Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика и кинематика. Курс лекций
.pdf
Рассмотрим движение тела вокруг неподвижной оси z (рис. 6.5).
ϕ
dt
ϕ
z
ω − угловая скорость
k
O
x
Вектором угловой скорости при вращательном движении твер-
дого тела называется векторная величина, численно равная полной
производной угла поворота тела по времени и направленная в ту сторону, откуда поворот тела виден происходящим против хода часовой
стрелки:
Твердое тело
y
v − скорость
− угол поворота тела
Рис. 6.5
d
=
.kω
dt
Вектором углового ускорения при вращательном движении
твердого тела называется векторная величина, численно равная полной производной вектора угловой скорости по времени:
2
d
d
ω
ε
dt
ϕ
==
.
k
2
51
7. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.
,
x
dt t
ϕ
ϕ
,,
kk k
,.
ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА
7.1. Угловая скорость при вращательном
движении тела
Рассмотрим
угловой скоростью ω
вращательное движение твердого тела вокруг оси x с
(рис. 7.1). Свяжем систему координат Oxyz же-
x
стко с вращающимся телом.
z
k(t)
(t+Δt)
k
j(t+Δt)
Δφ
x
O
j(t)
Δφ
y
x
|i|=|j|=|k|=1 –
единичные орты
Рис. 7.1
Тогда
d
ω= =
x
Δ→
tt t
jj
+Δ −
dd
jj
lim lim
==⋅=ωω=•
dt t t dt
tt
Δ→ Δ→
()()
00
ΔΔ
lim
t
Δϕ
Δ
x
Δ
0
x
xx
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
tt t
kk
+Δ −
dd
kk
lim lim
==−⋅=ωω=−•
dt t t dt
tt
Δ→ Δ→
()()
00
ΔΔ
Рассмотрим вращательное движение твердого тела вокруг оси y с
угловой скоростью ω
(рис. 7.2). Свяжем систему координат Oxyz же-
y
стко с вращающимся телом.
52
Δϕ
x
jj j
xx
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
y
,
dt t
ϕ
ϕ
,
ii i
,.
,
z
dt t
ϕ
ϕ
lim lim ,
jj j
i, .
x
i
(t+Δt)
Δφ
y
O
|i|=|j|=|k|=1 –
единичные орты
(t)
i
k(t)
Рис. 7.2
k(t+Δt)
Δφ
y
z
Тогда lim
ω= =
y
Δ→
+Δ −
tt t
kk
d
dd
kk
lim lim
==⋅=ωω=•
dt t t dt
dd
dt t t dt
tt
Δ→ Δ→
ii
lim lim
==−⋅=ωω=−•
tt
Δ→ Δ→
()()
00
ii
00
ΔΔ
+Δ −
tt t
()()
ΔΔ
Δ
y
t
Δ
0
Δϕ
y
Δϕ
y
kk k
,
yy
yy
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
Рассмотрим вращательное движение твердого тела вокруг оси z с
угловой скоростью ω
(рис. 7.3). Свяжем систему координат Oxyz же-
z
стко с вращающимся телом.
Тогда lim
d
ω= =
z
Δ→
tt t
+Δ −
ii
dd
ii
==⋅=ωω=•
dt t t dt
tt
Δ→ Δ→
dd
jj
lim lim
==−⋅=ωω=−•
dt t t dt
tt
Δ→ Δ→
()()
00
jj
00
ΔΔ
tt t
+Δ −
()()
ΔΔ
Δ
z
t
Δ
0
Δϕ
z
Δϕ
z
ii
,
zz
zz
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
53
,,.
tattattat t
aa i j k
aaa.
dt dt dt dt dt dt dt
aijk
y
(t+Δt)
j
Δφ
z
O
|i|=|j|=|k|=1 –
единичные орты
(t)
j
i(t)
Рис. 7.3
i(t+Δt)
Δφ
z
x
Пусть тело вращается с угловой скоростью ω = (ω
тельно начала координат O, где ω
, ωy, ωz – проекции угловой скоро-
x
,ωy,ωz) относи-
x
сти на координатные оси x, y, z . Тогда
ddd
jki
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
ω= • ω= • ω= •
xyz
kij
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
dt dt dt
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
7.2. Локальная производная вектора
в подвижной системе координат
Пусть
система координат Oxyz совершает сферическое движение от-
носительно начала координат O с угловой скоростью ω = (ω
Рассмотрим произвольный вектор
== + +
() ()() ()() () ()
xyz
, заданный в этой подвиж-
ной системе координат.
