Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика и кинематика. Курс лекций
.pdf
cos 2sin ,
R
y
y
r
A
2
α
x
φ
O
C
O
x
B
a
б
Рис. 5.5
Введем полярную систему координат (r, φ) (рис. 5.5, б). В силу
симметрии центр тяжести дуги С лежит на оси x. Поэтому координата центра тяжести y
α
2
RRR
=ϕϕ=α=
∫
22
ααα
R
−α
= 0. Другая координата центра тяжести равна
C
α
1
xdRdLRyRx
,,sin,cos
C
L
sin
α
d
sin
R
=
x
C
α
α
.
cos
∫
α−
=ϕ=ϕ=ϕ=ϕ=
dLR
Для полуокружности (α = π / 2) имеем
Круговой сектор. Рассмотрим сектор круга с радиусом R, соответствующий углу 2α (рис. 5.6). Площадь сектора равна S = αR
Введем полярную систему координат (r, φ). В силу симметрии
центр тяжести сектора С лежит на оси x. Поэтому координата центра
тяжести y
= 0. Другая координата центра тяжести равна
C
2
R
.
=
x
C
π
2
.
41
xddrrdSryrx
ϕϕ
ϕϕ
2sin ,
y
,,sin,cos
C
RR
αα
11
=
22
RR
αα
12sin
=α=
2
R
α
rrdrd rdr d
∫∫ ∫ ∫
00
cos cos
−α −α
3
RR
33
=
α
α
x
=
C
2
R
sin2
α
.
3
α
α
R
1
S
0
=
cos
∫∫
α−
=ϕ=ϕ=ϕ=ϕ=
dSr
R
A
x
O
α
2
C
B
Рис. 5.6
Для полукруга (α = π / 2) имеем
x
C
.
=
3
π
R
4
Поверхность шарового сегмента. Рассмотрим шаровой сегмент
сферы с радиусом R. Пусть h – высота шарового сегмента (рис. 5.7).
В силу симметрии центр тяжести шарового сегмента С лежит на
оси x. Координата центра тяжести x
C
Rx
равна
C
h
−=
2
.
42
h
x
C
R
O
Рис. 5.7
Для полусферы (h = R) имеем
R
x
C
.
=
2
Шаровой сегмент. Рассмотрим шаровой сектор шара с радиусом
Пусть h – высота шарового сегмента, соответствующего шаровому
R.
сектору (рис. 5.8).
x
h
C
R
O
43
Рис. 5.8
В силу симметрии центр тяжести шарового сектора С лежит на
оси x . Координата центра тяжести x
равна
C
⎛
3
Для половины шара (h = R) имеем
Пирамида и конус. Рассмотрим пирамиду и конус. Соединим вер-
шину S фигур с центром тяжести О их основания (рис. 5.9).
Центр тяжести С пирамиды и конуса лежит на прямой SO, причем
⎜
C
⎜
⎝
x
=
C
Rx
3R
1
⎞
h
⎟
−=
.
⎟
24
⎠
.
8
.
OSOC =
4
S
C
S
C
O
Рис. 5.9
Вопросы для самоконтроля по статике
1. Какими факторами определяется сила, действующая на твердое тело?
2.
В каких единицах измеряется сила в системе СИ?
44
O
3. Чему равен главный вектор системы сил? Как построить сило-
вой многоугольник для заданной системы сил?
4.
Зависит ли главный вектор системы сил от выбора точки?
5.
Что называется моментом силы относительно данной точки?
Как направлен момент силы относительно вектора силы и радиусвектора точки приложения силы?
6.
В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?
7.
Изменится ли момент силы относительно данной точки при пе-
реносе силы по линии ее действия?
8.
Как определяется плечо силы относительно точки? Чему равно
произведение силы на плечо?
9.
Сформулируйте «правило правой руки» для определения направления момента силы.
10.
Как определяется главный момент системы сил относительно
точки?
11.
Зависят ли момент силы и главный момент системы сил от
выбора точки? Если – да, то как?
12.
Что называется парой сил? Чему равен момент пары сил? Зависит ли он от выбора точки? Как направлен и чему равен по величине момент пары сил?
13.
Сформулируйте теорему Пуансо.
14.
Сформулируйте необходимые и достаточные условия равно-
весия системы сил.
15.
Какое тело называется абсолютно твердым? Какое тело называется однородным?
16.
Какие системы сил называются эквивалентными?
17.
Какая сила называется равнодействующей данной системы
сил?
18.
Известно, что сумма проекций всех сил, приложенных к телу,
на данную ось равна нулю. Как направлена равнодействующая такой
системы?
19.
Сформулируйте аксиому инерции (принцип инерции Галилея).
20.
Сформулируйте аксиому равновесия двух сил.
21.
Сформулируйте аксиому присоединения и исключения уравновешивающихся сил.
22.
Можно ли переносить силу вдоль ее линии действия, не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела?
23.
Сформулируйте аксиому параллелограмма сил.
24.
Как формулируется третий закон Ньютона?
45
25. В чем состоит принцип отвердевания? Если деформируемое
(
не абсолютно твердое) тело находится в равновесии под действием
системы сил, то будут ли эти силы удовлетворять тем условиям, которые имеют место при равновесии абсолютно твердого тела?
26.
Какое твердое тело называется несвободным?
27.
Что называется силой реакции связи? Чем отличаются связи от
реакций связи?
