Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Курсовое проектирование. Учебное пособие.pdf
K
ПИД-регулятор:
3
10,22 ,
об р об
.
6
K
об р
10,1 ,
об р об
.
3
.
.
Результаты расчет
q
0
K
q
1
q
2
K
а по алгоритмам (3.7.50) и (3.
рассматривать как первое приближение в определении параметров
дискретных регуляторов. Окончательно дискретный регулятор настраивается для конкретного объекта вручну желательно также экспериментальным путем убеди
выбора периода квантования
Т
.
0
Правила определения параметров дискретн
с модифицированными алгоритмами управления вида (3.7.40) сводятс
я к сле
дующему (метод Тахакаши):
П-регулятор:
p
1
.0
ОБ p ОБ
K
ПИ-регулятор:
K
10,9 0,135
p
K Т
.0
ОБ p ОБ
ТТ
Т
ТТТ
ОБ ОБ
(/2)
00
И
0, 27
[(/2)]
КТ
p ОБ
ПИД-регулятор:
11,2 0,3
K
p
K Т
ОБ p ОБ
ТТТ
00
Т
И
Т
Д
ТКТ
00
[(/2)]
КТ
p ОБ
0,5
Т
p
ТТТ
ОБ ОБ
.0
0,6
ОБ
ОБ
2
0
.
Т
об
Т
об
(3.7.51)
ю. При этом
ться в правильности
ых регуляторов
Т
ОБ
ОБ
[(/2)]
ОБ
,
; (3.7.52)
Т
0
Т
[(/2)]
ОБ
Т
0
0
; (3.7.53)
2
0
,
2
Т
0
(3.7.54)
7.51) следует
,
2
61
Запишем рекурре
нтное уравнение ПИ-регулятора в следую-
щем виде:
() ( 1) () ( 1),uk uk qek qek
где k – дискретный аргумент kT
T
– такт дискретизации;
0
(3.7.55)
01
; (k = 0, 1, 2, …, n);
0
e(k), e(k – 1) – ошибка регулирования в дискретные моменты
времени;
u(k), u(k – 1) – выходной сигнал регулятора в моменты времени k
и k –
1;
q
При расчете цифровых регуляторов для те
дискретных систем большое значение имеет выбор
това но связью периода квантования со
свой
ствами дискретных систем: устойчивостью, частотными характерист
С д
ругой стороны, основные требования к регулирующему микропроце
ость вы
точн .
мог
ут определяться периодом квантования. Поэтому выбор перио-
коэффициент пропорциональн
, q1 –
0
ости и интегрирования.
ории и практики
периода кван-
йния. Это объясняется тес
иками, точностью, качеством управления и другими.
ссорному контроллеру, т.е. н
еобходимая частота работы,
числений, тип интерфейса, размеры, стоимость и т. д
да квантования играет центральную роль при цифровом управлении технологическими процессами.
Существуют различные подходы к оценке периода квантования, которая определяется требуемой устойчивостью, точностью и
качеством управления. В общем случае выбор такта ди
ции T
достаточно сложная и неоднозначная задача, поскольку
0
скретиза-
приходится учитывать зачастую противоречивые требования. Так,
если период дискретизации выбрать слишком малым, то существенно возрастёт загрузка управляющей вычислительной машины и
у неё остаётся мало времени на выпо
сли
шком большом периоде дискретизации ухудшается качество
лнение дру
гих программ. При
регулирования.
Из условий эквивалентности дискретных и непрерывных систем по у
где ω
стойчивости следует оценка
Т
< π /ω
0
– частота среза частотной характеристики.
cр
, (3.7.56)
cр
62
Усиленное ус
где М – колебате
ловие эквивалентности имеет вид
Т
< 2М / ω
0
(М+1), (3.7.57)
cр
льность.
Здесь период квантования зависит от качества процесса
управления, а именно, от колебательн
бор периода квантования по
этим условиям приводит к низкому
ости М. Но, как правило, вы-
качеству и точности систем управления.
И
з условия получения квазинепрерывной системы прямого
рового управления и обеспечения её устойчивос
циф ти определим
T . Учитывая, что полоса
0
регу
лирования примерно в
оль
восп
зуемся для выбора периода квантования по времени T
пропускания частот в замкнутой системе
2–3 раза превышает ч
астоту среза ω
ср
формулой:
1
2...3
,
ср
(3.7.58)
где ω
T
0
– частота среза, определяемая в нашем случае по графику
ср
вещественной частотной характеристики.
Рассчитанное значение Т
являются подходящим, если такт
0
дискретизации составляет не менее 0,05 постоянной времени объекта. Параметры настройки цифрового регулятора связаны с коэффициентами непрерывного регулятора соотношениями:
;
0
(3.7.59)
р
T
0
р
T
и
1,
(3.7.60)
где пK
qK
qK
1
= С1 – коэффициент ропорциональности непрерывного
р
ПИ-регулятора;
1
TС – время изодрома ПИ-регулятора.
и
0
Параметры q и q должны у
0
1
00
2qq или
В спроектированной цифровой систем
довлетворять соотношению:
q
1
q 0q.
