Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
dv
A
Тогда с учетом выражений (2.46) – (2.48) для компонент векторного
потенциала получим:
Окончательно выражение для векторного потенциала в однородной
и изотропной среде будет иметь вид
Рассмотрим решение для векторного потенциала в однородных
и изотропных средах при наличии проводников с током (рис. 2.3).
A
z
4
xx x
∫
V
A
z
∫
4
V
ijkdv
∫
4
V
. (2.50)
r
r
dv
. (2.52)
. (2.51)
r
dA
Рис. 2.3. Проводник с током
в однородной среде
Для определения векторного потенциала в произвольной точке пространства воспользуемся уравнением
dv
A
4
61
. (2.53)
∫
r
V
Плотность тока в проводнике:
s
s
s
В
i
Вектор плотности тока определим в виде
id
d
. (2.54)
, (2.55)
Подставив (2.55), (2.56) в (2.53), получим:
id s id
Ad
44
∫∫
dr r
A
.dv sd (2.56)
id
∫
4
. (2.58)
r
, (2.57)
2.8. Закон Био–Савара–Лапласа
Этот закон позволяет при наличии линейных проводников с током
производить расчет непосредственно вектора магнитной индукции
либо напряженности магнитного поля
Возьмем операцию rot от выражения (2.58):
⎛⎞
rot
B
В связи с тем что операция rot берется по точке наблюдения, то rot
можно внести под знак интеграла:
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
id
∫
4
.H
. (2.59)
r
B
4
⎛⎞
id
rot
∫
62
⎜⎟
⎝⎠
. (2.60)
r
⎡⎤
dr
⎛⎞
d
Так как
уравнение закона Био–Савара–Лапласа:
Как правило, закон Био–Савара–Лапласа, записанный для вектора
индукции или напряженности магнитного поля, применяется для замкнутых контуров, которые достаточно просто описываются аналитически в той или иной системе координат. Применяется закон в сочетании
с методом наложения для бесконечно длинных проводников или для
контуров в виде окружности. Аналитически точное
только для некоторых частных случаев (например, для определения
напряженности на оси витка или на линии, проходящей через середину
линейного проводника). В других случаях решение получается в виде
бесконечных рядов либо в специальных функциях.
rot
⎜⎟
⎝⎠
r
⎣⎦
3
r
B
4
H
4
, то подставив его в (2.60), получим
⎡⎤
dr
i
i
⎣⎦
∫
3
r
⎡⎤
dr
⎣⎦
∫
3
r
; (2.61)
. (2.62)
решение получается
2.9. Граничные условия в магнитном поле
Рассмотрим поведение векторов напряженности магнитного поля,
индукции, а также скалярного и векторного магнитного потенциала на
границе раздела сред с различными магнитными проницаемостями.
Пусть существует некоторый объем, в котором существуют две среды с
различными по величине значениями
Выберем на границе раздела сред замкнутую поверхность в виде параллелепипеда и применим к ней принцип непрерывности магнитного
потока.
Математическая запись принципа непрерывности магнитного потока имеет вид
∫
s
и 2 (рис. 2.4).
1
0.
Bds
(2.63)
63
В
B
Рис. 2.4. Нормальная компонента
вектора индукции на границе раз дела сред
Учитывая, что магнитный поток через боковые грани нашей поверхности отсутствует (векторы
и ds взаимно перпендикулярны), будем
n
иметь
Bds B ds
12
nn
0,
или
B . (2.64)
12nn
При переходе через границу раздела сред с различными магнитными проницаемостями остается непрерывной нормальная к этой
поверхности компонента вектора индукции.
Оценим поведение вектора напряженности магнитного поля при переходе через среды с различными характеристиками. Для общности рассмотрим «активную» границу, т. е. будем предполагать, что в очень тонком слое границы существует электрический ток, направленный по нормали к плоскости чертежа (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Вектор Н на границе раздела
сред
64
Пусть на единицу границы раздела сред приходится ток
H
H
H
H
.dijdl
(2.65)
Такого типа токи принято называть токовыми настилами, при этом
j-плотность настила тока определяется как
di
jdl
. (2.66)
Охватим нашу границу малым контуром в виде прямоугольника ,
стороны которого 2–3 и 1–4 лежат в разных средах (рис. 2.5), и применим к нему закон полного тока:
dl Iw
∫
l
.
(2.67)
Устремив к нулю длины сторон 1–2 и 3–4 и обходя контур по часовой стрелке, получим
dl H dl jdl
(2.68)
12
.
Сократив полученное уравнение (2.68) на dl, получим граничное
условие для тангенциальной составляющей вектора напряженности
магнитного поля
Hj
(2.69)
12
,
которое формулируется следующим образом.
При переходе через границу раздела двух сред с различными
магнитными проницаемостями касательная компонента вектора
напряженности магнитного поля терпит разрыв, равный плотности
настила тока.
Если рассматриваемая граница пассивна (j = 0), то тангенциальная
(касательная) составляющая вектора
H
будет непрерывна, т. е.
H
. (2.70)
12
Рассмотрим немагнитную область, которая граничит с ферромагнитным телом (рис. 2.6), граница которой пронизывается магнитным
потоком Ф.
65
B
B
Н
Рис. 2.6. Магнитный по-
ток на границе с ферро магнитной средой
Выберем поверхность S таким образом, чтобы она полностью находилась внутри ферромагннтного тела. Магнитный поток, пронизывающий эту поверхность, определяется соотношением
Ф
ds
, (2.71)
∫
s
и он, конечно, не равен нулю. Тогда и величина магнитной индукции
в ферромагнитном теле не равна нулю и определяется формулой
.
