Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
магнитного поля на краю проводника как аН. Тогда по закону полного
p
p
Н
p
тока
2,
Н hI
а
или
Нh
I
а
. (3.52)
2
Определим постоянные интегрирования в выражении (3.51) из граничных условий:
()(),
Hz a Hz a
yy
().
Hz a Ha
y
(3.53)
Из первого граничного условия получим
apa papa
Ce C e Ce C e
12 1 2
. (3.54)
Преобразовав (3.54), будем иметь
apa pa pa
Ce Ce Ce Ce
11 2 2
. (3.55)
Из (3.55) следует, что
CC
12
. (3.56)
Воспользуемся вторым граничным условием из (3.53) и учтем (3.56),
получим
pa pa
а
pa pa
Ce Ce C C pa
11 1 1
ee
22sh,
(3.57)
2
откуда следует, что
Н
C
1
а
2sh
81
. (3.58)
a
С учетом найденных постоянных интегрирования выражение (3.51)
p
p
E
Z
приобретает вид
H Н
y а
sh
z
. (3.59)
ch
a
Подставив в выражение (3.59) значение
H
Ipz
y
2ch
hpa
H, получим
a
sh
. (3.60)
Определим напряженность электрического поля в виде
E
Так как вектор Пойнтинга
х
1sh
()S
H
y
zhpa
характеризует направление передачи
Ip pz
2ch
. (3.61)
энергии, то очевидно , что энергия в шину проникает с двух боковых
сторон (рис. 3.5). Воспользуемся решениями (3.59) и (3.61) и подсчитаем поток энергии через боковую поверхность шины:
[] 2.
Hds ds h
∫∫
SS
ch sh 1
pI paI pa I p
2sh 2sh th
hpahpa pa
2
(3.62)
2
4
h
Сопротивление бесконечно длинного прямоугольного проводника
(шины) на единицу длины с учетом (3.62) равно
Sds
rjx
Zp
00
∫
S
2
I
2th
11
hpa
. (3.63)
Как правило, в большинстве практических случаев высота шины
намного превышает его ширину, т. е.
ha , и тогда
th 1.pa
С учетом
этого обстоятельства (3.63) преобразуется к виду
rjx j
00
0
1
22
h
82
(1 )
. (3.64)
Из формулы (3.64) следует, что активное сопротивление шины опре-
деляется выражением
1
r
0
22
h
,
а реактивное – соотношением
1
jx j
0
22
h
.
Нетрудно заметить, что активное сопротивление проводника на переменном токе сильно зависит от частоты протекающего по нему тока.
3.8. Эффект близости
Рассмотрим распределение электромагнитного поля, созданного
двумя близко расположенными проводящими шинами, по которым протекает переменный электрический ток (рис. 3.6). Размеры шин
расстояние между шинами 2b, при этом
222,hab
шины.
2ah ,
h – высота
а б
Рис. 3.6.
Параллельные шины с током I (а) и распределение
вектора
Н в пространстве внутри и за пределами шин (б)
Рассмотрим распределение напряженности магнитного поля
(рис. 3.6, а). Учитывая, что расстояние между шинами весьма мало,
напряженность магнитного поля от левой и правой шины за их преде-
83
лами практически одинакова (рис. 3.6, б), и поэтому напряженность
p
поля за пределами шин равна нулю, а напряженность поля в пространстве между шинами в два раза больше напряженности одной шины. Расположим систему координат в центральной плоскости шины так, чтобы
начало системы координат совпадало с нижней поверхностью шины.
Найдем напряженность магнитного поля
для внутренней границы левой
шины (принадлежащей пространству между шинами) по закону полного тока:
.Hdl I
∫
Учитывая, что на левой поверхности шины напряженность магнит-
ного поля равна нулю (рис. 3.6, а), получим
2,
HhI
y
(3.65)
или от двух шин
H
II
2
y
hh
2
. (3.66)
Воспользуемся ранее выведенными уравнениями плоской электро-
магнитной волны:
HCe Ce
y
ECeCe
x
pz pz
12
p
12
,
(3.67)
zpz
. (3.68)
Найдем постоянные интегрирования, воспользовавшись гранич-
ными условиями:
при
zaaH
при 0,
84
y
(3.69)
I
.
HZ
y
h
Воспользовавшись уравнением (3.67) и первым граничным усло-
p
p
p
p
вием (3.69), получим
apa
0.
Ce C e
12
(3.70)
Из второго граничного условия (3.69) будем иметь
I
h
apa
Ce C e
12
(3.71)
.
