Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
1.6. Напряженность поля поверхностно распределенных
м
М
E
зарядов
Рассмотрим способ определения напряженности поля в некоторой
точке пространства от поверхности произвольной формы, заряженной
зарядом Q. Пусть
ваемой поверхности, причем сама плотность заряда зависит от пространственных координат х и y.
Выделим элементарную поверхность ds (рис. 1.6), на которой сосре-
доточен заряд dq. Величину этого заряда определим как
Напряженность поля от заряда dq в точке М определим как напряженность от точечного заряда в соответствии с (1.6):
плотность заряда, распределенного по рассматри-
о
Е
Рис. 1.6. Расчет напряженности поля
поверхностно распределенных зарядов
.dq ds
(1.18)
dE
М
dq d
22
44
rr
s
. (1.19)
Тогда напряженность электростатического поля от всех точечных
зарядов, распределенных по поверхности S, будет равна
ds
∫
4
s
.
e
(1.20)
r
2
r
Отметим, что во всех приведенных выше рассуждениях каждые элементарные точечные заряды, создающие исследуемое зараженное тело,
не взаимодействуют друг с другом.
11
1.7. Теорема Гаусса
E
Е
E
E
Е
Дадим определение скалярному потоку вектора напряженности
электростатического поля.
E
о
Рис. 1.7. Поток вектора напряжен-
E
ности
Пусть в некоторой области пространства существует электростатическое поле с напряженностью
щадку S, произвольно расположенную в исследуемом пространстве
(рис. 1.7). В соответствии с [1] будем иметь
через площадку S
0
s
ds
. Найдем поток вектора E через пло-
.
ds
(1.21)
∫
s
Если поверхность, через которую находим поток, замкнута, то его
величина определится интегралом
.
ds
Формулировка теоремы Гаусса в интегральной форме следующая.
В однородной и изотропной среде поток вектора напряженности
электростатического поля
ность S равен отнесенной к диэлектрической проницаемости среды,
величине полного свободного заряда, сосредоточенного в объеме,
ограниченном этой поверхностью S.
∫
s
через любую замкнутую поверх-
12
(1.22)
В соответствии с этой формулировкой запишем математическое вы-
Е
F
А
ражение теоремы Гаусса:
q
∑
Если заряд распределен по объему исследуемого тела с некоторой
плотностью
, то интегральная форма теоремы Гаусса будет иметь вид
Eds
∫
s
Eds
∫
s
св
. (1.23)
dv
∫
v
. (1.24)
1.8. Энергетические характеристики
электростатического поля
Любой свободный заряд, помещенный в электростатическое поле,
будет перемещаться по некоторой траектории. Очевидно, что в этом
случае силы поля будут совершать определенную работу. Оценим математически это явление.
Пусть задано некоторое электростатическое поле с напряжен-
.
ностью
заряд начнут действовать силы поля, которые определятся как
Внесем в это поле некоторый свободный заряд
q . На этот
0
Под воздействием сил поля этот заряд начнет перемещаться на некоторое расстояние Δ
шена работа
Если в формуле (1.26) перейти к бесконечно малым перемещениям,
тогда получим элементарную работу
.dA Fdl (1.27)
L. Тогда силами поля на этом пути будет совер-
(1.25)
.
qE
0
.
FL (1.26)
13
В общем случае сила, действующая на заряд, может не совпадать
А
с направлением его движения, тогда выражение (1.27) приобретает вид
cos ,dA Fdl
(1.28)
или
cos .dA Eq dl (1.29)
0
Рис. 1.8. Расчет работы сил поля
Выражение (1.29) для единичного заряда можно представить в векторной форме:
.dA Edl
(1.30)
По выражению (1.30) можно найти работу сил поля по перемещению единичного заряда по пути
из точки А в точку В исследуемого
пространства (рис. 1.9).
Рис. 1.9. Работа сил поля по пути АВ
Работу сил поля по перемещению единичного заряда из точки A
в точку
B по пути представим в виде
()
B
AEdl
∫
()
A
14
.
(1.31)
Интегральную величину в выражении (1.31) обозначим как U и назо-
EdlE
вем ее напряжением. Напряжение является энергетической характеристикой электрического поля и численно равно работе сил поля по перемещению единичного заряда из некоторой точки А пространства, занятого электромагнитным полем, в точку В по пути
.
1.9. Принцип потенциальности в электростатике
и его интегральная форма
Электростатическое поле относится к потенциальным полям. Потенциальные поля – это такие поля, работа сил которых не зависит от
пути движения заряда.
Рис. 1.10. Пути перемещения заряда
Так, если в объеме, занятом электромагнитным полем, найти напряжение между двумя точками, то это напряжение будет одинаковым
независимо от выбранного пути интегрирования, т. е.
U Edl Edl Edl
ab
∫∫∫
123
.
(1.32)
Пусть в некотором пространстве суще-
ствует электростатическое поле. Выделим в
dl
этом пространстве замкнутый контур AmBc
(рис. 1.11).
Найдем работу, совершаемую силами
поля между точками А и В по пути АmB:
Рис. 1.11. Работа сил поля
в замкнутом контуре
15
UEdl
AB
∫
Amb
,
(1.33)
а затем определим работу между этими же точками (АВ) по пути АсВ:
A
E
UEdl
ab
Acb
.
