Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика и кинематика. Курс лекций
.pdf
1.3. Теорема Пуансо. Условия равновесия
{
}
FF
системы сил
Парой сил (парой) называется совокупность двух сил
, −
равных по модулю и противоположных по направлению (рис. 1.5).
Главный вектор пары сил равен нулю, а момент пары сил не зависит
от выбора полюса.
Действительно,
.,0
MMFBAMFFF =+×==−=
AAOBO
A
F
h – плечо пары сил
F
B
Рис. 1.5
Плоскостью действия момента пары сил называется плоскость
действия пары сил.
Ниже будет доказана теорема Пуансо (рис. 1.6) о том, что «лю-
бую систему сил, действующую на абсолютно твердое тело, можно
привести относительно произвольно выбранного полюса к эквивалентной системе, состоящей из главного вектора F
, выходящего
O
из этого полюса, и пары сил с моментом, равным главному моменту
этой системы сил M
относительно того же полюса».
O
,
F
1
F
О
F
n
2
О
M
O
F
O
Твердое тело
Рис. 1.6
11
Из теоремы Пуансо следует, что «необходимым и достаточным
0, 0.
условием равновесия системы сил является равенство нулю главно-
го вектора и главного момента этой системы сил»:
==MF
OO
Эти два векторных равенства эквивалентны шести скалярным равенствам:
MMMFFF
.0,0,0,0,0,0 ======
OzOyOxOzOyOx
1.4. Аксиомы статики
Материальное тело, размерами которого можно пренебречь, называют материальной точкой. Абсолютно твердым телом называется тело, в котором расстояние между любыми двумя его точками
всегда неизменно по времени. Совокупность нескольких сил, действующих на твердое тело, называется системой сил. Если одну систему сил можно заменить другой системой
сил, не нарушая состояния тела, то такие системы сил называются эквивалентными. Если
система сил эквивалентна одной силе, то последняя называется равнодействующей. Если абсолютно твердое тело находится в состоянии покоя под действием системы сил, то эта система сил называется
уравновешенной.
1. Аксиома инерции (принцип инерции Галилея). Под дейст-
вием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело)
находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
2. Аксиома равновесия двух сил. Две силы, приложенные к
твердому телу, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда,
когда их модули равны и они направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.7).
12
F
1
F
2
Рис. 1.7
3. Аксиома присоединения и исключения уравновешиваю-
щихся сил. Действие системы сил на твердое тело не изменится,
если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно
уравновешивающихся сил.
Из вышеприведенной аксиомы следует, что не изменяя кинемати-
ческого состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменными
ее модуль и
направление (рис. 1.8).
F
F
а
F
б в
Рис. 1.8
-F
F
Действительно, добавим к исходной силе (рис. 1.8, а) уравновешенную систему сил (рис. 1.8, б). Тогда по аксиоме 3 состояние тела
не изменится. Далее, исключим уравновешенную систему сил, состоящую из исходной силы F и –F. Тогда получим утверждение аксиомы 3 (рис. 1.8, в).
4. Аксиома параллелограмма сил. Равнодействующая двух пе-
ресекающихся сил приложена в
точке пересечения их линий дейст-
вий и изображается диагональю параллелограмма, построенного на
этих силах (рис. 1.9).
F2
R
φ
F1
2
2
2
1
FFFFR
21
ϕ++= cos2
Рис. 1.9
13
5. Аксиома равенства действия и противодействия (третий за-
кон Ньютона). Всякому действию соответствует равное и проти-
воположно направленное противодействие (рис. 1.10, а, б).
R
P
R
T
P
P
а
б
Рис. 1.10
в
6. Принцип отвердения. Равновесие деформируемого твердого
тела не нарушится, если мысленно жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым (рис. 1.10, в).
