ограничения
скорости изменения задающей и (или) управляющей переменной. Поскольку такие ограничения оказываютс
я эффективными для всех типов возмущений, их применение предпочтительнее использования модифицированных алгоритмов управления, описываемых уравнениями
(3.7.39) и (3.7.40).
Другие моди
лич
ных способах реализации дифференцирующей части. Часто
фикации алгоритмов управления сос
регулируемая переменная содержит относительно высокочастот-
0
ek
Т
И
Т
0
Т
И
Т
0
Т
И
(3.7.38)
(3.7.39)
(3.7.40)
()wk
тоят в раз-
56
ный шум, который не измеряется, что приводит к нежелательным
существенным колебаниям управляющей координаты, если дифференцирующая часть алгоритма сформирована с использованием
первой разности в нерекуррентной форме
T
()
ek
Teke
Д
TT
или в рекуррентной форме
T
Д
((
ek) 2( 1) ( 2)).ek ek
T
0
Введение дифференцирующего члена в алгоритм управления
част
о может быть необходимым для улучшения качества процессов управления при наличии среднечастотных шумов не слишком
большого уровня, поскольку в этом случае происходит приближенное сокращение полюсов объекта, что приводит к расширению
областей устойчивости и возможности увеличения коэффициента
передачи. Следовательно, при введении дифференцирующего члена в алгоритм уп
равления следует, учитывая сказанное выше, вы-
бирать его параметры для обеспечения допустимого компромисса.
Одна из возможностей состоит в том, чтобы выбирать отношение
T /
меньшим его оптимальной величины. Можно также сгладить
ДТ0
дифференцирующие свойства алгоритма, используя четыре последовательных значения сигнала ошибки для формирования первой разности. Для этого сначала оценивается среднее значение ошибки
1
eekekekek (3
k
() ( 1) ( 2) ( 3),
4
после чего все аппроксимации первой производной усредняются по
отношению к
e . Дифференцирующий член, представленный в нере-
k
куррентной форме, в этом случае запишется в следующем виде:
T
eekeekeeekeek
kkkkk
T
Д
TT
00000
T
Д
6
T
0
() ( 1) ( 2) ( 3)
Д
41
( ) 3( 1) 3( 2) ( 3).
ek ek ek ek
,5 0,5 0,5 1,5
TTT
Для рекуррентной формы имеем
Т
Д
ek ek ek
() 2( 1) 6( 2)
6
Т
0
Д
00
(()
k
( 1))
ek ek
2( 3) ( 4)
.7.41)
(3.7.42)
(3.7.43)
57
Еще один подход, применимый лишь при выборе
тов квантования в системе, состоит в использовании ди
щего члена, такого, как в непрерывной передаточной функции
рую
Tp
Gp K
() 1 ,
и применении соотношения
1
Tp Tp
1
II
Д
(2( 1) 1)pzTz для аппрок-
0
малых так-
фференци-
симации непрерывных зависимостей. В результате такой подстанов непрерывного сле
ки получим из приведенного дующий дис-
кретный алгоритм управления:
() ( 1) ( 2) () ( 1) ( 2),uk puk puk qek qek qek (3.7.44)
12 012
параметрами которого являются
4
c
pc
1
p
2
qK
0
qK
1
qK
2
1
(1
2 )
(2 1)
c
1
(1 2 )
c
12( ) (12)
ccc
ID
cc c
1
,
1
,
1
c
cc c
11
(1 2 )
4( )
1
c
(1 2 )
1
(2 ) 2 1
ID
(1 2 )
I
D
2
c
1
,
c
2
c
1
(3.7.45)
,
I
,
где
cT
1
T
1
0
,
cT
I
T
0
I
Другие возможности улучшения работы ы управления
связаны с осуществлением фильтрации регу уемой переменной
y(k)
с помощью фильтров, включаемых в систему перед алгорит-
,
cT
D
T
Д
0
.
систем
лир
мом управления и поэтому влияющих на все компоненты ПИДалгоритма.
Дискретные регуляторы, описываемые разностными уравнениями, могут работать и при больших тактах квантования. Однако
в этом случ
ае требуются иные методы расчета параметров, входя-
58
x
x
x
в эти разностные у
щих
способы дискретизации непрерывных дифференциальных уравнений становятся несправедливыми.
Известны разные методы синтеза одноконтурных цифровых
систем регулирования при больших тактах квантования. Решающую роль при проектировании играет
В со
ответствии с этим можно указать следующие методы синтеза:
1) поведение системы оценивают на о
ния квадратичного критерия качества. Таким критерием, например, является
где p – ве
переменной x
совой коэффициент;
(k) от ее значения овившемс в устан я режиме
p
Параметры регулятора q
минимизации критерия (3.7.46), причем алитическое решение
возможно лишь для систем низкого порядка, в остальных случаях
меняют ч
при
исленные процедуры оптимизации;
2) характер поведения управляемых переменных связывают
с расположением полюсов замкнутой системы. Синтез системы
управления проводят аналитически путем нахож
стического уравнения замкнутой системы и приравнивая коэффициентов этого уравнения и коэффиц
стического уравнения. Задача синтеза усложняется, если не все
переменные состояния могут быть непосредственно измерены;
3) качество управления оценивают по реакции замкнутой
системы на ступенчатое изменение задающего воздействия. В этом
случае используют так называемые правила настройки, котор
позволяют рассчитать параметры регулятора, близкие к оптимальным для указанного критерия у
для расчета параметров дискретного регулятора обычно служит
кривая разгона объекта;
4) экспериментальный метод «проб и ошибок». При этом мето-
де значения искомых параметров дискретного регулятора постепенно
увеличивают от малых на
равнения, поскольку рассмотренные выше
выбор критерия управления.
сновании использова-
m
I
0k
ppp
2
() ()
xkpxk
()
k xxk
.
, q1 и q2 определяют в рез ьтате
0
()
k
– отклонение управляющей
p
()
2
p
,
(3.7.46)
:
p
ул
ан
дения характери-
иентов желаемого характери-
ые
правления. Исходной информацией
чальных значений до тех пор, пока процесс
59
в замкнутой системе не станет колебательным. После этого значения
параметров регулятора уменьшают примерно наполовину.
Выбор того или иного метода синтеза зависит как от свойств
конкретного объекта управления, так и от требований, предъявляемых к системе управления. Для сложных объектов управле
зада
ны жесткие требования к качеству регулирования, следует ис-
пользовать методы, у
казанные в п.п. 1 и 2. Для простых динамических объектов, когда не предъявляется строгих требований к качеству
регулирования, параметры дискретного регулятора гораздо быстрее
можно настроить методами, указанными в п.п. 3 и 4.
Известно, что динамика широкого класса технологических
объектов может быть аппроксимирована передаточной функцией
вида:
K
..
K
где – коэффи
.об р
Т
– постоянная времени объекта регу
об
– время чистого запаздывания.
об
Wp e
() ,
об
об р
(3.7.47)
Tp
об
циент усиления объекта по каналу регулирования;
p
.
об
1
л
ирования;
такого класса объектов управления предложен
щие ал ых ПИДрегулят
горитмы параметрической настройки дискретн
оров вида
() ( 1) () ( 1) ( 2),Uk Uk q Xk q Xk q Xk (3.7.48)
с тактом квантован
ия
01 2
0,1
TT
(3.7.49)
0
об
ПИ-регулятор:
T
0,378 ,
q
0
0,35 ,
q
1
0;
q
2
К
.
об р об
T
К
.
об р об
об
об
(3.7.50)
ния, когда
ы следуюДля -
60