Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
Вектор П в выражении (3.12) называется вектором Пойнтинга
B
П
и имеет размерность
{П}
A
, (3.13)
2
м
что означает мощность потока энергии через единицу площади.
Перепишем выражение (3.11) в виде
⎡⎤
(div ) .
⎢⎥
dv E dv
⎢⎥
⎣⎦
2
tt
2
⎛⎞
EH
⎜⎟
22
⎝⎠
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(3.14)
Найдем всю энергию, выделившуюся в объеме V, ограниченном некоторой замкнутой поверхностью S:
div П .
∫∫ ∫
vV v
dv E dv dv
2
⎜⎟
⎜⎟
22
t
⎝⎠
(3.15)
22
⎛⎞
EH
Если применить к левой части уравнения (3.15) теорему Остроградского – Гаусса, то получим
П .
ds E dv dv
∫∫ ∫
SV v
2
⎜⎟
⎜⎟
22
t
⎝⎠
(3.16)
22
⎛⎞
EH
Полученное выражение (3.16) является уравнением баланса мощности в некотором объеме и означает, что поток вектора Пойнтинга, проходящий через некоторую замкнутую поверхность S, равен полной мощ-
ности, выделившейся в объеме V, ограниченном этой поверхностью S
(рис. 3.1).
П
S
ds
S
71
V
Рис. 3.1. Поток вектора Пойнтинга
через поверхность
Заметим, что формула (3.16) является записью теоремы Умова –
E
Пойнтинга в мгновенной форме. При этом слагаемые в (3.16):
2
– активные потери в объеме V (джоулевое тепло);
dv
∫
V
22
⎛⎞
EH
∫
t
v
⎜⎟
⎜⎟
22
dv
– учитывает изменение электромагнитного
поля в объеме V.
Рассмотрим некоторые частные варианты применения теоремы
Умова – Пойнтинга в мгновенной форме.
1. Пусть объем V занят стационарным электромагнитным полем,
тогда
∫
t
v
⎜⎟
⎜⎟
22
⎝⎠
dv
0,
(3.17)
22
⎛⎞
EH
и из (3.16) следует, что
2
П .
ds E dv
∫∫
SV
(3.18)
Таким образом, можно утверждать, что вся энергия стационарного
электромагнитного поля, поступившая или выделавшаяся в объеме V,
идет на активные потери в этом объеме (на джоулевое тепло).
3.2. Теорема Умова – Пойнтинга
в комплексной форме
По аналогии с электрическими цепями переменного тока введем понятие о сопряженном комплексе вектора напряженности электрического и магнитного поля. Перепишем систему уравнений Максвелла
с учетом этого нового понятия:
⎧
rot ,
HEjE
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
**
rot .
EjH
72
(3.19)
E
E
E
Умножим первое уравнение системы (3.19) на ,
*
dv
а второе на
Н dv и вычтем из первого уравнения системы (3.19) второе. Тогда по-
лучим:
⎛⎞⎡ ⎤
⎜⎟
rot .
HHrotEdv EE j EE j HHdv
⎜⎟
⎝⎠⎣ ⎦
⎢⎥
⎢⎥
(3.20)
Проинтегрируем (3.20) по объему и перейдем от объемного интеграла к поверхностному:
П 2.
ds E dv j dv
∫∫ ∫
SV v
2
22
⎛⎞
HE
⎜⎟
⎜⎟
22
⎝⎠
(3.21)
Полученное выражение – запись теоремы Умова – Пойнтинга в комплексной форме.
3.3. Переменное электромагнитное поле в однородной
изотропной проводящей среде
Запишем уравнения Максвелла в комплексной форме:
⎧
rot ,
HEjE
(3.22)
rot .
EjH
поэтому система (3.22) преобразуется
,
⎧
rot ,
HE
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
rot .
jH
(3.23)
В проводящей среде
к виду
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
73
Возьмем rot от первого уравнения системы (3.23):
E
Е
rot rot rot .HE
(3.24)
Из курса векторной алгебры известно, что
rot rot graddiv .HHH
(3.25)
2
Так как
Подставим в полученное выражение значение
div 0,B то и div 0.H Тогда (3.24) приобретает вид
2
(3.26)
rot .HE
rot
из второго урав-
нения системы (3.23). Получим
2
(3.27)
.Hj H
Уравнение (3.27) – обыкновенное дифференциальное уравнение, опи-
сывающее распределение электромагнитного поля в проводящей среде.
3.4. Плоская электромагнитная волна
Плоская электромагнитная волна характерна тем, что во всех точках
плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны,
векторы
нию и лежат в плоскости XOY (рис. 3.2).
В силу самого определения плоской волны будем иметь:
и Н в данный момент одинаковы по величине и направле-
HH
0; 0;
xy
(3.28)
EE
0; 0.
xy
74
(3.29)
y
x
x
Рис. 3.2. Плоская электромагнитная
волна
Предположим, что вектор Нпараллелен оси ОY, т. е.
