Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика и кинематика. Курс лекций
.pdf
2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
Система
сил называется сходящейся, если линии действия всех
сил пересекаются в одной точке.
Теорема 2.1. Система сходящихся сил эквивалентна одной силе
(
равнодействующей), которая равна геометрической сумме всех сил
и проходит через точку пересечения их линий действия (рис. 2.1).
F
R
2
F
n
в
O
F
1
F
1
F
1
O
F
2
F
2
F
n
а
F
n
б
Рис. 2.1
O
Действительно, перенесем все силы в точку пересечения их линий
действий. Сложим по правилу параллелограмма перенесенные силы.
Получим равнодействующую
n
=
∑
=
i
.
FR
i
1
Следствие теоремы 2.1. Для равновесия тела, находящегося под
действием сходящейся системы сил, необходимо и достаточно,
чтобы их равнодействующая равнялась нулю:
.0=R
Теорема 2.2 (теорема о равновесии трех непараллельных сил).
Линии действия трех непараллельных взаимно уравновешивающихся
сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке
(
рис. 2.2).
21
O
F
1
F
1
R
12
O
F
2
F
3
а
F
3
Рис. 2.2
б
F
2
Действительно, сложим две силы по правилу параллелограмма в
точке пересечения их линий действия. Тогда линия действия суммарной силы по аксиоме о равновесии двух сил должна совпадать с
линией действия оставшейся третьей силы, т.е. линии действия всех
трех сил пересекаются в одной точке.
22
3. ТЕОРИЯ ПАР
3.1. Сложение параллельных сил
Пусть
к телу приложены две параллельные силы.
Теорема 3.1. Система двух параллельных сил, направленных в од-
ну сторону, имеет равнодействующую, параллельную этим силам,
направленную в сторону действия сил и равную по модулю сумме
модулей этих сил. Линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внутренним
образом на части, обратно пропорциональные модулям сил
(
рис. 3.1).
R
+Q
2=F2
F
2
Q
R
1=F1
Q
+Q
F
R=F
1
1+F2
A
C
Рис. 3.1
B
O
Действительно, расположим силы, как показано на рис. 3.1, где
линии действия слагаемых сил перпендикулярны линии AB, соединяющей точки приложения сил. Это можно сделать, так как силу
можно переносить вдоль линии ее действия. Добавим две силы Q,
равные по модулю и противоположные по направлению, вдоль линии AB. Из подобия треугольников имеем:
AC
AC
OC
Q
F
BC
OC
Q
,,
==
BC
F
21
F
2
.
=
F
1
23
Теорема 3.2. Система двух неравных по модулю параллельных
сил, направленных в разные стороны, имеет равнодействующую,
параллельную этим силам, направленную в сторону большей по модулю силы и равную по модулю разности модулей этих сил. Линия
действия равнодействующей делит расстояние между точками
приложения слагаемых сил внешним образом на части, обратно
пропорциональные модулям сил (рис. 3.2).
Действительно, расположим силы, как показано на рис. 3.2, где
линии действия слагаемых сил перпендикулярны линии AB, соединяющей точки приложения сил. Это можно сделать, так как силу
можно переносить вдоль линии ее действия. Добавим две силы Q,
равные по модулю и противоположные по направлению, вдоль линии AB. Из подобия треугольников имеем:
F
2
=
F
1
R2=F2+Q
.
O
R=F2–F1
C
==
F
2
B
Рис. 3.2
Q
,,
BC
F
21
Q
BC
AC
OC
Q
A
R
1=F1
+Q
F
Q
OC
F
1
AC
Если в теореме 3.2 силы имели бы одинаковый модуль, то мы получили бы пару сил R
и R2, линии действия которых были бы па-
1
раллельны и не пересекались.
24
3.2. Теорема Вариньона
(, ) 0,
Теорема 3.3.
Для равновесия пары сил необходимо и достаточно,
чтобы момент пары сил был равен нулю.
Достаточность. Пусть момент пары сил равен нулю:
MFh−= =FF
O
где h – плечо пары сил.
Тогда либо F = 0 (система двух сил уравновешена), либо h = 0
(
система двух сил пары сил лежит на одной прямой, силы равны по
модулю и противоположны по направлению; по аксиоме равновесия
двух сил эти силы уравновешены).
Необходимость. По аксиоме равновесия двух сил две силы пары
сил лежат на одной прямой. Поэтому их момент относительно точек
их линии действия равен нулю (нулевое плечо). Выше было доказано, что момент пары сил не зависит от выбора точки. Следовательно,
момент рассматриваемой пары сил равен нулю всегда.
Теорема Вариньона. Если система сил имеет равнодействующую, то момент системы сил относительно любой точки равен
моменту равнодействующей относительно той же точки.
Действительно, пусть равнодействующая системы сил R приложена в точке O . Тогда
n
∑
O
1
=
i
()
OiO
R0RMFMM
.0)(
=×===
Поэтому момент системы сил относительно произвольной точки
O
равен
1
O
n
∑
=
i
()
1
n
()
∑
=
i
1
=
OiO
11
.)(
RMFM
11
=×=×+==
OOiO
),(
RMROOROOMFMM
111
25
3.3. Сложение пар сил, лежащих в параллельных
плоскостях
Теорема 3.4.
Две пары сил, лежащие в одной плоскости, можно
заменить одной парой сил, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар сил.
Действительно, если линии действия сил не параллельны
(
рис. 3.3, а), то сложим соответствующие пары сил по правилу параллелограмма и получим одну пару сил. По теореме Вариньона момент полученной пары сил будет равен сумме моментов исходных
пар сил.