H
(2.72)
f
Учитывая, что магнитная проницаемость ферромагнитных тел очень
велика, при теоретических исследованиях ее принимают равной бесконечности. Тогда напряженность поля внутри тела равна
B
H
f
0.
(2.73)
f
Выражение (2.71) позволяет сделать важный вывод: внутри ферро-
магнитных тел не существует напряженности магнитнго поля
()0.
Н
Так как при переходе границы раздела сред должно обяза-
f
тельно выполняться условие
H
, (2.74)
12
то в случае нашей границы получим
66
0.
(2.75)
f
Н H
1
Таким образом, на пассивной границе с ферромагнитной поверхностью отсутствует касательная компонента вектора напряженности
магнитного поля. Это означает, что вся ферромагнитная поверхность
имеет одинаковый магнитный потенциал. При этом скалярный магнитный потенциал остается постоянным во всем объеме ферромагнетика. Если рассматриваемая граница активна (на границе существует
настил тока j), то из
(2.75) следует, что
.Hj (2.76)
1
Из выражения (2.76) следует, что на активной границе с ферромагнетиком касательная компонента вектора напряженности магнитного
поля равна плотности настила тока.
Сформулируем граничные условия для скалярного магнитного потенциала.
1. Скалярный магнитный потенциал определяется с точностью до
произвольной постоянной.
2. Скалярный магнитный потенциал – функция ограниченная и не
может принимать бесконечных значений при
конечных приращениях
расстояний.
3. Скалярный магнитный потенциал – функция непрерывная и на
границе раздела сред не может изменяться скачком.
Отметим, что в областях, занятых током, для анализа магнитного
поля используется векторный магнитный потенциал, граничные условия для которого имеют следующий вид.
1. Векторный магнитный потенциал определяется с точностью до
градиента произвольной скалярной
функции.
2. Векторный магнитный потенциал – функция непрерывная и на
границе раздела сред не может изменяться скачком.
67
B
E
E
j
j
3. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕМЕННОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Под переменным электромагнитным полем принято понимать совокупность изменяющихся во времени и взаимосвязанных друг с другом
электрического и магнитного поля. Впервые эти поля математически
были описаны Максвеллом. В настоящее время выведенные им уравнения получили широкое признание и стали называться уравнениями
классической электродинамики или просто уравнениями Максвелла.
Математическая запись этих
уравнений имеет вид
⎧
rot ,
HE
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
rot .
E
E
t
(3.1)
tt
H
Первое уравнение системы (3.1) является обобщением закона полного тока . Заслуга Максвелла – введение в закон полного тока тока сме-
щения. При этом
пр
– ток проводимости;
см
– ток сме-
t
щения.
Система (3.1) составлена для мгновенных значений характеристик
поля. Пусть величины поля являются синусоидальными функциями
времени, тогда
() sin( ) ( )
et E t JmE e
,
mE
() sin( ) ( )
н tH t JmHe
mH
68
t
m
t
m
.
Если ввести понятие комплексных амплитуд
H
j
j
j
j
j
j
HHe
m
EEe
m
j
m
m
,
j
E
,
то получим
t
HHe
EEe
m
,
m
t
.
В этом случае векторами Е и Н становятся комплексные векторы,
изображающие гармонические функции времени, которые имеют некоторые направления в пространстве. Проекции этих векторов на оси координат изменяются во времени по синусоидальному закону.
Запишем слагаемые, входящие в систему уравнений Максвелла (3.1),
в комплексном виде:
rot rot( ) rot ,
HHeeH
(3.2)
jt jt
E
t
H
t
EEe
(3.5)
(3.3)
,
E
(3.4)
,
H
t
.
Если подставить полученные выражения (3.2) – (3.5) в систему уравнений Максвелла (3.1), то получим
⎧
eEjHe
⎪
⎪
⎨
⎪
eHeEjEe
⎪
⎩
jt jt
rot ,
(3.6)
tjt jt
rot .
69
j
t
Е
E
H
E
E
П
Сократив на множитель
в системе (3.6), получим
e
⎧
rot ,
EjH
⎪
⎪
⎨
⎪
rot .
HEjE
⎪
⎩
(3.7)
Система (3.7) является системой уравнений классической электродинамики в комплексной форме.
3.1. Теорема Умова – Пойнтинга
Теорема Умова – Пойнтинга исследует энергетический баланс в
электромагнитных полях. Рассмотрим теорему, записанную для мгно-
венных значений векторов
стемы (3.7) на
rot ,
а второе на
,Еdv
Hdv EEdv Edv E dv dv
и .H Умножим первое уравнение си-
получим:
,Hdv
2
EE
tt
rot .
Edv dv
t
2
2
⎛⎞
H
⎜⎟
⎜⎟
2
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
2
⎝⎠
(3.9)
(3.8)
Вычтем из уравнения (3.8) уравнение (3.9), будем иметь
⎡⎤
(rot rot) .
HH Edv E dv
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
2
tt
2
⎛⎞
EH
⎜⎟
22
⎝⎠
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(3.10)
Преобразуем выражение в скобках левой части уравнения (3.10)
и запишем его как
⎡⎤
div rot rot .
HEHHE
⎣⎦
(3.11)
Введем новое обозначение:
[].EH
70
(3.12)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]