Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
2. СТАЦИОНАРНОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Стационарное магнитное поле – это одна из сторон электромаг-
нитного поля, обусловленного движущимися заряженными частицами
и оказывающего силовое воздействие на заряженные частицы при условии постоянства этих сил во времени.
Явление силового воздействия магнитного поля открыл в 1820 г.
Эрстед и позднее подтвердил Ампер. Он установил, что сила, действующая на проводник с током, пропорциональна
проводника и зависит от его ориентации в пространстве и от свойств
окружающей среды.
току в проводнике, длине
2.1. Основные законы и характеристики стационарного
магнитного поля. Магнитная индукция
Опытным путем было установлено, что в магнитном поле намагниченная определенным образом магнитная стрелка устанавливается
в единственном определенном направлении (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Магнитная стрелка
в магнитном поле
51
Изучая процесс силового воздействия магнитного поля на намагни-
F
В
М
В
ченную стрелку, Ампер установил, что сила, действующая на проводник с током, подчиняется закономерности, соответствующей выражению
sin sin[ ]
В формуле (2.1) величина В является коэффициентом пропорциальности, которая впоследствии была названа «индукцией».
Анализируя (2.1), можно установить, что сила, действующая на про-
водник, максимальна, если угол
BIdl BIdl NSdl
. Тогда
2
. (2.1)
Уравнение (2.2) составляет основу определения коэффициента пропорциональности B (или индукции):
Индукция измеряется в теслах и характеризует плотность магнитного потока:
max
В
lim
dl
ТлВ
.F
Idl (2.2)
F
max
. (2.3)
Idl
0
Вб
. (2.4)
2
2.2. Вектор намагниченности вещества
Вектор напряженности магнитного поля
Закон полного тока
Установлено, что в однородной среде между индукцией и током существует связь:
Рассмотрим некоторый контур аbс с катушкой, размещенной в ферромагнитной среде (рис. 2.2).
∫
l
dl i
.
(2.5)
52
В
J
J
J
Рис. 2.2. Замкнутый контур с ферро-
магнитной средой
Применим к контуру abc, находящемуся в воздухе, уравнение (2.5).
Однако непосредственное применение этого уравнения в случае контура abc весьма затруднительно, так как на пути интегрирования встречаются различные характеристики среды. Эту проблему удалось бы разрешить, если бы всю среду можно было каким-либо образом заменить
однородной. Это возможно благодаря предположению
Ампера о том,
что в ферромагнитном веществе существуют микротоки и при внесении
его во внешнее поле, эти микротоки ориентируются и усиливают внешнее магнитное поле. Тогда
dl Iw i
∫
l
00
.
(2.6)
В уравнении (2.6) i – сумма микротоков в ферромагнитном веществе, сцепленных с контуром интегрирования, а Iw – это ток, протекающий по виткам катушки w. Для определения микротока введем еще одно
понятие – плотность микротока J, направленного по нормали к самим
микроконтурам. Обозначим
В общем случае
di
max
dl
cos( ),
Jdl
.
(2.7)
n
откуда следует:
di
dl
cos( ) .di Jdl J dl J dl
(2.8)
Применим формулу (2.8) к контуру, изображенному на рис. 2.2,
тогда суммарный микроток ферромагнитного вещества будет равен
.
dl i
∫
l
(2.9)
53
Перепишем уравнение (2.6) с учетом (2.9), получим
В
В
B
В
В
После несложных преобразований формулы (2.10) получим соотношение
∫∫∫
lll
Запишем выражение в скобках как
и назовем эту величину вектором напряженности магнитного поля.
Найдем из (2.12) магнитную индукцию B:
Обозначим
чивостью вещества. Тогда величину индукции В с учетом (2.13) можно
определить в виде
dl Iw J dl
∫∫
ll
dl J dl Вdl J dl
00 0
∫
l
()(1/).
HJ JH H (2.13)
,/JH
назовем эту величину магнитной восприим-
00
00
/BJН
/.
Jdl Iw
0
00
(1 ) .BH
0
.
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.14)
(1 )
Величину
стью и обозначают как
женности магнитного поля и индукцией представляется в виде
В выражении (2.15)
ницаемости
называют относительной магнитной проницаемо-
. Таким образом, связь между вектором напря-
r
HH
0a
r
носит название абсолютной магнитной про-
a
(2.16)
a0
54
.
(2.15)
.
r
Отметим, что во всех уравнениях магнитостатики под понимается
H
М
Н
M
М
М
абсолютная магнитная проницаемость. Итак, с учетом предыдущих рассуждений уравнение (2.6) может быть представлено в виде
dl Iw
∫
l
,
(2.17)
оно называется законом полного тока.
Формулировка закона полного тока звучит следующим образом:
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль
любого замкнутого контура равна полному току, сцепленному
с этим контуром.
2.3. Скалярный магнитный потенциал
В пассивных средах
рую скалярную функцию
По аналогии с электростатическим полем магнитное поле в областях, не занятых током, можно описывать некоторой скалярной функ-
. Между вектором напряженности Н и скалярным магнитным
цией
потенциалом
можно установить интегральную связь:
(0)
имеется возможность подобрать некото-
, так чтобы градиент от нее был равен :
grad
H
М
Hdl C
∫
. (2.18)
.
(2.19)
По аналогии с электростатическим полем можно ввести понятие о
магнитном напряжении:
B
UHdl
()
MAB MA MB
.
∫
A
(2.20)
Укажем, что скалярный магнитный потенциал – функция неоднозначная. Чтобы он был однозначным, необходимо, чтобы пути интегрирования не образовывали контуров, сцепленных с токами i.
