Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика и кинематика. Курс лекций
.pdf
14. Как определяется кориолисово ускорение при сложном дви-
жении точки?
15.
Сформулируйте теорему Кориолиса.
16.
При каких движениях точки равны нулю:
а) касательное ускорение?
б) нормальное ускорение?
17.
Круг радиусом R вращается с угловой скоростью ω вокруг
вертикальной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной
его плоскости. По диаметру этого круга движется точка М. Чему
равна по величине и как направлена переносная скорость точки М в
момент, когда эта точка находится в центре круга; на его окружности?
18.
Какое движение тела называется поступательным? Чему рав-
ны скорости и ускорения точек тела при таком движении?
19.
Какой можно привести пример криволинейного поступатель-
ного движения твердого тела?
20.
Какое движение тела называется вращательным? Чему равны
скорости и ускорения точек тела при таком движении? Напишите
формулу Эйлера.
21.
Как выражаются касательное и центростремительное ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?
22.
Каково геометрическое место точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, скорости которых в данный момент
имеют одинаковую величину и одинаковое направление?
23.
Какое движение тела называется сферическим? Чему равны
скорости и ускорения точек тела при таком движении? Что такое
мгновенная угловая скорость и мгновенная ось вращения тела при
его сферическом движении?
24.
Как определяются углы Эйлера при сферическом движении
тела? Как направлена линия узлов?
25.
Напишите кинематические уравнения Эйлера.
26.
Какое движение тела называется плоскопараллельным? Чему
равны скорости и ускорения точек тела при таком движении?
27.
Как определяется мгновенный центр скоростей плоской фигу-
ры, движущейся в своей плоскости?
28.
Как можно графически найти положение мгновенного центра
скоростей, если известны скорости двух точек плоской фигуры?
29.
Каковы будут скорости точек плоской фигуры в случае, когда
мгновенный центр вращения этой фигуры бесконечно удален?
71
30. Как связаны между собой проекции скоростей двух точек пло-
ской фигуры на прямую, соединяющую эти точки?
31.
Даны две точки (А и В) движущейся плоской фигуры, причем
известно, что вектор скорости точки А перпендикулярен АВ. Как направлена скорость точки В?
32.
Каково геометрическое место точек плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, скорости которых в данный момент равны
по величине?
33.
Как определяется мгновенный центр ускорений тела при его
плоском движении?
72
9. КРАТКИЙ КУРС СТАТИКИ И КИНЕМАТИКИ
(
)
{
}
n
FF
9.1. Краткий курс статики
Сила
есть мера механического взаимодействия твердых тел, в ре-
зультате которого тела могут приобретать ускорения или деформироваться. Сила есть векторная величина и характеризуется модулем,
точкой приложения и направлением (линией действия силы) (рис. 9.1):
Твердое тело
z
F
k
Линия
действия
силы
Сила
O
j
i
x
Точка приложения силы
FFFFFF
222
−++=
FFFF
zyx
Главным вектором системы сил
метрическая сумма (рис. 9.2):
=
O
Рис. 9.1
[]
zyxxyx
n
FF
∑
=
1
i
y
),Ньютон(H,,, ==++= FkjiF
,силы модуль
.1,ортыединичные,, ===− kjikji
,... ,
1
,
i
называется их гео-
73
(
)
=F
(
)
O
M,M,M ,
xyz
(
)
n
.
FF
=
∑
Oz
iz
1
=
i
n
,,F,FF
OzOyOxO
=F
,,F,FF
=
Ox
∑
=
i
1
iziyixi
,
FF
ix
Oy
n
=
∑
=
1
i
F
1
F
F
2
1
Полюс O
F
2
F
O
F
F
n
Твердое тело
n
Рис. 9.2
Моментом силы относительно точки называется векторное про-
изведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы:
,
FF
iy
=
()
где
=−r радиус-вектор точки приложения силы;
менты силы относительно осей x, y и z (рис. 9.3).
74
kji
()
zyx kji
FFF
zyx
xOyOz
,,
()
−=
FFF ,,F вектор силы;
zyx
()
O
=×= FrFM
()
()
=−+−+−==
yFxFxFzFzFyF
xyzxyz
мо-
−−=−=−=
yFxFMxFzFMzFyFM ,,
xyOzzxOyyzOx
Момент силы
M
Против хода ча-
совой стрелки
O
(F)
z
- сила
F
k
h
r
– радиус-вектор
O
j
y
i
x
h − плечо
Рис. 9.3
M
(F)
O
r
F
Правило правой руки
Рис. 9.4
Момент силы M
перпендикулярен радиус-вектору r и вектору
O
силы F.
Положительным направлением момента силы считается направление, откуда поворот силы виден происходящим против хода часовой стрелки. В механике плечом называется кратчайшее расстояние
от точки до линии действия силы. По абсолютной величине момент
силы относительно точки равен произведению «силы на плечо»:
O
() ()()
Fh.,rF,rF
===×= FrFrFrM sinsin
Для определения направления момента силы удобно пользоваться
«
правилом правой руки» (рис. 9.4).
75
Главным моментом системы сил относительно выбранной точ-
{
}
FF
R
Ж
ки называется геометрическая сумма моментов всех сил относительно этой точки:
n
O
i
()
n
.