Тогда
⎛⎞
da
dddd
=++ +++
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
da
x
ijk
da
y
⎛⎞
z
⎜⎟
xyz
⎝⎠
~
da
d
Величина kji
dt
a
dt
производной вектора (t)a .
da
x
dt
da
y
z
++= называется локальной
dt
x,ωy,ωz
).
54
Рассмотрим скалярные произведения единичных ортов:
10 0
10 1
,, ,
,,.
,
x
,
x
•= •= • =
ii ij ik
Дифференцируя эти равенства по времени, получаем:
() () ( )
•= • = • =
jj jk kk
() ( ) ( )
d
⎛
•+
ik
⎜
⎝
⎞
•=
⎟
⎠
.bbb
bkji
=++=++
d
a
++=•++= i
zyxzyxx
dt
kji
d
a
zyxzyxy
dt
++
d
dt
d
ij
⎛
,
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
a
zyx
d
dt
⎞
•=
⎟
dt
⎠
d
kk
⎛
,
⎜
dt
⎝
d
kji
⎞
по векторам единич-
⎟
dt
⎠
zyxzyx
d
a
dt
d
a
++=•++= j
dt
d
i
⎛
⎜
⎝
⎞
•
i
⎟
dt
⎠
d
j
⎛
⎜
⎝
Разложим вектор
⎞
• k
j
⎟
dt
⎠
d
i
dt
⎞
•=
⎟
⎠
d
j
⎛
•=
⎜
dt
⎝
⎛
a
⎜
⎛
,
⎜
⎝
,
⎝
ных ортов i, j, k:
Тогда
d
a
dt
d
a
dt
()()
ddd
ijk
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
=•+•+ •=−ω+ω
aaa aa
ii i
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
dt dt dt
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
yz yzzy
()()
d
⎞
⎟
⎠
d
dt
⎞
•+
ij
⎟
dt
⎠
d
⎛
•+
jk
⎜
dt
⎝
d
a
dt
d
kji
⎛
⎜
⎝
a
dt
⎛
⎛
ikji
jkji
abbbb
⎜
⎜
⎜
⎝
⎝
⎛
⎛
abbbb
⎜
⎜
⎜
⎝
⎝
dt
k
⎞
,
000 =
⎟
⎠
.
000 =
⎞
kji
⎞
=
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎠
⎞
⎞
=
•
⎟
⎟
⎟
⎠
⎠
ddd
ijk
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
=•+•+ •=ω−ω
aaa aa
jj j
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
dt dt dt
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
yz xzzx
()()
⎛
d
⎛
kkji
abbbb
⎜
⎜
⎜
dt
⎝
⎝
d
a
dt
++=•++= k
kji
d
a
zyxzyxz
dt
⎞
⎞
=
•
⎟
⎠
⎟
⎟
⎠
55
x
ddd
aaa aa.
aij
kijkb
,
ddd
dt dt dt
ijk
dt
ijk
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
=•+•+ •=−ω+ω
kk k
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
dt dt dt
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
yz xyyx
Рассмотрим также векторное произведение
ijk
ω
ωωω aa aa
× = =− ω+ ω + ω− ω +
xyz yzzy xzzx
aaa
xyz
()
()
aa bbb+− ω + ω = + + = =
()
xy yx x y z
aaa
=++
xyz
откуда получаем
da
x
ijk
da
y
z
.
⎛⎞
aaa
xyz
⎜⎟
⎝⎠
=+×
⎛⎞
da
aijk
dddd
=++ +++ =
⎜⎟
dt dt dt dt dt dt dt
⎝⎠
~
a
d
ω a
~
d
d
dt
7.3. Сложное движение точки
Рассмотрим
Ox1y1z
и подвижную систему координат Аxyz. Движение точки M
1
относительно неподвижной системы координат называется абсолютным движением точки, а движение точки M относительно под-
вижной системы координат называется относительным движением
точки (рис. 7.4).
Пусть r и ρ – радиус-векторы точки M относительно неподвижной
и подвижной систем координат.
инерциальную (неподвижную) систему координат
dt
aa
aω
×+=
.