01
е дискретный регулятор
(3.7.61)
окончательно настраивается в ходе опытно-промышленной эксплуатации системы.
,
0
63
РАЗДЕЛ 4
ТЕОРЕ
При расчет
ТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИНТЕЗА И АНАЛИЗА
НЕЛИНЕЙ СИСТЕ
НЫХ М
е нелинейной автоматической системы регулирования подлежат разработке следующие вопросы, отраженные в
основной части.
4.1. Расчёт параметров возможных автоколебаний в системе
и оценка их устойчивости
К нелинейным системам относят все системы, которые не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями.
Многообразие нелинейных систем настолько велико, что практически нельзя говорить о едином «классе» нелинейных систем, противостоящем классу линейных систем. В данной работе будет рассмотрен значительно более узкий, хотя и широко распространенный в практике у
правления, класс нелинейных систем, характеризуемый следующими особенностями: систему можно представить
в виде соединения двух частей – линейной части ЛЧ, описываемой
линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями
с постоянными коэффициентами, и нелинейного элемента НЭ. Нелинейный элемент является безынерционным, и его входная x и
выходная y величины связаны между собой нелинейными алгебраическими уравнениями. Таким образом, нели
нейность рассматриваемых систем обусловлена нелинейностью статической характеристики одного из ее элементов.
Если система содержит несколько нелинейных элементов,
то ее в некоторых случаях можно свести к рассматриваемому
классу, заменив нелинейные элементы одним с результирующей
статической характеристикой. Например, при параллельном, последовательном или встречно-параллельном соединении нелинейных элемент
ов такое сведение выполнимо.
Большинство реальных систем автоматического управления и
регулирования описывается уравнениями выше второго порядка.
Наиболее распространенным на практике для исследования таких
систем является метод гармонической линеаризации (метод гар-
64
A
A
монического баланса). Осн риближенного метода со-
ову этого п
ставляют следующие положения.
Пусть имеется нелинейное звено с характеристикой
()yFx
. (4.1.1)
Подадим на вход этого звена гармонический сигнал x = A sinωt. На
выходе получим y = F (A sinωt). На рис. 17 дан пример графического
представления функции F (A sinωt ) (рис. 17 б) для заданной нелинейной характеристи
с
игнал нелинейного звена можно разложить в ряд Фурье.
где
ки F(x) (рис. 17 а). Этот периодический выходной
A
0
t A ntB
A nt
yF
, (4.1.2)
in ) ( cos
(s sin )
0
n
BFAtntdt
n
2
n
1
2/
2/
2/
0
0
(sin )
FA tdt
0
(sin )cos
FA t n tdt
( sin ) sin
nn
, (4.1.3)
,
. (4.1.4)
Рис. 17. Графическое представление функции F (A sinωt )
(б) для заданной нелинейной характеристики F(x) (a)
65
Будем рассматривать нелинейную автоматическую систему
любой сложности по структуре,
F(x) о, можно
. Тогда, выделив эту нелинейность в отдельное звен
всю остальную часть системы, какую б
ни и
мела, объединить в единый блок — линейную часть (рис. 18).
но с одной нелинейностью y =
ы сложную структуру она
Рис. 18. Ст ейной АСР руктурная схема нелин
Передаточную функцию линейной части обозначим
()
Rp
()
Wp
л
и будем считать, что степень многочлена R(p) в чи
()
Qp
степень многочлена Q(p) в знаменателе. Тогда ам
характеристика линейной части W
(jΩ) (рис. 19) будет стремиться
л
слителе меньше, чем
плитудная частотная
(4.1.5)
к нулю при Ω → ∞. Начало этой частотной характеристики может
иметь два варианта (1, 2, рис. 19) в зависимости от того, имеется или
нет нулевой полюс в передаточной функции (4.1.5).
Рис. 19. АЧХ линейной части Wл (jΩ)
66
y
Допустим, что в данной замкнутой системе возможны собственные периодические колебания (автоколебания). Отметим
на оси абсцисс (рис. 19) частоту первой гармоники этих колебаний ω и
высшие гармоники 2ω, 3ω, ... , . Предположим, что наша система обла-
дает тем свойством, что величина амплитудной характеристики на частотах высших гармоник значительно меньше, чем для первой:
() (), 2,3,.
Wjn Wj n ..
лл
Это свойство называется свойством фильтра линейной части
системы. При наличии свойства фильтра линейная часть системы
(рис. 18) будет хорошо пропускать первую гармонику нелинейных
колебаний у и ослаблять все высшие гармоники. Поэтому переменная
х на входе нелинейного звена окажется близкой к синусоиде:
Это обстоятельство усиливаетс еще тем фактом, что, как правил хотя и не
о, амплитуды высших гармоник (4.1.4) переменной у
малы, но все же меньше, чем у первой.
Итак, опираясь на свойство фильтра линейной
будем считать, что собственные периодические колебания замкнутой нелинейной системы на входе нелинейного звена х в первом
приближени
и можно полагать синусоидальными (4.1.6) или
(4.1.7). Выходную же величину у нелинейного звена, содержащую
в себе заметные высшие гармоники, надо определять при этом либо графически, как на рис. 17, либо аналитически – по формуле
(4.1.2). В итоге вся задача сводится к определению
ных: частоты ω и амплитуды А первой гармоники колебаний переменной х в слу
чае симметричных колебаний (4.1.6).