HeH
.
y
Тогда из (3.27) получим:
22
HH
xz
222
xyz
Так как в выражении (3.30)
2
H
y
НН
2
H
y
2
y
()
jHeHeHe
xyz
, 0,
jHe
z
y
то получим
y
yz
. (3.31)
. (3.30)
Решим дифференциальное уравнение (3.31). Корень характеристи-
ческого уравнения
(3.32)
45 .Pj
Тогда решение (3.31) c учетом (3.32) имеет вид
HCe Ce
y
pz
12
pz
.
(3.33)
75
Корень характеристического уравнения Р представляет собой ком-
E
x
x
x
H
x
E
E
p
плексную величину, и если ввести новое обозначение
k
, (3.34)
2
то корень характеристического уравнения Р запишется в виде
Используя первое уравнение системы (3.23), найдем
(1 ).Р kj
1
(3.35)
(3.36)
rot .
H
:E
Распишем выражение rot в декартовой системе координат:
eee
yz
H
y
e
x
. (3.37)
z
. (3.38)
Учитывая, что
rot
H
HH
xy
yz
HH
yz
получим
0,,
H
1
z
y
e
Из (3.38) следует, что вектор напряженности электрического поля
направлен по оси х, т. е. векторы
взаимно перпендикулярны.
,
H
Подставим выражение (3.33) в формулу (3.38), получим
ECeCe
p
x
12
76
zpz
. (3.39)
Учитывая, что
Z
E
p
Ze
C
преобразуем выражение (3.39) к виду
EZCeCe
x
C
12
j
pz pz
45
j
,
, (3.40)
Где
– волновое сопротивление.
C
Таким образом, общие решения для компонент векторов
и H
можно представить в виде
⎧
HCe Ce
y
⎪
⎪
⎨
⎪
EZCeCe
x
⎪
⎩
pz pz
12
C
,
pz pz
12
(3.41)
.
Отметим, что в уравнениях системы (3.41) первые слагаемые представляют собой отраженные волны, а вторые являются прямо бегущими
волнами.
Постоянные интегрирования
, СС определяются из известных
12
граничных условий для конкретных задач теории поля и могут быть
комплексными числами, а в ряде случаев и некоторыми функциями пространственных координат
.
3.5. Плоская электромагнитная волна в однородном
проводящем бесконечном полупространстве
Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны в бесконечном проводящем
полупространстве. Если среда однородна и бесконечна, то отраженной волны не будет. Для расчета поля выберем декартову систему координат,
как показано на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Плоская
волна в однородном
полупространстве
77
Запишем уравнения для вектора Н плоской волны в системе коор-
Н
p
динат (рис. 3.3):
HCe
(3.42)
y
EZCe
(3.43)
x
Определим неизвестную постоянную интегрирования
pz
,
1
pz
c
.
1
С . Пусть в
1
центре системы координат напряженность поля имеет некоторую известную величину
. Тогда для этой точки пространства при Z = 0
а
будем иметь
HHe
a
j
a
,
a
или
j
a
CHe
1
.
a
C учетом найденной постоянной интегрирования выражения (3.42),
(3.43) приобретут вид
HHe e He e
(3.44)
EZHe e H e e e e
Ca a
jj
zkzjkz
aa
aa
jj
pz kz jkz j
aa
()
,
45
.
(3.45)
Запишем полученные уравнения в мгновенной форме:
kz
HHe t kz
EH e t kz
aa
(3.46)
sin( ),
aa
kz
sin( 45 ).
(3.47)
Для наглядности продемонстрируем график изменения напряженности магнитного поля в однородном проводящем полупространстве
(рис. 3.4). График построен для фиксированного момента времени
t
0.
a
78
Рис. 3.4. График изменения напряженности
магнитного поля
3.6. Глубина проникновения волны
Для того чтобы охарактеризовать, насколько быстро уменьшается
амплитуда падающей волны по мере проникновения волны в проводя-
щую среду, вводят понятие глубины проникновения волны
Глубина проникновения Δ – расстояние вдоль распространения волны, на котором амплитуда падающей волны уменьшается
в е = 2,7183 раз:
k
ee
1
.
(3.48)
Тогда из выражения (3.48) будем иметь
.
1,kk
1
. (3.49)
Определим глубину проникновения волны через длину волны.
По определению длина волны – это расстояние, на котором фаза колебания изменится на 2π. Тогда
() 2,
kz kz
aa
или
2k
. (3.50)
79
Выразив k из (3.50) и подставив его в (3.49), получим
I
.
2
3.7. Сопротивление проводника
на переменном токе
Рассмотрим электромагнитные процессы, происходящие в проводнике, по которому проходит переменный электрический ток. Для упрощения расчетов рассмотрим шину прямоугольного сечения (рис. 3.5).
Y
0
S
S
2
с током
Z
h
I
Рис. 3.5. Шина прямоугольного сечения
Расположим систему координат таким образом, чтобы ее начало
совпадало с центром симметрии шины (рис. 3.5). Для анализа распределения поля в прямоугольном проводнике воспользуемся решениями для
Н
компоненты
плоской электромагнитной волны:
у
Н Ce C e
у
pz pz
12
.
(3.51)
Найдем напряженность магнитного поля на боковой поверхности
проводника, учитывая, что
.ha Обозначим величину напряженности
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]