FrFMM ×==
∑∑
iO
11
==
i
ii
Необходимым и достаточным условием равновесия системы
сил является равенство нулю главного вектора и главного момента
этой системы сил:
.,
00 == FM
OO
Эти два векторных равенства эквивалентны шести скалярным ра-
венствам:
.M,M,M,F,F,F
000000 ======
OzOyOxOzOyOx
Парой сил называется совокупность двух сил
,−
, равных по
модулю и противоположных по направлению.
Основные опоры и их опорные реакции в теоретической механике
представлены на рис. 9.5.
y
A
A
R=y
A
A
y
A
A
x
A
MA
Цилиндрическая
шарнирно-
неподвижная
опора
Цилиндрическая
шарнирноподвижная
опора
есткая задел ка
(защемление)
R
x
A
Рис. 9.5
76
9.2. Краткий курс кинематики
,.
Рассмотрим
В инерциальной (неподвижной) системе координат абсолютной
скоростью точки называется векторная величина, численно равная
полной производной радиус-вектора точки по времени:
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в
сторону ее движения.
Абсолютным ускорением точки называется векторная величина,
численно равная полной производной абсолютной скорости точки по
времени:
декартову прямолинейную систему координат (рис. 9.6).
+Δ −
rr
tt t
r
d
vv
== =
z
k
O
i
x
lim
dt t
Δ→
t
M(x,y,z) – точка
r – радиус-вектор
j
()()
0
y
Δ
v – вектор скорости
траектория точки
|i|=|j|=|k|=1
Рис. 9.6
[]
м
с
Простейшие движения твердого тела: поступательное, плоскопараллельное, сферическое и вращательное.
Поступательным движением твердого тела называется движение тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается
параллельной самой себе в течение всего времени движения.
Плоскопараллельным движением твердого тела называется
движение, при котором любая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой фиксированной неподвижной плоскости.
Вращательным движением твердого тела (движением тела во-
круг неподвижной оси) называется движение тела с двумя неподвиж-
W
d
dt
d
dt
2
rv
[]
м
=== W
с
.,
22
77
ными точками (рис. 9.7). Ось, проходящая через две неподвижные
ϕ
ϕ
точки, называется осью вращения тела (ось z).
z
ω − угловая скорость
k
O
x
Вектором угловой скорости при вращательном движении твердого тела называется векторная величина, численно равная полной
производной угла поворота тела по времени и направленная в ту сторону, откуда поворот тела виден происходящим против хода часовой
стрелки:
Твердое тело
y
v − скорость
− угол поворота тела
Рис. 9.7
d
k
ω
=
.
dt
Вектором углового ускорения при вращательном движении
твердого тела называется векторная величина, численно равная полной производной вектора угловой скорости по времени:
ω
d
ε
dt
2
ϕ
d
==
dt
.
k
2
Сферическим движением твердого тела называется движение тела
с одной неподвижной точкой. При сферическом движении тело в каждый фиксированный момент времени совершает вращательное движение с мгновенной угловой скоростью ω вокруг некоторой оси.
Сложным движением точки М называется движение точки относительно подвижной системы координат. Рассмотрим инерциальную (неподвижную) систему координат O
78
. Пусть подвижная
1x1y1z1
система координат Аx
ρ
движется поступательно относительно не-
2y2z2
подвижной системы координат. Пусть система координат Аxyz совершает вращательное движение относительно подвижной системы
координат Аx
с мгновенной угловой скоростью ω . Движение
2y2z2
точки M относительно неподвижной системы координат называется
абсолютным движением точки, а движение точки M относительно
подвижной системы координат Аxyz называется относительным
движением точки (рис. 9.8).
z
M
z
1
r
k
j
A
O
r
i
A
y
1
x
x
1
Рис. 9.8
Пусть r и ρ – радиус-векторы точки M относительно неподвижной
и подвижной систем координат.
Абсолютная скорость точки M равна
,
vvvρωvv +=+×+=
где
ρωvv ×+=
Ae
– переносная скорость точки M (скорость точ-
rerA
ки подвижной системы координат Axyz, которая в данный момент времени совпадает с точкой M);
v – относительная ско-
r
рость точки M (скорость точки M относительно подвижной системы координат Axyz).
Теорема. Абсолютная скорость точки при сложном движении
равна сумме переносной и относительной скоростей.
Абсолютное ускорение точки M равно
79
r
v
()
,
WWWvωWρωωρεWW ++=×++××+×+= 2
CrerrA
где
(
ускорение точки подвижной системы координат Axyz, которая в
Ae
данный момент времени совпадает с точкой M);
()
ρωωρεWW ××+×+=
– переносное ускорение точки M
– относи-
W
r
тельное ускорение точки M (ускорение точки M относительно
подвижной системы координат Axyz);
сово ускорение точки M
()()
vωW ×= 2 – кориоли-
rC
,vW vωsin2ω= .
rrC
Касательным (тангенциальным) ускорением точки M называ-
τ
ется ускорение
ускорением точки M называется ускорение
=×W ερ
e
, а центростремительным (нормальным)
n
=× ×W ωωρ. Цен-
e
()
тростремительное ускорение всегда направлено в сторону линии вектора угловой скорости ω и перпендикулярно ей.
Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение точки при сложном
движении равно сумме переносного, относительного и кориолисова
ускорений.
Вектор W
перпендикулярен векторам ω и
C
. Для определения
направления кориолисова ускорения удобно пользоваться «прави-
лом правой руки» (рис. 9.9).
W
C
ω
v
r
Правило правой руки
Рис. 9.9
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]