Для решения этой задачи необходимо исследовать только
прохождение первой гармоники по всей замкнутой цепи, не учитывая пока высших гармоник переменной у, ибо в первом приближении считается, что они не проходят на выход х линейной части
системы. Запишем выражение первой гармоники переменной
у согла
сно (4.1.2):
, (4.1.8)
sinxAt
. (4.1.6)
я
A
0
cos sin
AtBt
11
2
части системы,
х неизвест-
дву
67
отбр
осив высшие гармоники не потому, что они малы, а потому что
е н де
они н ужны для определения первого приближения х в ви (4.1.7).
При симметричных колебаниях в (4.1.8) A
BA
11
(), ()
qA q A
. (4.1.9)
aa
Тогда (4.1.8) запишется в виде
()sin () cosyqAA tqAA t
Но, заметив, что
sin , cos , ( )
Atx At p
получим
() ( )yFx qA px
где, обозначив ψ = ωt, согласно (4.1.9) и (4.1.4), имеем
( ) ( sin )sinqA FA d
() ( sin )cosqA FA d
2
1
A
0
2
1
A
0
.
px d
Представление (1.10) называется гармонической линеаризацией нелинейности, а величины q(A) и q'(A) – коэффициентами гармонической линеаризации.
Правая часть выражения (4.1.10) линейна при A = const, т. е. только для данного конкретного периодического решения. Но в целом она
сохраняет нелинейные свойства, так как коэффициенты данного
периодического решения зависят от искомого решения (от величины амплитуды колебаний переменной х). Эта особенность гармонической линеари
зации и позволит нам в дальнейшем исследовать с ее помощью основные свойства и процессов в
нелинейных автомати
ческих системах.
Гармонически линеаризованная передаточная
нейного звена имеет вид
= 0. Обозначим
0
()qA
, (4.1.10)
,
. (4.1.11)
особенности
функция нели-
dt
68
() ()
(,) ()
WAp qA p
H
Амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена в ре-
зультате подстановки p = jω выражается в форме
Следовательно, амплитудно-фа
ности F(х) зависит только от амплитуды и не за сит от частоты,
в противополож характеристикам линейных веньев.
Для типовых нели
нейностей коэффициенты гармонической линеаризации определяются по справочным таблицам. Для заданного
релейного звена без зоны нечувствительности и с зоной увствительности
зации
(рис. 20 а, б), коэффициенты гармонической линеари-
соответственно равны
а) б)
Рис. 20. Статическая характеристика релейного звена
без зоны нечувствительности (а) и с зоной нечувствительности (б)
Рассмотрим определение симметричных автоколебаний алгебраическим способом на основе гармонической линеаризации нелинейности. Пусть система (рис. 18) с одной нелинейностью F(x)
имеет передаточную функцию линейной части
обладающую свойством фильтра. Уравнения линейной части системы и нелинейного звена:
Уравнение замкнутой системы примет вид
Yp q A
. (4.1.12)
()
Xp
() () ()
WA qA jqA
H
.
(4.1.13)
зовая характеристика нелиней-
ви
зность
неч
()
Rp
() ,
W р
л
() ,
W р
л
()
Qp
()
Rp
()
Qp
69
F
() ()() 0.Qpx RpFx
(4.1.14)
Решение ищется приближенно в форме
sinxAt
(4.1.15)
с двумя неизвестными А и ω. После гармонической линеаризации
() ( )
xqA px
уравнение (4.1.14) приобретает вид
() () () 0.
Qp Rp qA p x
qA
()
qA
(4.1.16)
()
Поскольку в искомом решении (4.1.15) А = const и ω = const,
то гармонически линеаризованное уравнение замкнутой системы
(4.1.16) можно рассматривать как обыкновенное линейное уравнение
с по тоянными коэффициентамис . Специфика его состоит лишь в том,
что имеются неизвестные постоянные коэффициенты, зависящие от искомого решения, что и позволит нам получить решение со специфическими свойствами, присущими нелинейной системе.
Запишем характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы:
()
() () ()QRqA
Период твует ическое решение (1.15) уравнения (1.16) соответс
пар е-е чисто мнимых корней λ
= ±jω характеристического уравн
1,2
qA
0.
(4.1.17)
ния (4.1.17). Поэтому для отыскания этого решения подставим
в него λ = jω. Получим
( ) ( ) () () 0.Qj Rj qA jq A
Выделим в этом выражении вещественную и мнимую части
в виде
(,) (, ) 0.XA jYA
В результате получим два алгебраич ских уравнения: е
(, ) 0, (, ) 0,XA YA
(4.1.18)
из которых и определяются искомые амплитуда А и частота ω пе-
иодического решения (4.1.15). Заметим, что решение задачи упрощается в случае однозначной нелинейности F(x): вместо (4.1.17)
здесрь имеем
70