Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Курсовое проектирование. Учебное пособие.pdf
Рис. 5. Область устойчивости в плоскости а1 и а2
В квадрате а
ставив в характеристическое уравнение значения а
> 0 и а2 > 0 произвольно выбираем точку и, под-
1
1
= а
*
и а2 = а
1
*
2
определим корни этого уравнения. Если все корни расположены
слева от мнимой оси на комплексной плоскости корней, то это будет означать, что система устойчива. Выбранную точку на плоскости (а
рем произвольно теперь вторую точку с координатами а
**
= а
2
) с координатами а
1 – а2
и, подставив в характеристическое уравнение эти значения,
1
*
*
и а
обозначим знаком «–». Выбе-
2
1
= а
**
и а
1
опять определим корни. Если хотя бы один корень будет расположен справа от мнимой оси на комплексной плоскости корней, обозначим эту точку знаком «+», т.е. система неустойчива. Наконец,
если при а
1
= а
***
и а2 = а
1
***
хотя бы один корень лежит на мни-
2
мой оси, обозначим точку «0», что означает границу устойчивости
системы регулирования. Повторяя последовательно этот процесс,
дадим коэффициентам а
точки на плоскости (а
и а2 все значения от 0 до ∞ и отметим
1
) знаком «+»; «–» или «0». Проведем
1 – а2
кривую через все точки, отмеченные «0». Эта кривая будет границей области устойчивости в плоскости двух коэффициентов (а
1 –
а2) характеристического уравнения. Часть плоскости, охватывающая совокупность точек со знаком «–», называют областью ус-
тойчивости, а часть плоскости с точками «+», – областью неустойчивости.
;
2
31
Можно такую же операцию проделать для трех коэффициентов характеристического уравнения. В этом случае мы получим не
область устойчивости в плоскости двух коэффициентов, а объем
устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического уравнения (рис. 6):
Рис. 6. Объем устойчивости в пространстве коэффициентов а
1, а2
и а3
Таким образом, выделяя область устойчивости или объем устойчивости, мы находим пределы, в которых могут быть изменены
коэффициенты характеристического уравнения при сохранении
устойчивости данной АСР. Такое выделение области устойчивости
или объема устойчивости может быть произведено также в плоскости или объеме параметров настройки регулятора. Это более
удобно, так как сразу дает возможно
сть определить пределы изменения настроечных параметров регулятора, при которых система
регулирования будет устойчивой.
Такое выделение области (или объема) устойчивости называ-
ют разбиение плоскости (или пространства) параметров, или вы-
делением границы устойчивости.
Передаточная функция замкнутой одноконтурной системы (рис.
7) по отношению к возмущающему воздействию f(t) имеет вид:
()
Wp
f
WpWp
)
op
32
, (3.2.12)
где W
(p) – передаточная функция объекта по отношению
f
к возмущению f(t); W
()
Wp
(p) – передаточная функция объекта по от-
0
C
1()(
ношению к управляющему воздействию; W
(p) – передаточная
p
функция регулятора.
Рис. 7. Структурная схема АСР
Передаточная функция изодромного регулятора (ПИ-регу-
лятора) имеет вид:
ccp
01
()
Wp
где С
, С1 – настроечные параметры регулятора.
0
, (3.2.13)
p
p
Передаточная функция непрерывного регулятора (ПИД-
регулятора) имеет вид:
Wp
где С
, С1, С2 – настроечные параметры регулятора.
0
p
ccpср
01 2
()
2
p
, (3.2.14)
Передаточная функция объекта имеет вид:
Wp e
()
0
1
2
ap ap
21
p
. (3.2.15)
1
Форма переходной функции зависит от корней характеристи-
ческого уравнения:
1()()
WpWp 0
0
10
ap ap p c cpe
21 01
1
2
ap ap
21
32
, (3.2.16)
e
1
()
,
p
ccp
01
p
p
p
,
0
которые в свою очередь зависят от выбора параметров настройки
регулятора С
С
(в случае применения ПИД-регулятора). Эти параметры долж-
2
, С0 (в случае применения ПИ-регулятора) и С0, С1,
1
ны быть в определенном смысле оптимальны.
33
Подставив в уравнение (3.2.16)
pj
и, разделив полученное
уравнение на вещественную и мнимую части, получим (учитывая
jx
e Cosx jSinx
aj aj j ce cje
32
;
21 0 1
32
21 0 0 1 1
):
32
21 01
;
jj
VcCoscSina
UcSincCosa
101
102
2
3
0
0
0a j a j c Cos jSin c j Cos jSin
0a j a j c Cos c jSin c j Cos c Sin
.
.