R=F1+F
F
1
2
R=F1+F
F
2
–F
1
F
2
2
F
1
–F
2
–F
1
–F
2
–R= –F1–F2
–R= –F1–F
a б
Рис. 3.3
2
Если линии действия сил параллельны (рис. 3.3, б), то сложим соответствующие пары сил (как в теоремах 3.1 и 3.2) и получим одну
пару сил. По теореме Вариньона момент полученной пары сил будет
равен сумме моментов исходных пар сил.
26
Следствие 1 теоремы 3.4. Система двух пар сил с равными и
противоположно направленными моментами пар сил эквивалентна
нулю (уравновешена).
Действительно, складывая силы (как в теореме 3.4), получаем из
двух пар сил одну пару сил с нулевым моментом. По теореме 3.3 такая пара сил является уравновешенной системой сил.
Следствие 2 теоремы 3.4. Две пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие геометрически равные моменты, эквивалентны.
Действительно, рассмотрим две пары сил. Добавим к первой паре
сил уравновешенную систему сил, состоящую из второй пары сил и
пары сил, получающуюся из второй пары сил, если в ней поменять
направления сил. По аксиоме присоединения и исключения уравновешивающихся сил полученная система из трех пар сил будет эквивалентна первой паре сил. Исключим из полученной системы уравновешенную систему сил, состоящую из первой пары сил и пары
сил, противоположной второй паре сил. Тогда у нас останется только
вторая пара сил. Следовательно, первая и вторая пары сил эквивалентны.
Теорема 3.5. Система из двух пар сил, лежащих в параллельных
плоскостях и имеющих равные по модулю и противоположно направленные моменты, уравновешена.
Действительно, заменим вторую пару сил эквивалентной парой
сил, лежащей в их плоскости и имеющей линии сил, параллельные
линиям действия первой пары сил. Так как суммарный момент двух
пар сил равен нулю, то линии действия новой пары сил будут параллельны силам первой пары сил, равны им по модулю и направлены в
противоположные по отношению к ним стороны (рис. 3.4). Складывая силы {F, F} и {–F, –F}, получим две равных по модулю силы
R = 2F и –R = – 2F, линии действия которых совпадают, но их на-
правления противоположны. По аксиоме равновесия двух сил такая
система сил уравновешена.
Теорема 3.6. Две пары сил, имеющие геометрически равные моменты, эквивалентны.
Утверждение теоремы 3.6 следует из теорем 3.4 и 3.5. Действительно, рассмотрим две пары сил. Перенесем вторую пару сил в плоскость
первой пары сил, не изменяя ее момента. Из следствия 2 теоремы 3.4
следует, что первая пара сил и новая пара сил эквивалентны.
27
F
R=2F
–F
–R= –2F
–F
F
Рис. 3.4
Следствие теоремы 3.6. Момент пары сил является «свободным
вектором»: не изменяя кинематического состояния твердого тела,
пару сил можно перемещать в плоскости ее действия, переносить в
параллельную плоскость; в паре сил можно менять модуль силы и плечо, сохраняя только направление вращения пары и модуль ее момента.
3.4. Сложение пар сил, лежащих
в пересекающихся плоскостях
Теорема 3.7.
Две пары сил, лежащие в пересекающихся плоско-
стях, эквивалентны одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов данных двух пар сил (рис. 3.5).
Действительно, не изменяя моментов пар сил, сделаем равными
их плечи, после чего совместим их плечи по линии пересечения
плоскостей пар сил (см. рис. 3.5). Геометрически складывая соответствующие пары сил, получим одну пару сил. По теореме Вариньона
момент новой пары сил равен геометрической сумме моментов исходных двух пар сил.
28
,.
O
MMFF
,0.
F
R=F
1
1+F2
–F
1
–F
F
2
2
–R= –F1–F
Рис. 3.5
2
Теорема 3.8. Система из нескольких пар сил эквивалентна одной
паре сил с моментом, равным геометрической сумме моментов исходной системы пар сил:
n
=−
()
∑
i
=
1
ii
Действительно, складывая последовательно пары сил (как в теореме 3.7), получим одну пару сил. По теореме Вариньона момент результирующей пары сил будет равен геометрической сумме моментов исходных пар сил.
Следствие теоремы 3.8. Система пар сил уравновешена тогда и
только тогда, когда геометрическая сумма моментов пар сил равна
нулю:
n
=−=
MMFF
Oii
()
∑
i
1
=
29
4. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ
(ТЕОРЕМА ПУАНСО)
4.1. Теорема Пуансо
Лемма 4.1.
Сила, приложенная в какой-либо точке тела, эквива-
лентна такой же силе, приложенной в любой другой точке тела, и
паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки ее приложения.
F
B
–F
F
A
a
B
Рис. 4.1
F
A
б
Действительно, пусть сила F приложена в точке A. Приложим в
произвольной точке B уравновешенную систему сил F и –F. Полу-
чим систему из силы F, приложенной в точке B, и пары сил F и –F, в
которой сила F приложена в точке А, а сила –F приложена в точке В.
Момент пары сил относительно точки В равен моменту силы F, приложенной в точке А, относительно точки В.
Основная теорема статики (теорема Пуансо). Любую систему
сил, действующую на абсолютно твердое тело, можно привести
относительно произвольно выбранного полюса к эквивалентной
системе, состоящей из главного вектора F
, выходящего из этого
O
полюса, и пары сил с моментом, равным главному моменту этой
системы сил M
30
относительно того же полюса (см. рис. 1.6).
O
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]