Тело называется свободным, если его перемещения ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами,
называется несвободным, а тела, ограничивающие перемещения
данного тела, называются связями. Силы, с
которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей. Силы, не зависящие от реакций связи, называются активными силами, а реакции
связей называются пассивными силами. Силы взаимодействия между точками данного тела называются внутренними силами, а силы, действующие на данное тело со стороны других тел, называются
внешними силами.
Принцип освобождаемости. Всякое несвободное тело (рис. 1.10,
7.
а) можно рассматривать как свободное тело, если действие связей
заменить их реакциями, приложенными к данному телу (рис. 1.10, б).
1.5. Опоры и их реакции
Рассмотрим основные опоры и их опорные реакции в теоретиче-
ской механике.
1. Твердое тело без трения на поверхности. Реакция идеальной
гладкой поверхности
14
направлена по общей нормали к соприкасаю-
щимся поверхностям (рис. 1.11, а). Если твердое тело имеет гладкую
поверхность и опирается на острие, то реакция направлена по нормали к поверхности этого тела (рис. 1.11, б).
2. Реакция нити направлена вдоль нити (рис. 1.11, в). Реакции прямого стержня равны по модулю и направлены вдоль оси стержня в
стороны, противоположные задаваемым силам (
рис. 1.11, г).
3. Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.11, д).
Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (рис. 1.11, е). Же-
сткая заделка (защемление) (рис. 1.11, ж).
4. Подпятник (рис. 1.11, з). Сферический шарнир (рис. 1.11, и).
R
R
R
T
P
a
б
y
A
R
A
x
A
д
в
A
е
R
R=y
F
растяжение
R
F
A
A
R
сжатие
г
y
MA
ж
R
F
R
F
A
R
x
A
з
и
Рис. 1.11
15
Пример 1.1. Найти реакции опор балки, показанной на рис. 1.12.
;4,571
; 5,429т;8,857
.
;4,571
;5,429
.
y
B
4 т/м
6 т
y
A
15 т·м 5 т·м
x
A
3 м
В
1 м
А
2 м
3 м
1 м
Рис. 1.12
Решение. Из уравнений статики следует, что главный вектор и
главный момент системы сил равны нулю:
∑
i
;0:0 ==
xF ;0146:0 =⋅−++−=
Aix
∑
i
yyF
BAiy
yM
BAz
.05,714751526:0 =⋅⋅−⋅+−−⋅=
Из полученной системы линейных уравнений получаем:
0 т
xy y Rxy== = =+=
AA B AAA
Проверка:
т
yM
ABz
22
.0003,05,0145157571,496 ≈=⋅⋅−−−⋅−⋅
т
;05,014515796:0 =⋅⋅−−−⋅−⋅=
Ответ:
Пример 1.2. Дано: G = 15 кН, P = 10 кН, М = 14 кН·м, α = 30°.
Найти реакции опор балки, показанной на рис. 1.13.
Решение. Из уравнений статики следует, что главный вектор и
главный момент системы сил равны нулю:
16
0 т
xy y== =
AA B
∑
i
т
Aix
т
PGxF
;0cossin:0 =α+α−=
;6,253кН;
;6,360
.
0: 2 cos 0,5 sin 1 0;
;6,253
;24,243кН.
0: cos 0;
∑
i
PyGyF
BAiy
BAz
;0sincos:0 =α−+α−=
.03sin25,1cos:0 =⋅α−⋅+⋅α−−= PyGMM
y
B
P
α
G
B
α
0,5
м
м
y
A
2
x
A
α
M
A
Рис. 1.13
Из полученной системы линейных уравнений получаем:
Проверка:
yRxy==+=
BAAA
MyMG P=−⋅−+ α⋅ − α⋅=
Bz A
1,160 кН
xy=− =−
AA
24,243 кН
15142253,6 ≈=⋅⋅−⋅⋅+−⋅
3
22
2
кН
1
м
.0001,015,0105,0
1,160 кН
Ответ:
xy y=− =− =
AA B
Пример 1.3. Дано: a = 0,6 м; b = 0,4 м; c = 0,3 м; G = 2 H; α = 45°.
