Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
Постоянная интегрирования С определяется в предположении, что
потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю, если
Тогда (1.47) приобретает вид
0.
,r
dvr
∫
v
. (1.48)
4
1.15. Потенциал в поле поверхностно распределенных
зарядов
Рассмотрим некоторую произвольную поверхность S (рис. 1.16), на
которой произвольным образом распределился заряд Q. Для исследования поля такой заряженной плоскости введем переменную , величина
которой равна поверхностной плотности заряда. Элементарный заряд
(который мы примем за точечный), будет иметь вид
.dq ds
Тогда потенциал точки М от элементарного заряда dq определим как
S
Рис. 1.16. К расчету поля произвольной
ds
поверхности
(1.49)
dq = ds
r
M
М
∫
l
М
4
∫
l
21
4
при этом постоянная С будет равна нулю при условии нулевого потенциала на бесконечности. Итак, потенциал в поле заряженной поверхности будет иметь вид
,
C
(1.50)
r
dsr
.
(1.51)
ds
1.16. Потенциал в поле линейно распределенных
М
зарядов
Рассмотрим способ расчета потенциала в окружающем пространстве с диэлектрической проницаемостью от бесконечно тонкой заряженной нити, изображенной на рис. 1.17.
Рис. 1.17. Заряженная нить
По аналогии с расчетом напряженности поля линейных зарядов введем понятие линейной плотности заряда
Q
Выделим участок нити длиной dl. Элементарный заряд, сосредоточенный на этом участке, будет равен
. (1.52)
.dq dl
(1.53)
Потенциал точки М от заряда dq (рассматриваемого как точечный)
определим как
dl
d
М
. (1.54)
4
r
Если проинтегрировать по всей длине нити, получим значение потенциала в точке М:
dl
М
∫
4
l
.
C
(1.55)
r
Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий
на бесконечности (0
при
).r
При этих условиях постоянная
С = 0.
22
Рассмотрим в кулоновском поле две точки, лежащие на расстоя-
A
A
A
нии dl друг от друга. Каждая из этих точек характеризуется потенциа-
и B (рис. 1.18).
лами
Рис. 1.18. Участок dl в электро-
статическом поле
Пусть вектор напряженности электростатического поля E составляет некоторый угол
На отрезке
dl существует некоторое приращение потенциала, поэтому
с направлением пути к точке В (вектором
потенциал точки В определится как
).dl
BA
Найдем из (1.56) приращение потенциала
d (1.57)
.
d (1.56)
:d
.
B
Искомое приращение потенциала равно напряжению du между точками А и В:
cos ,
Edl (1.58)
B
или
cos .du Edl
(1.59)
Из (1.59) следует, что
cos .EE
23
(1.60)
Сопоставив выражения (1.58), (1.59) и (1.60), получим
E
E
E
.
dl d (1.61)
Таким образом, напряженность электростатического поля, как следует из (1.61), определяется в виде
d
. (1.62)
dl
E
Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть вектор напряженности электростатического поля будет перпендикулярен пути интегрирования (рис. 1.19, а).
а б
Рис. 1.19
Тогда, как следует из (1.60), 0E и
. Частные случаи расположения вектора
напряженности
ddl
0,
т.е. вдоль такого пути
отсутствует приращение потенциала и он сохраняет на всем пути постоянное значение. Такая линия (путь) называется эквипотенциалью,
и в каждой ее точке потенциал сохраняет свое неизменное значение. Отметим, что линии вектора напряженности (или силовые линии) и эквипотенциали взаимно перпендикулярны.
Рассмотрим второй
(рис. 1.19, б). Если
женности совпадает с ортом
случай расположения вектора напряженности
и dl параллельны, то направление вектора напря-
n по отношению к линии равного потен-
0
циала, тогда
d
.
n
(1.63)
0
dn
Таким образом, вектор Е направлен в сторону максимального убывания потенциала и по величине равен максимальной скорости этого
24
убывания. В курсе математики такой вектор, имеющий противопо-
E
ложный знак, называется градиентом, и связь между потенциалом
и напряженностью элктростатического поля может быть представлена в виде
grad .E
(1.64)
1.17. Граничные условия в электростатике
При решении практических задач теории поля необходимо обязательно знать, как ведут себя Е, D, φ при переходе через границу раздела
сред с разными характеристиками. Наиболее часто встречаются границы раздела областей с разными диэлектрическими проницаемостями
либо проводящей области с диэлектриком. В связи с этим рассматривается поведение векторов Е, D
(рис. 1.20, а) и диэлектрик – диэлектрик (рис. 1.20, б).
а б
Рис. 1.20.
Соотношения, устанавливающие зависимости между Е, D, φ в точках, близко лежащих к границе радела сред, но в разных областях, называют граничными условиями
Определим граничные условия для проводящего тела, находящегося
во внешнем однородном поле.
Если проводящее тело внести во внешнее поле с напряженностью
женные частицы начнут упорядоченно перемещаться, создавая ток
в этом теле. Безусловно, этот ток не может существовать бесконечно
долго, и по прошествии определенного времени свободные заряды
перераспределятся таким образом, что внутри тела результирующее
(рис. 1.21), то под действием сил этого поля свободно заря-
0
, φ на границах диэлектрик – проводник
1
2
Границы раздела сред
25
суммарное поле (поле перераспределенных зарядов
E
E
E
E
E
)
будет равно нулю.