28.
Какие силы называются активными? Пассивными?
29.
Какие силы называются внутренними? Внешними?
30.
В чем состоит принцип освобождаемости?
31.
Как направлена сила реакции гладкой неподвижной поверхности, на которую опирается абсолютно твердое тело? Как направлена
сила давления тела на эту поверхность? Всегда ли эти силы равны по
величине?
32.
Как направлены реакции нити и прямого стержня?
33.
Какая опора называется цилиндрической шарнирно-неподвижной?
Цилиндрической шарнирно-подвижной? Как направлены их реакции
связи?
34.
Какая опора называется жесткой заделкой (защемлением)?
35.
Какая опора называется подпятником?
36.
Какая опора называется сферическим шарниром?
37.
Какая система сил называется сходящейся? Как формулиру-
ются условия равновесия системы сходящихся сил?
38.
Сформулируйте теорему о равновесии трех непараллельных
сил.
39.
Чему равна сумма двух параллельных сил, направленных в
одну сторону? В разные стороны?
40.
При каком условии равнодействующая двух параллельных сил
равна по величине одной из составляющих сил?
41.
Как формулируется необходимое и достаточное условие рав-
новесия пары сил?
42.
Как формулируется теорема Вариньона?
43.
Чему равна сумма двух пар сил? Нескольких пар сил?
44.
Сформулируйте необходимое и достаточное условие равнове-
сия системы из нескольких пар сил.
45.
К каким простейшим системам сил приводится плоская систе-
ма сил?
46.
Какая система сил называется динамическим винтом?
47.
Чему равны первый и второй статические инварианты?
46
48. К каким простейшим системам сил приводится пространст-
венная система сил?
49.
Как определяется центр параллельных сил?
50.
Как определяется центр тяжести твердого тела?
51.
Как определяется центр тяжести оболочки (поверхности)?
52.
Как определяется центр тяжести бруса?
53.
В чем смысл следующих методов нахождения центра тяжести
тела: метода симметрии, метода разбиения тела на части и метода
отрицательных весов?
54.
Где находится центр тяжести треугольника?
55.
Где находится центр тяжести трапеции?
56.
Где находится центр тяжести дуги окружности?
57.
Где находится центр тяжести кругового сектора?
58.
Где находится центр тяжести поверхности шарового сегмента?
59.
Где находится центр тяжести шарового сегмента?
60.
Где находится центр тяжести пирамиды и конуса?
47
КИНЕМАТИКА
,,
ijk
Кинематика – раздел теоретической механики, в котором с геометрической точки зрения изучаются скорости и ускорения точек
твердых тел при различных способах задания их движения вне связи
действующих на них сил.
6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ
Траекторией движения точки
называется непрерывная прямая,
которую описывает точка при своем движении. Если траектория точки является прямой линией, то движение точки называют прямоли-
нейным
нейным
. В противном случае движение точки называется криволи-
.
Для описания движения точки выбирают систему координат.
Наиболее употребительными являются: декартова прямолинейная,
полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.
6.1. Декартова прямолинейная система
координат. Абсолютная скорость
и ускорение точки (рис. 6.1)
z
M(x,y,z) – точка
v – вектор скорости
k
O
r – радиус-вектор
i
j
y
траектория точки
|i|=|j|=|k|=1
x
Рис. 6.1
Единичные векторы
, направленные вдоль соответствующих
координатных осей x, y, z, называются единичными ортами.
Элементарный объем в декартовой системе координат равен
48
dz.dydxdV =
В инерциальной (неподвижной) системе координат абсолютной
ϕ
ρ
ϕ
ρ=ϕ
ρ
ϕρρ
скоростью
полной производной радиус-вектора точки по времени:
точки называется векторная величина, численно равная
d
v
dt
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в
сторону ее движения.
Абсолютным ускорением точки называется векторная величина,
численно равная полной производной абсолютной скорости точки по
времени:
6.2. Цилиндрическая система координат (рис. 6.2)
lim =
==
t
W
z
O
φ
x
()()
0
→Δ
d
dt
r – радиус-вектор
ρ
Δ
2
rv
d
,
dt
M(ρ,φ,z) – точка
y
Рис. 6.2
ttt
−Δ+
rrr
t
[]
=== W
[]
м
22
с
м
v
.,
с
.
Декартовы координаты выражаются через цилиндрические координаты
()
z,,
:
= sincos
Элементарный объем в цилиндрических координатах равен
=
dz.dddV
.zz,y,x =
49
6.3. Полярная система координат (рис. 6.3)
,
ϕ
.
ϕ
ρ=ϕ
ρ
ϕρρ
,
ϕ
ρ=ϕθρ=ϕθρ
y
O
Декартовы координаты выражаются через полярные координаты
,ρθ
()
ты
:
= y,x
Элементарная площадь в полярной системе координат равна
6.4. Сферическая система координат. Угловая
скорость и ускорение твердого тела (рис. 6.4)
Декартовы
,ρθ
()
координаты выражаются через сферические координа-
:
= cossinsincossin
ρ,φ) – точка
M(
ρ
φ
Рис. 6.3
=
x
sincos
.dddS
.z,y,x θ
Элементарный объем в сферических координатах равен
z
O
φ
x
50
2
M(ρ,θ,φ) – точка
θ
ρ
Рис. 6.4
.ddddV θϕρθρ= sin
y
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]