∫
(1.34)
Просуммируем выражения (1.33) и (1.34), очевидно, что
UEdlEdl
ab
∫∫
Acb Amb
0.
(1.35)
Тогда выражение (1.35) можно записать в виде
0,Edl
∫
(1.36)
выражение (1.36) и есть принцип потенциальности в электростатике.
Итак, интегральное выражение принципа потенциальности в электростатике имеет вид
0.Edl
∫
1.10. Потенциал в электростатическом поле
Принцип потенциальности позволяет для описания кулоновских полей ввести новую важную характеристику – потенциал. При введении
потенциала для описания поля каждый раз определяют напряжения
между исследуемой точкой поля A(x, y, z) и некоторой фиксированной
, ),(,
точкой поля
и выбирается произвольно.
Таким образом, напряжение исследуемых точек относительно фиксированной точки и называется потенциалом. Потенциал обозначается
символом
xyz положение которой оговаривается заранее
00 0 0
и определяется выражением
(,,)
Axyz
0000
∫
(,,)
Axyz
,
dl
(1.37)
Численно потенциал равен работе, которую затрачивают силы поля
при перемещении единичного заряда из исследуемой точки поля
16
в некоторую фиксированную точку. При теоретическом исследовании
полей положение произвольно выбранной фиксированной точки оговаривается заранее и не меняется в процессе решения конкретной задачи.
1.11. Напряжение между двумя точками
пространства
В исследуемом поле выберем две точки и найдем напряжение между
ними. Выберем для интегрирования некоторый путь, проходящий через
точку
циал которой заранее оговорен.
А , при этом точка 0А – это фиксированная точка поля, потен-
0
Рис. 1.12. Напряжение между
точками
А и В
Запишем напряжение между точками А и В в виде
BB
U E dl E dl E dl
ab
∫∫∫
AAA
A
0
.
(1.38)
0
Преобразуем выражение (1.38):
AA
00
UEdlEdl
AB
∫∫
AB
(1.39)
.
Анализируя (1.39), можно заключить, что
U . (1.40)
ab a b
Из (1.40) следует важный вывод: напряжение между двумя точками
независимо от положения фиксированной точки определяется как разность потенциалов этих точек.
17
1.12. Потенциал в поле точечного заряда
A
R
A
R
A
R
E
Пусть в поле точечного заряда существует некоторая точка А с координатами x, y, z, потенциал которой необходимо определить. Выберем
фиксированную точку
тенциалы точек исследуемой области. Так как потенциал в электроста-
тическом поле численно равен работе сил поля, а в потенциальных полях работа не зависит от формы пути перемещения единичного заряда,
выберем путь интегрирования, как показано на рис. 1.13. При этом уча-
сток АС представляет собой часть
отрезок прямой, равный разности радиусов
точки А будет иметь вид
А , относительно которой будем определять по-
0
окружности радиусом
и
. Тогда потенциал
0
, а 0СА –
AA
000
A
dl Edl Edl Edl Edl Edl
∫∫∫∫∫ ∫
AACR
12
C
R
A
.
(1.41)
A
Рис. 1.13. Расчет потенциала точечного заряда
С учетом того, что на пути АС
тенциал точки А определится интегралом по пути
()
интеграл будет равен нулю, по-
1
().
СА
0
Подставив
2
в соотношение (1.41) выражение для напряженности точечного заряда,
получим
R
A
0
A
qqq
∫
r
4
R
A
⎛⎞
dr
⎜⎟
2
⎝⎠
R
A
0
rRR
44
R
A
⎛⎞
11
⎜⎟
⎜⎟
AA
⎝⎠
0
,
18
или
A
R
А
A
R
А
A
R
A
Поскольку положение фиксированной точки
qq
44
R
A
0
. (1.42)
в процессе опреде-
0
ления поля точечного заряда меняться не может, второе слагаемое
в формуле (1.42) представляет собой некоторую константу С, которая
равна
С
Если принять потенциал фиксированной точки
а саму точку
перенести в бесконечность, то константа C будет равна
0
q
4
.
0
А равным нулю,
0
нулю, и выражение для потенциала точечного заряда будет иметь вид
A
q
4
. (1.43)
1.13. Потенциал в поле N точечных зарядов
Пусть в пространстве с диэлектрической проницаемостью размещено n точечных зарядов (рис. 1.14).
Рис. 1.14. Потенциал n точечных
зарядов
19
Учитывая, что потенциал – функция скалярная, потенциал точки М
будет определяться суммой потенциалов от каждого точечного заряда:
nn
∑∑
Mk
M
11
kk
q
k
. (1.44)
r
4
k
1.14. Потенциал в поле объемно распределенных
зарядов
Рассмотрим объемное тело, которому сообщен заряд Q, распределившийся произвольным образом по объему исследуемого тела
(рис. 1.15). Выделим в этом теле элементарный объем dv. В этом объеме
сосредоточится заряд
.dq dv
Рис. 1.15. Потенциал в поле
объемного заряда
(1.45)
Потенциал в точке М от элементарного заряда dq будет иметь вид
dv
d
. (1.46)
4
r
Величина потенциала в точке М найдется как интеграл от элементарного заряда dq по всему объему рассматриваемого тела:
dv
∫
4
v
20
.
C
(1.47)
r
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]