0
и внешнее поле
0
0
Рис. 1.21. Проводящее тело во внешнем
однородном поле
Из этого следует важный вывод: внутри проводящих тел кулонов-
ского поля не существует. В объеме этих тел напряженность поля
Е = 0. Отсюда можно заключить, что при конечном значении в объеме
проводящей среды вектор электрического смещения
0.DE
Учи-
тывая связь между вектором электрического смещения и объемной
плотностью заряда,
можно утверждать, что при
div D
, (1.65)
св
0D в объеме проводника всегда отсут-
ствуют свободные заряды, т. е. положительные и отрицательные заряды
взаимно скомпенсированы. Заряды в проводящих телах располагаются
лишь в тонком на молекулярном уровне поверхностном слое. Если
внутри проводника имеется полость, то во внутренней полости на ее поверхности всегда отсутствуют заряды, т. е. и здесь
заряд расположен на
внешней поверхности проводящего тела.
1.18. Граничные условия на границе раздела
«диэлектрик – проводник»
Рассмотрим границу раздела двух сред, одна из которых является
проводящей средой, а другая диэлектриком (рис. 1.22). Выберем на гра-
нице
ра (ab) находилась в диэлектрической среде, а cd – в проводящей. Сам
контур выберем бесконечно тонким, т. е.
замкнутый контур abcd таким образом, чтобы часть конту-
ab ac и .cd bd
26
E
E
E
Е
E
E
dl
dl
Рис. 1.22. Граница раздела
«диэлектрик – проводник»
Применим для контура abcd принцип потенциальности в электро-
статике, т. е. составим циркуляцию вектора
по контуру abcd:
Edl
∫
l
()
abcd
(1.66)
0.
Учитывая, что стороны ab и cd достаточно малы, а ac и bd стремятся
к нулю, выражение (1.66) можно записать в виде
где
тора
12
– проекция вектора E на dl в диэлектрике;
1
на dl в проводящей среде.
0,Е ab E cd
(1.67)
– проекция век-
2
Так как в проводящей среде электростатическое поле отсутствует,
то
Так как
0,E и из (1.67) следует, что
2
то из (1.68) можно заключить, что
0,ab
0.Е ab (1.68)
1
0.Е Таким обра-
1
зом, на поверхности проводящего тела отсутствует касательная (тангенциальная) составляющая вектора напряженности электростатического
поля, т. е.
0.Е
(1.69)
27
Выводы
D
1. На поверхности проводящего тела существует только нормальная
компонента вектора напряженности электростатического поля.
2. Силовые линии (или линии вектора напряженности электростати-
ческого поля) входят в проводящее тело под прямым углом.
3. Поверхность проводящего тела в электростатическом поле есть
поверхность равного потенциала, или эквипотенциальная поверхность.
4. На поверхности проводящего тела отсутствует касательная ком-
понента
на которой размещен заряд с поверхностной плотностью , для вектора
электрического смещения
вектора электрического смещения (0).D Е
Рассмотрим граничные условия на границе диэлектрик – проводник,
.D
ds
1n
D0
Рис. 1.23. Вектор электриче-
ского смещения на границе
диэлектрик – проводник
Охватим часть границы раздела сред
ностью S, в качестве которой возьмем параллелепипед, грани которого
бесконечно близки к границе раздела (рис. 1.23). Применим к этой поверхности постулат Максвелла в интегральной форме:
Поток вектора
потоков: потока через основания параллелепипеда и потока через его
боковые грани. Так как на боковых гранях нашей поверхности угол
между вектором
грани равен нулю. Тогда полный поток вектора
D
через замкнутую поверхность S состоит из двух
D
и вектором ds составляет 90°, поток через боковые
Dds q
∫
s
()
замкнутой поверх-
.
(1.70)
D
через замкнутую
28
поверхность S с учетом равенства нулю вектора D в объеме проводника
D
будет равен
ds D ds q ds
1
n
∫∫
ss
торц торц
1
n
,
или, учитывая малость ds,
Dds ds (1.71)
1.n
Из (1.71) следует, что
D (1.72)
1.n
Итак, на поверхности проводника вектор электрического смеще-
D
ния
имеет одну нормальную составляющую, численно равную по-
верхностной плотности заряда σ.
Окончательно условия для границы «диэлектрик – проводник»
имеют вид:
const,
0,E
D
1.n
(1.73)
1.19. Граничные условия на границе
«диэлектрик – диэлектрик»
Рассмотрим поведение векторов
диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями
(рис. 1.24). Для этого выберем на границе раздела сред малый замкнутый контур, пронизывающий границу и бесконечно близко прилегающий к ней.
Распространим на этот контур принцип потенциальности в электро-
статике. Будем обходить контур по часовой стрелке:
, , ED
на границе раздела двух
0.Edl
∫
(1.74)
29
D
Рис. 1.24. Граница диэлектрик – диэлектрик
Ввиду малости контура интеграл (1.74) можно записать в виде
12
0.Edl E dl
(1.75)
Из (1.75) следует, что
.EE
(1.76)
12
Таким образом, можно сделать следующий вывод.
При переходе через границу раздела сред «диэлектрик – диэлектрик» остается непрерывной касательная к этой границе компонента вектора напряженности электростатического поля.
Полученное условие говорит также и о том, что касательная составляющая вектора электрического смещения на границе сред с различными диэлектрическими проницаемостями обязательно терпит разрыв.
Учитывая, что
для касательных компонент вектора напряжен-
,
E
ности электростатического поля получим:
D
1
E
1
E
2
, (1.77)
1
D
2
. (1.78)
1
На основании граничных условий (1.76) приравняем (1.77) к (1.78).
Тогда получим
DD
12
12
, (7.79)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]