56
z
ρ
M
z
1
r
O
x
1
r
Рис. 7.4
k
A
i
A
x
y
j
y
1
Вычислим абсолютную скорость точки M:
~
d
r
dt
d
ρ
A
dt
d
A
,zyx,
r
vkjiρρrr
dt
d
v
A
dt
~
d
()
v +=+×+=+×+=
где ρωvv ×+=
Ae
ρ
ρω
dt
,
vvvρωv
rerAA
,
vvvρωvv +=+×+=
rerA
– переносная скорость точки M (скорость точ-
ки подвижной системы координат Axyz, которая в данный мо-
~
d
мент времени совпадает с точкой M),
v = – относительная
скорость точки M (скорость точки M относительно подвижной
системы координат Axyz).
ρ
r
dt
ρ
=×++=+==++=+= ρω
Теорема 7.1. Абсолютная скорость точки при сложном движе-
нии равна сумме переносной и относительной скоростей.
7.4. Теорема Кориолиса
Вычислим
абсолютное ускорение точки M:
v
d
W
d
dt
v
dt
ω
d
ωρ
dt
d
dt
dt
rA
=+×+×+==
57
v
d
ρ
~
v
⎛
⎜
d
ρ
ωρεW
A
⎜
dt
⎜
×+×+×+=
⎝
~
⎛
⎞
⎜
⎟
d
v
r
ρω
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
ω
dt
⎞
⎟
v
=
×++
⎟
r
⎟
⎠
~
d
v
()()
A
ρωωρεW ++=×++××+×+= 2
()
dt
r
,
WWWvω
Crer
,
WWWvωWρωωρεWW ++=×++××+×+= 2
CrerrA
где
(ускорение точки подвижной системы координат Axyz, которая в
Ae
()
ρωωρεWW ××+×+=
– переносное ускорение точки M
~
d
v
данный момент времени совпадает с точкой M);
тельно подвижной системы координат Axyz) и
()
ется ускорение
тростремительное ускорение всегда направлено в сторону линии вектора угловой скорости ω и перпендикулярно ей.
движении равно сумме переносного, относительного и кориолисова
ускорений.
В силу свойств векторного произведения вектор
лярен векторам ω и
направления кориолисова ускорения удобно пользоваться «прави-
τ
=×W ερ, а центростремительным (нормальным)
e
()
v
r
, vWωW ⊥⊥
2sin
Cr r
W =
r
v,=ωW ω
()
n
=× ×W ωωρ. Цен-
e
W перпендику-
C
. Для определения
rCC
r
–
dt
vωW ×= 2 –
rC
.
()
58
09 9
29
sOM t , ,t t ,t /
ϕ
W
C
ω
v
r
Правило правой руки
Рис. 7.5
Пример 7.1. Найти абсолютную скорость и ускорение точки при
ее движении по рамке (рис. 7.6–7.8).
z
v
r
D
ϕ
e
e
ω
e
M
y
O
30
о
s
r
R
x
30
M
v
e
о
O
Рис. 7.6 Рис. 7.7
Дано:
==− ϕ= − =
re
16 8cos 3πсм
23
рад
.
1
с
Решение. Будем считать, что в заданный момент времени плос-
кость чертежа совпадает с плоскостью рамки D. Положение точки M
на рамке D определяется расстоянием OMs
= .
r
Вычислим абсолютную скорость точки М:
()
r
см20120cos81692 =°−=
,/s
59
/
ds t
vt t,v / , ,
18 27 2 9
e
,,
vv v v v
sin 30
vt s ,
/
v/ , , ,
/с.
(
)
τ
n
()
()
rr
r
==ππ =π°=
dt
24 sin 3 2 9 24 sin120 65 2 см
()
с
ϕ
e
ε
e
z
y
W
e
M
W
W
e
C
30
W
r
о
x
Рис. 7.8
dt
ϕ
()
t,tt,/
ω= =− ω =
()
ee
18 2 9 27 2 9 093рад/с
,/ / , ,
=− =−
e
dt
() ()
=+ ⊥
()
eer
rer
=ω °
2
()
2
2 9 093 20 sin30 93см
=⋅⋅ °=
()
e
vvv , , ,=+= + =
22 2 2
er
93 652 659см
с
Вычислим абсолютное ускорение точки М:
60
τ
eCre
n
e
WWWWWWWW +++=++=
Cr
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]