0
Решим полученную систему методом Крамера:
Sin Cos
C
C
Значения С
,
1
23
aSin aCos Cos
,
11 2
2
42 3
aSin Sin aCos
,
22 1
aSin aCos Cos
11 2
1
C a Sin a Cos Cos
,
11 2
aSin Sin aCos
22 1
0
C a Sin Sin a Cos
02 1
, С1 при изменении частоты от 0 до ∞ дадут грани-
0
32
Cos Sin
22
Sin Cos
aCos
1
aSin
2
2
3
Sin a
Cos a
2
23
42 3
2
2
1
3
,
,
,
,
,
.
цу области устойчивости (рис. 8.). Для выделения области устойчивости нужно нанести штриховку слева от границы области устойчивости, если определитель системы положителен, и справа,
если определитель отрицателен. В данном случае, для выделения
области устойчивости нужно нанести штриховку справа от границы области устойчивости, так как определитель отрицателен.
34
0.85
0.7
0.55
0.4
0.25
1
С
0
0.1
0.05
0.2
0.35
0.5
1.5 0.885 0.269 0.346 0.962 1.577 2.192 2.808 3.423 4.038 4.654 5. 269 5.885 6.5
С
1
Рис. 8. Разбиение области устойчивости в плоскости
параметров настройки ПИ-регулятора:
а – граница области устойчивости; б – кривая равной степени затухания
3.3. Определение кривой равной степени затухания
Для определения неизвестных параметров системы регулирования,
обеспечивающих требуемую степень затухания переходного процесса,
в характеристическое уравнение (3.2.16) делается подстановка р = j
m
, что обеспечивает требуемое отношение мнимой и вещественной
-
составляющих корней характеристического уравнения. В результате
преобразования получим систему уравнений:
ajm ajm jm
21
ce c j m e
0
01
32 22 33 2 22
aj a m j m a am a j m m
22 22 1
jmce e cjmee
33 (2
jm jm
01
32
jm jm
,
)
0,
35
32 22 33 2 22
aj a m jm a am a jm m
j m c Cos jSin e
c j m Cos jSin e
1
aj a m jm a am a ajm am
j m c Cos c jSin e
33 (2
22 221
m
0
32 22 332 2
33 2
22 22 11 1
cj Cos c Sin cm Cos cm jSin e
111 1
VcCosmSinecSine
00
UcSinmCoseceCosm
am a a m a m
112 2
10
22 2 33 3
10
2323
amam a
23 0
122
m
0,
m
m
mm
30
mm
0,
)
2
Решим полученную систему методом Крамера:
mm
Sin mCos e e Cos
22m
Sin mCos Sin Cos mCos Sin e
Cos mSin e e Sin
mam a am ameCos
1
m
eSin m am a am am
1112
m
eCos ama ma
Sin mCos e m a m a a m a m
C
2
1
Cos mSin e a m a m a
Sin mCos e a m a m a
212
Cos mSin e m a m a a m a m
Sin m a m a a m a m Cos a m a m a
22 2 33 3
112 2
2322 22
112 2 12 2
2323
23
amama eSin
122
23 .
m
22 2 33 3
2323
122
m
m
m
3123
mm
2m
e
,
3
22 2 33 3
112 2
23
22 2 33 33
112 2
m
e
2323
23
122
2323
,
m
m
3
2
2
,
,
3
3.
,
,
,
2
,
36
I
р
2323
Sin mCos a m a m a
Cos mSin m a m a a m a m
C
0
Значения С
, С1 при изменении частоты от 0 до ∞ дадут кри-
0
вую равной степени затухания (рис. 9).
3.4. Расчёт оптимальных по степени затухания параметров
настройки непрерывного регулятора
При изменении частоты от 0 до получим линию равной сте-
пени затухания в плоскости параметров С
пень затухания переходного процесса одинакова (см. рис. 8),
но различны значения динамической ошибки. Поэтому для выбора
оптимальной точки на этой линии необходимо дополнительно
привлечь к рассмотрению какой-либо другой критерий оптимальности, например, первую интегральную оценку качества процесса
регулирования.
Первая интегральная оценка имеет следующий вид:
Чем меньше ее значение при заданной степени затухания
(m), тем выше качество процесса регулирования. Первая интегральная оценка легко определяется по изображению переходной
функции.
IxtdtXp
lim lim
1
lim
p
0
00
pp
Wp Ср С W С
0
Из (3.4.1) следует, что, при прочих равных условиях, первая
интегральная оценка принимает минимальное значение на линии
равного затухания, когда параметр С
Оптимальным параметрам будет соответствовать точка правее
максимума.
23
122
1
() ( )
22 2 33 3
112 2
m
e
, С1, вдоль которой сте-
0
() .
xtdt
0
pt
3
.
