Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
В правой части теоремы Гаусса запишем полный свободный заряд,
находящийся в объеме, ограниченном цилиндрической поверхностью s
текущего радиуса r, располагающейся во второй области:
R
2
qrdrrdr
св 12
R
2
∫∫
RR
12
2
kRR
22
∫∫
RR
12
22
kr r dr r dr
33
21
3
r
r
2
22
rR
22
Тогда в соответствии с теоремой Гаусса будем иметь:
33 22
2
kRR rR
2
2
rr
26 2
22 2
23 2
rr r
22 2
⎡⎤
⎢⎥
∫
⎢⎥
23 2
rr r
22 2
r
⎢⎥
⎣⎦
E
21 2 2
33 2 2
kR R r R
21 2 2
33 22
kR R r R
21 2 2
.
; (1.103)
dr
33
kR R
11
ln ln ln
2342
rr
22 22
21
22
rR
222
rC
2
. (1.104)
В выражениях (1.102) и (1.104) имеются неизвестные постоянные
C
интегрирования
C
и
1
, а также линейный заряд , которые подлежат
2
41
определению. Найти указанные величины можно из граничных усло-
R
R
R
вий:
0 при ,
⎧
rR
1
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
при ,
12 2
rR
(1.105)
при ,
UrR
23
⎪
⎪
при .
DD rR
12 2
nn
⎩
Из первого граничного условия системы (1.105) представляется возможность найти постоянную
0ln ln,
293
11 1 1
2(13ln)9ln
С
1
:С
1
33
kR kR
1
R
kR R R
11
3
111
18
1
C
11
(1.106)
.
Постоянную интегрирования
С найдем из условия равенства не-
2
прерывности потенциала на границе раздела сред (см. рис. 1.24) (второе
rR
граничное условие (1.105)). При
ln ln
293
12 1 1
33
kR R
2342
11
ln ln ln
RR
22 2 2 2 2
21
kR kR
1
R
будем иметь:
2
33
21
22
RR
22 22
C
21
22
. (1.107)
C
Из выражения (1.107) представляется возможным получить постоянную интегрирования
()
С R
21
233
:С
2
3
⎛⎞
21 2
21 2 1 2
11
ln ln
RR
R
k
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
42
3
1
R
ln
k
RR
33
222
34
22
RRC
21 2 1
2
(1 2 l n ) .
Неизвестную плотность заряда , распределенную по длине цилиндра, отыщем с помощью третьего граничного условия системы уравнений (1.105):
33
kR R
URC
2342
11
ln ln ln
RR
23 2 3 2 2
21
23
2
R
22
2
R
,
32
откуда заряд получим в виде
⎛⎞
⎜⎟
2lnln
URC
232
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
33
kR R
21
342
2322
1
R
ln
R
23
2
R
22
2
R
1
3
. (1.108)
Тогда емкость двухслойного цилиндрического конденсатора на единицу длины с учетом (1.108) и найденных постоянных интегрирования
найдется как
С
0
U
UkRR R R RR C
12 4 ln1 2 ln 12
2213232322
33 2 2
6ln1/
UR
3
.
1.24. Поле плоского конденсатора
Рассмотрим пример применения уравнений Лапласа–Пуассона для
расчета электростатического поля в декартовой системе координат.
Пусть требуется рассчитать емкость плоского конденсатора, к которому
приложено постоянное напряжение U (рис. 1.27).
43
Произведем качественный анализ распределе-
E
x
ния электрического поля в объеме плоского кон-
денсатора. Для упрощения расчета будем считать
обкладки конденсатора бесконечно длинными,
т. е. пренебрежем эффектом «выпучивания» поля
у края конденсатора. При таких допущениях вектор напряженности поля будет иметь только
х-ю компоненту и зависеть, как и потенциал,
Рис. 1.27. Плоский
конденсатор
только от координаты
кам конденсатора приложено напряжение, на их
х. Учитывая, что к обклад-
поверхностях появится некоторый равномерно
распределенный связанный заряд с поверхностной плотностью . Далее
начнем производить расчет поля. Так как внутри объема конденсатора
отсутствуют свободные заряды, то поле будет описываться уравнением
Лапласа
2
0. (1.109)
Решение (1.109) известно и имеет вид
Cx C
12
. (1.110)
Напряженность электрического поля определится как
или
Неизвестные постоянные интегрирования
grad ,E
x
(1.111)
C
.