Найти реакции опор рамки, показанной на рис. 1.14.
Решение. Из уравнений статики следует, что главный вектор и
главный момент системы сил равны нулю:
FxxS=++α=
∑
ix A B CD
i
∑
i
кН
;0:0 =+=
yyF
BAiy
17
0: sin 0;
0: sin 0;
0: sin 0;
0: cos 0.
;0Н;2,333Н;
;0Н;1,333
;1,414
;
0: 0; 2,333 0,3 2 0,001;
FzzGS=+−+α=
∑
iz A B CD
i
cb
−
MGSczc
=− + α+=
Ax CD B
MGSa
Ay CD
⎛⎞
⎜⎟
2
⎝⎠
a
=−α=
⎛⎞
⎜⎟
2
⎝⎠
MxcSc=−− α=
Az B CD
Так как в опоры точках A и B – петли, то
z
S
┴AB
CD
b
z
A
c
A
a
x
A
G
C
α
S
x
Рис.1.14
CD
D
Из полученной системы линейных уравнений получаем:
1Н
xyz S=− = =− =
BBB CD
0 Н
xyz===
AAA
Н
.
Н0==BAyy
z
B
y
B
x
B
Н
Проверка:
cb
+
MzcG
=−+ =− ⋅+⋅=
Bx A
18
⎛⎞
⎜⎟
22
⎝⎠
0,7
222222
=++==++=
zyxRzyxR
BBBBAAAA
.Н666,1;Н333,2
0: 0; 0 0,3 0.
;5м;4м;2кН.
;7,297
;
cos 0,573; sin 0,819;
cos 0,548; sin 0,836.
cos 0; sin sin sin 0;
γ
γ
; sin 2 0,836 1,672кН;
γ
γ
.
γ
sin cos 0; sin sin 0; cos 0.
γ
γ
γ
;
γ
Mxc==⋅=
Bz A
Ответ: .Н666,1;Н333,2;Н414,1 ===
Пример 1.4. Дано:
abcP====
вырезания узлов усилия
3,5 м
RRS
BACD
Найти методом
,,,,, SSSSSS в шести стержнях
654321
шарнирно-стержневой конструкции (рис.1.15).
Решение. Не ограничивая общности будем считать, что все
стержни сжаты. Найдем косинусы и синусы углов α и γ:
22 222
=+= =++=
AC ab AG abc
AD CD
α= = = α= = =
AC AC
CG AC
γ= = = γ= = =
AG AG
6,103 м
3,5 5
6,103 6,103
4 6,103
7,297 7,297
м
Узел А. Спроектируем все силы в узле А на три взаимно перпен-
дикулярных направления – AB, AK и AD:
SP S P−
12
=α−γα=
23
−α+ PSS
=α
.0cossincos
Откуда
cos 2 0,548 1,096 кН
SP SP=
12
=⋅ = =
−−= PSS
23
=⋅ =
Узел B. Спроектируем все силы в узле B на три взаимно перпен-
дикулярных направления – BE, BF и BA:
SS SS S S+
46 56 6 1
α= +
α=
Откуда
S
SP
6
1
=− = =− =−
γγ
cos cos
cos
P
−
кН0cos0cos)sin(
=α⋅=α
+=
кН
2
19
;
γ
γ
; 1,672кН;0кН;
;1,369кН;2
.
SS=−
46
sin cos 2 0,836 0,573 0,958кН
α== ⋅ ⋅ =
Так как
K
a
−= SS
65
, то стержень CB – растянут.
06<S
b
C
D
α
S
A
3
c
S
1
S
2
P
γ
γ
G
E
γ
S
6
5
1
S
4
B
Рис. 1.15
F
S
S
=⋅⋅=α
.кН369,1819,0836,02sinsin
α
S
S
P
2
3
узел A
S
1
γ
γ
S
1
S
6
S
5
S
4
узел B
Ответ:
0,958 кН
SSS===−
456
20
1, 096 кН
SSS===
123
кН
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]