(3.4.1)
() (0)
Wp W
f
()( ) (0)
oo
10
достигает максимума.
0
f
0
37
J
J
Настроечные параметры ПИ-регулятора:
время изодрома:
Т 1 С
и 0
предел пропорциональности:
1
С
3.5. Расчёт оптимальных
по критерию максимальной степени устойчивости
параметров настройки непрерывного регулятора
Синтез систем автоматического управления технологическими
процессами в различных отраслях промышленности осуществляется в большинстве случаев с использованием интегральных критериев качества.
Наиболее распространенными являются улучшенные интегральные квадратичные критерии, отражающие качество переходных процессов в системе:
t
1
2(1)2 ()2
kk
( ) ( ( )) ... ( ( ))
Et jE t jE t dt
t
0
1
где Е (t) – сигнал ошибки;
j
, i = 1, k – весовые коэффициенты (определяются проекти-
i
ровщиком системы);
t
, t1 – моменты начала и конца работы системы.
0
Приравнивая в (3.5.1) весовые коэффициенты нулю, получим
один из наиболее распространенных на практике критерий минимума интеграла квадрата ошибки:
t
0
t
Критерии (3.5.1), (3.5.2) обладают рядом существенных недостатков. Во-первых, их применяют, если имеется информация
о входных воздействиях. Во-вторых, использование критерия
(3.5.2) даже при управлении объектами невысокого порядка может
привести к слабозатухающим переходным процессам. Критерий
1
1
Etdt
0
;
100%.
k
2
()
. (3.5.2)
, (3.5.1)
38
вида (3.5.1) лишен последнего недостатка, однако для его вычисления требуются достоверные значения производных сигналов
высокого порядка, что в условиях действия интенсивных помех представляет собой отдельную и сложную техническую проблему. Кроме
того, ошибочный выбор значений весовых коэффициентов может свести на нет преимущества критерия (3.5.1). В-третьих, синтез закона
управления, минимизирующего интегральные критерии, требует значительных вычисли
памяти микропроцессорных вычислительных устройств. Указанных
недостатков лишен критерий максимальной степени устойчивости. Его
использование однозначно определяет параметры регулятора независимо от входных воздействий.
Степенью устойчивости называется минимальное значение
абсолютных величин вещественных частей корней характеристического уравнения замкнутой системы:
На плоскости корней степень устойчивости представляет собой расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня или пары чисто мнимых корней (рис. 9).
тельных затрат и приводит к увеличению объема
min Re , 1,2,...,
hpkn. (3.5.3)
k
Рис. 9. Степень устойчивости:
а) апериодическая б) колебательная
В том случае, когда ближайшим к мнимой оси является вещественный корень (рис. 9 а), степень устойчивости называют апериодической. Если ближе всех к мнимой оси расположена пара
сопряженных комплексных корней (рис. 9 б), степень устойчивости называют колебательной.
39
р
y
Рассмотрим случай апериодической степени устойчивости,
когда ближайший к мнимой оси корень р
уравнение для переходного процесса будет иметь вид:
n
ht t
()
yt C e C e
n
,...,рп – корни характеристического уравнения;
где р
2
, С2,..., Сk – произвольные постоянные.
С
1
1
k
2
Если выполняется условие:
Re , 2,3,..., ,
phk n
k
т. е. корни р
чем корень р
, р3,...,рп значительно дальше удалены от мнимой оси,
2
= – h, то составляющие переходного процесса (3.5.4)
1
затухают значительно быстрее первой составляющей и приближенно можно записать, что
()
tCe
. (3.5.6)
n
ht
1
Следовательно, при выполнении условия (3.5.5) переходный
процесс в АСР весьма близок к обычной экспоненте. Так как экспонента практически затухает за время, равное трем ее постоянным времени, то для времени переходного процесса системы регулирования можно написать приближенное соотношение:
3
t
. (3.5.7)
n
h
Полученная формула справедлива и в том случае, когда ближайшими к мнимой оси являются комплексно-сопряженные корни, если все остальные корни характеристического уравнения удалены от мнимой оси на расстояние, значительно большее, чем h.
Таким образом, корневая оценка качества (3.5.3) может служить приближенной мерой быстродействия АСР. Чем больше h,
тем меньше время переходного процесс
быстродействие АСР.
Многие промышленные объекты управления могут быть описаны моделью вида:
exp( )
k
0
(1)
Tp
0
где k
– коэффициент усиления;
0
Т
– постоянная времени;
0
– запаздывание.
() ,
Wp
0
= – h. В этом случае
1
k
, (3.5.4)
k
а в системе и тем выше
p
(3.5.8)
(3.5.5)
40