1
С и 2С определяются из
1
граничных условий:
00,
x
⎧
⎪
⎨
dU
⎪
⎩
(1.112)
.
Воспользовавшись граничными условиями (1.112), получим си-
стему уравнений
00,
СС
⎧
12
⎪
⎨
UCdC
⎪
⎩
12
44
(1.113)
,
решив которую найдем неизвестные постоянные интегрирования
x
x
E
U
Cd
,
1
0.C
2
С учетом найденных постоянных интегрирования решения (1.110)
и (1.111) будут иметь вид:
U
; (1.114)
d
U
xe
. (1.115)
d
Емкость плоского конденсатора на единицу площади обкладок оты-
щем по формуле
С
где
– поверхностная плотность заряда на обкладках плоского конден-
,
0
U
сатора.
Плотность заряда
вием для вектора электрического смещения
найдем, воспользовавшись граничным усло-
D
1:n
0, .
xD
1
n
С учетом того что в объеме конденсатора существует только одна
нормальная к обкладкам конденсатора компонента вектора электрического смещения, получим
Ud
.
С учетом последнего выражения емкость плоского конденсатора на
единицу площади его обкладок запишем в виде
С
0
Ud
45
. (1.116)
Если площадь обкладок рассматриваемого конденсатора известна
E
R
E
f
и равна S, то его емкость будет определяться формулой
S
С
. (1.117)
d
Далее рассмотрим пример расчета поля более сложной задачи, когда
компоненты поля зависят от двух координат.
1.25. Проводящий цилиндр в однородном поле
Пусть в однородное внешнее поле с напряженностью
проводящий незаряженный цилиндр радиусом
. Требуется исследо-
0
внесен
0
вать поле в окружающем цилиндр пространстве (рис. 1.28).
Рис. 1.28. Проводящий цилиндр в однородном
поле
Расчет поля будем производить в цилиндрической системе координат, центр которой будет совпадать с осью цилиндра, а координата Z
будет направлена вдоль его оси. Сам цилиндр будем считать бесконечно
длинным. Тогда при качественном анализе картины поля (см. рис. 1.28)
можно заметить, что компоненты поля не будут зависеть от координаты Z, а
именно
и ()
fz
,
т. е.
(, )
r
. (1.118)
46
Так как в окружающем цилиндр пространстве нет свободных заря-
R
дов, то расчет поля произведем с использованием уравнения Лапласа:
2
0. (1.119)
В цилиндрической системе координат уравнение (1.109) приобретает вид
11
Представим потенциал
⎛⎞
⎜⎟
rr r
⎝⎠
как произведение двух функций R и A,
каждая из которых зависит только от одной из координат r или
2
22
r
0.r
(1.120)
со-
ответственно. Тогда будем иметь:
() ( )RrA
. (1.121)
Подставив выражение (1.121) в (1.120), получим
ARRA
⎛⎞
r
⎜⎟
rr r
⎝⎠
2
0.
(1.122)
22
r
Разделим переменные в (1.122), для чего умножим обе части этого
2
уравнения на
r
:
A
2
rR A
⎛⎞
r
⎜⎟
Rr r A
⎝⎠
1
2
0.
(1.123)
В уравнении (1.123) первое слагаемое зависит только от коорди-
,
наты r, а второе – только от
а так как r и независимые перемен-
ные, то (1.123) может существовать лишь в случае , когда каждое из слагаемых есть некоторая постоянная, сумма которых равна нулю.
В результате (1.123) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения, зависящих только от одной переменной, причем
каждое из этих уравнений равно некоторой константе. Если обозначить
2
эту постоянную через
,k то получим
rd dR
⎛⎞
rk
⎜⎟
Rdr dr
⎝⎠
2
,
(1.124)
47
2
R
R
R
1.A
A
2
2
k
(1.125)
Будем искать решение уравнения (1.124) в виде степенной функции
n
.