Совместное решение (3.70) и (3.71) дает возможность получить зна-
чение постоянных интегрирования:
pa
C
1
Ie
hshpa
22
, (3.72)
Подставим
Ie
C
2
hshpa
С и 2С в уравнения (3.66) и (3.67):
1
Hee
y
() ( )
pa z pa z
Ie Ie I pa z
2 sh2 2 sh2 sh2
hpahpah pa
Е Ze e
x
⎛⎞
⎜⎟
c
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
pa pa
Ie Ie
hpa hpa
2sh2 2sh2
pa pa
Ie Ie
hpa hpa
2sh2 2sh2
ch ( )
Ipaz
Z
c
hpa
a
. (3.73)
22
zpz
sh ( )
. (3.75)
, (3.74)
sh 2
85
Окончательно соотношения для векторов
х
Е
EZ
x
ch ( )
Ipaz
c
hpa
sh 2
и
, (3.76)
будут иметь вид:
Н
у
H
sh ( )
Ipaz
y
hpa
sh 2
. (3.77)
Для наглядности, задаваясь значениями z от –а до а, можно построить эпюры распределения модулей Е, Н, δ в функции координаты z
для левой шины. Эпюры для правой шины можно построить, используя
условия симметрии поля (рис. 3.7).
Рис. 3.7. Эпюры распределения
Е, Н, δ по сечению шин
Комплексное сопротивление одной шины на единицу длины с учетом эффекта близости определим по соотношению
Sds
∫
Z
S
0
2
I
p
11
th 2
hpa
. (3.78)
Явление эффекта близости безусловно увеличивает сопротивление
проводника, причем иногда весьма существенно. Так, для шины (h = 2 см,
2а = 0,1 см) при частоте ω = 105 рад/с активное сопротивление увеличивается примерно на 65 %.
86
3.9. Магнитный поверхностный эффект
y
p
Рассмотрим задачу распространения переменного магнитного потока вдоль стального листа бесконечной длины (рис. 3.8).
Рис. 3.8. Стальной лист сечением h × 2a
c переменным магнитным потоком
Пусть плоская электромагнитная волна распространяется вдоль ли-
ср
Ф
m
.
ah
2
ста со средней плотностью магнитного потока:
B
Выберем систему координат, как показано на рис. 3.8. Тогда век-
Н
тор
ненту
в выбранной системе координат будет иметь только одну компо-
, и общее решение будет иметь вид
Н
у
Ф
HCe Ce
y
pz pz
12
.
(3.79)
Постоянные интегрирования найдем из граничных условий. Если
принять величину напряженности магнитного поля на краю листа рав-
Н
ную
z = а, тогда
, тогда можно записать:
а
HH
, или
HCe Ce
a
a
pa pa
(3.80)
12
.
В силу симметрии напряженность магнитного поля по обоим сторонам листа одинакова, тогда
apapapa
Ce C e Ce C e
12 1 2
87
.
(3.81)
Таким образом, совокупность граничных условий можно записать в
p
p
H
p
x
E
виде системы уравнений:
zHH HCeCe
а
1)) при или ,
ya a
pa pa pa pa
Ce C e C C e
2
12 1 2
e
pa pa
12
.
(3.82)
Из второго уравнения системы (3.82) следует, что
apa papa
()()
Ce e C e e
12
. (3.83)
Из (3.83) получим
CC
12
.
Подставив в первое уравнение системы (3.82) найденные постоянные, получим
HCe e C pa
()2ch,
a
11
pa pa
(3.84)
откуда будем иметь
H
a
CC
12
2ch
.
a
С учетом найденных постоянных интегрирования решение для ком-
поненты
H
в произвольной точке листа будет иметь вид
y
He e H
HHee pz
pz pz
aa a
ya
2ch 2 ch 2 ch 2 ch
apa pa pa
pz pz
⎛⎞
⎜⎟
2
⎜⎟
⎝⎠
ch
.
Напряженность электрического поля найдется как
11 sh
HHe
rot
H
zpa
88
y
ppz
a
ch
.
Таким образом, электромагнитное поле в объеме стального листа
y
x
E
при принятых допущениях будет описываться уравнениями
ch
HH e
He
pz
a
pa
ch
sh
ppz
a
pa
ch
,
.
Анализ последних выражений говорит о том, что магнитная индукция неравномерно распределяется по сечению листа. Это явление, вызванное затуханием электромагнитной волны, называется магнитным
поверхностным эффектом. Напряженность поля в средней плоскости
листа может быть во много раз меньше напряженности поля на краю
листа.
89
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнит-
ное поле : учебник / Л. А. Бессонов. – Москва : Гардарики, 2003. – 310 с.
2. Теоретические основы электротехники : учебник / К. С. Демирчян,
Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. – Санкт-Петербург : Питер, 2003. –
424 с.
3.
Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники. Теория электромаг-
нитного поля : учебник / Л. Р. Нейман, К. С. Демирчян. – Ленинград : Энергоиздат, 1981. – 415 с.
4.
Тамм И. Е. Основы теории электричества : учеб. пособие / И. Е. Тамм. –
Москва : Наука, 1989. – 504 с.
5.
Новожилов Ю. В. Электродинамика : учеб. пособие / Ю. В. Новожилов,
Ю. А. Яппа. – Москва : Наука, 1978. – 349 с.
6.
Петренко Ю. В. Теоретические основы электротехники. Физические ос-
новы теории электрических цепей и методы их расчета : учеб. пособие /
Ю. В. Петренко. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2022. – 127 с.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]