55
2.4. Уравнение Лапласа для скалярного
M
M
M
магнитного потенциала
Пусть в окружающем пассивном
(0)
пространстве магнитная
проницаемость постоянна. Запишем установленные на этот момент
уравнения магнитостатики:
⎧
div 0,
B
⎪
⎪
rot 0,
H
0,
(2.21)
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
H
grad ,
⎪
⎪
BH
⎩
.
Рассмотрим первое уравнение системы (2.21) с учетом пятого уравнения этой же системы. Получим
div div div 0.BH H
Если подставить в (2.22) выражение для вектора
(2.22)
H
в виде соотно-
шения четвертого уравнения из системы (2.21),то будем иметь
div grad 0.
Учитывая, что
тору
2
из (2.23), получим
div grad
соответствует дифференциальному опера-
(2.23)
2
(2.24)
0.
Выражение (2.24) является уравнением Лапласа для скалярного потенциала. Заметим, что электрический потенциал электростатического
поля имеет физический смысл, равный работе сил поля по перемещению заряда из одной точки в другую. Скалярный магнитный потенциал
такого физического смысла не имеет, а является лишь удобной расчетной функцией. Скалярный магнитный потенциал – функция неоднозначная. Уточним это обстоятельство.
56
Запишем уравнение для напряженности магнитного поля, выражен-
M
A
ное через скалярный магнитный потенциал:
grad
H
. (2.25)
В общем случае магнитное поле является вихревым и может быть
описано законом полного тока в дифференциальной форме (при
0) :
rot .H
(2.26)
Если подставить в (2.26) выражение (2.25) для напряженности магнитного поля, выраженное через скалярный магнитный потенциал, то
получим
rot grad 0.
M
(2.27)
Так как rot от градиента скалярной функции всегда равен нулю,
то выражение (2.27) полностью противоречит соотношению (2.26), что
говорит о том, что скалярным магнитным потенциалом нельзя пользоваться для исследования магнитных полей в областях, занятых током.
В связи с этим для исследования магнитных полей в активных средах
(0)
вводят понятие о векторном магнитном потенциале.
2.5. Векторный магнитный потенциал
Пусть существует некоторая функция A, rot от которой равен вектору индукции магнитного поля, т. е.
rot .BA
Отметим, что векторный магнитный потенциал определяется с точностью до grad произвольной скалярной функции. В самом деле, пусть
(2.28)
Величину
определим в виде
2
А AA
12
grad .A
2
57
. (2.29)
(2.30)
При этом является скалярной функцией. Тогда
B
B
B
A
rot rot ( ) rot rot
AAA AA
12 1 2
. (2.31)
Подставим в (2.31) выражение для
rot rot grad .BA
1
:А
2
(2.32)
Так как rot от градиента любой скалярной функции равен нулю, будем иметь
. (2.33)
rotBA
1
Из выражения (2.31) следует, что если к векторному магнитному потенциалу добавить градиент любой скалярной функции, то само значение векторного потенциала не изменится.
2.6. Уравнения Лапласса–Пуассона
для векторного потенциала
Запишем систему уравнений, характеризующих магнитное поле
в областях, занятых током
(0):
⎧
rot ,
H
⎪
⎪
rot A
⎨
⎪
⎪
⎩
,
(2.34)
H
.
Умножим первое уравнение системы (2.34) на , предполагая, что
в исследуемой среде является постоянной величиной (= const):
rot rot rot .HHB
(2.35)
Подставим в (2.35) второе уравнение системы (2.34), получим
rot rot grad div .
58
2
AA (2.36)
Учитывая, что
x
A
x
j
A
x
x
grad div 0,A
из (2.36) получим
2
A ,
или
2
A. (2.37)
Уравнение (2.37) является уравнением Пуассона для векторного потенциала. При отсутствии в исследуемых областях тока уравнение
Пуассона превращается в уравнение Лапласа:
2
0.A (2.38)
Из уравнения (2.38) следует, что и в областях, не занятых током,
можно использовать понятие о векторном магнитном потенциале.
В декартовой системе координат векторный потенциал представится в виде
iAjAkA
yz
. (2.39)
Вектор плотности тока запишем как
i
Тогда с учетом (2.39) и (2.40) проекции вектора
k
yz
. (2.40)
на оси координат
имеют следующий вид:
Раскрыв дифференциальный оператор
2
A, (2.41)
2
A, (2.42)
yy
2
A. (2.43)
zz
x
2
в уравнениях (2.41)–(2.43),
получим:
222
AAA
xxx
222
xyz
59
, (2.44)
222
AAA
yyy
222
xyz
222
AAA
zzz
222
xyz
, (2.45)
y
. (2.46)
z
Анализ уравнений (2.44) – (2.46) позволяет утверждать, что количество проекций векторного потенциала определяется количеством проекцией вектора плотности тока, т. е. если имеется только одна х-я проекция вектора плотности тока, то и векторный потенциал будет иметь
ту же самую х-ю составляющую.
2.7. Общее решение для векторного потенциала
в однородной и изотропной среде
Уравнения (2.41) – (2.43) для векторного потенциала в декартовой
системе координат, как, впрочем, и в любой другой, показывают, что
компоненты векторного потенциала удовлетворяют уравнению Пуассона, причем каждое из них по структуре соответствует уравнению для
скалярного электрического потенциала. Это позволяет утверждать, что
существует формальная аналогия между уравнениями магнитного и
электрического поля. Например
тенциала в точке М в однородной и изотропной среде можно записать:
, для определения электрического по-
1
М
4
dvr
. (2.47)
∫
V
Используя указанную выше аналогию для компонент векторного потенциала, можно записать, что
dv
A
x
A
y
x
∫
4
V
∫
4
V
60
, (2.48)
r
dv
y
, (2.49)
r
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]