Br (1.126)
Проверим, является ли формула (1.126) решением уравнения (1.124),
и если да, то при каких значениях n. Для этого подставим (1.126) в уравнение (1.124):
rn d d rnB d d Br
⎛⎞
rBr r
⎜⎟
nn
dr d dr dr
Br Br
⎝⎠
rnB d nBnrr
Br Br
n
()
nn
dr
n
rk
() .
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
1
n
n
()
2
(1.127)
Из (1.127) следует, что
Таким образом, если
2
,nk
то уравнение (1.126) будет являться
.nkk
решением уравнения (1.124). Для общности решения для R нужно представить как для
так и для .nk Тогда общее решение для
,nk
функции R запишется в виде
kk
Br B r
(1.128)
12
.
Уравнение (1.125) – однородное дифференциальное уравнение второго порядка, его решение известно и представляется в виде суммы
синусоидальных функций:
sin cos .AA k A k (1.129)
12
Следовательно, общее решения уравнения Лапласа для области вне
проводящего цилиндра имеет вид
ABr Br A k A k
kk
12 1 2
(sin cos ).
48
(1.130)
Постоянные интегрирования
E
E
, , , AA BB определяются из гра-
1212
ничных условий. Качественный анализ поля (рис. 1.28) показывает,
что относительно координаты потенциал – функция четная, т. е.
,() ( )
поэтому нечетное решение в (1.130) должно быть исклю-
чено. Следовательно,
0,А и тогда решение (1.130) для потенциала
1
принимает вид
(, ) cos .
rBArBAr k
kk
12 21
(1.131)
Преобразуем (1.131), введя новые обозначения для постоянных интегрирования:
С BA
112
С BA
221
,
(1.132)
.
В результате получим
(, ) cos .
r С r С rk
kk
12
(1.133)
Соотношения для компонент вектора напряженности электрического поля получим, расписав выражение
gradE
в цилиндриче-
ской системе координат:
r
1
r
kCr Cr k
r
1(1)
kk
12
1(1)
kk
kCr Cr k
12
cos ,
sin .
(1.134)
(1.135)
Постоянные интегрирования найдем из граничных условий. Очевидно, что при достаточном удалении от цилиндра поле в окружающем
пространстве становится неискаженным (рис. 1.28) и можно определить
компоненты вектора напряженности в виде
EE
cos ;
0
r
sin .EE
0
49
(1.136)
(1.137)
Тогда для компоненты
E
E
при r будем иметь
r
1
k
kC r k E
(1.138)
cos cos .
10
Анализ выражения (1.138) показывает, что k принимает значение,
равное единице, т. е.
1.k Подставив это значение в выражение (1.136),
получим
0
1cos cos,Cr E
10
откуда следует, что
Для определения постоянной интегрирования
ницу
являющуюся поверхностью цилиндра. Так как поверхность
,ra
СЕ .
10
С рассмотрим гра-
2
проводящего цилиндра есть поверхность эквипотенциальная, то на ней
обязательно должна отсутствовать касательная составляющая век-
тора
т. е. ( ) 0.Ea Подставив
,
найденной постоянной интегрирования
⎛⎞
Найдем постоянную
⎜⎟
⎝⎠
С из выражения (1.139):
2
ra
1
02
20
2
a
в выражение (1.135), с учетом
С
и значения k получим
1
sin 0.EEC
2
.CEa (1.140)
(1.139)
Окончательные решения с учетом найденных постоянных интегрирования и величины k будут иметь вид:
2
⎛⎞
⎜⎟
0
⎜⎟
r
⎝⎠
a
Er
⎛⎞
EE
r
1cos;
⎜⎟
0
⎜⎟
⎝⎠
a
2
r
cos ;
(1.141)
(1.142)
EE
⎛⎞
⎜⎟
0
⎜⎟
⎝⎠
2
a
1sin.
(1.143)
r
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]