Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика и кинематика. Курс лекций
.pdf
Действительно, выберем в качестве центра приведения произвольную точку О. Заменим исходную систему сил такой же системой сил,
приложенных в точке О, и системой пар сил, моменты которых равны
соответствующим моментам исходных сил относительно центра приведения (лемма 4.1). Геометрически складывая все силы, приложенные в точке О, получим главный вектор исходных сил F
, а складывая
O
все пары сил получим пару сил с моментом, равным главному моменту исходных сил относительно центра приведения О (см. рис. 1.6).
Следствие теоремы Пуансо. Необходимым и достаточным ус-
ловием равновесия системы сил является равенство нулю главного
вектора и главного момента этой системы сил:
FM
.0,0 ==
OO
4.2. Приведение к простейшему виду плоской
системы сил
Система
сил называется плоской, если все силы лежат в одной
плоскости. Рассмотрим случаи приведения плоской системы сил к
простейшему виду.
Теорема 4.1. Если главный вектор плоской системы сил не равен
нулю, то система сил эквивалентна равнодействующей.
Действительно, пусть силы лежат в плоскости x–y. Тогда главный
момент сил направлен параллельно оси z (рис. 4.2, а). Выберем плечо
пары сил главного момента сил, равное h = M
пары сил параллельно главному вектору F
/ FO, и повернем силы
O
(рис. 4.2, б). Исключим
O
из системы сил две равные по модулю и противоположно направленные силы, проходящие через точку О. Тогда получим систему
сил, состоящую только из одной силы (равнодействующей) – главного вектора F
, выходящего из точки О1 (рис. 4.2, в).
O
Нуль-вектором называется сила, модуль которой равен нулю.
Возможные случаи приведения плоской системы сил:
1.
F
≠ 0, MO ≠ 0, h ≠ 0 – равнодействующая;
O
2.
F
≠ 0, MO = 0, h = 0 – равнодействующая;
O
3.
F
= 0, MO ≠ 0 – пара сил;
O
4.
F
= 0, MO = 0 – нуль-вектор.
O
31
M
O
O
F
O
O
–F
O
F
O
F
O
O
h
O
1
F
O
O
1
a
б
Рис. 4.2
в
4.3. Приведение к простейшему виду
пространственной системы сил
Рассмотрим
случаи приведения пространственной системы сил к
простейшему виду.
Динамическим винтом (динамо) называется совокупность силы
и пары сил с моментом коллинеарным силе (рис. 4.3).
M
O
F
O
–F
Пусть F
O
Рис. 4.3
= (Fx, Fy, Fz) и MO = (Mx, My, Mz) – соответственно глав-
O
ный вектор и главный момент пространственной системы сил.
Первым статическим инвариантом называется скалярная вели-
чина, равная
222
.
1
FFFI ++=•= FF
zOyOxOOO
Вторым статическим инвариантом называется скалярная вели-
чина, равная
.
32
2 zOzOyOyOxOxOOO
MFMFMFI ++=•= MF
Действительно, второй инвариант не зависит от выбора точки О :
*
*
*
*
0, 0, 0.
1
()
,
1 OOOOOOOOOO
1
Модуль проекции главного момента сил M
ного вектора F
равен
O
*
M
O
•
O
M
O
=•=
O
MFF
FF
O
()
O
I
OO
2
=
I
11
1
на направление глав-
.
1
FOOMFMFFOOMM
OOOOOOOO
=×+•=•×+=
MFMFMFFOOFMF •=••=ו+•=
.,
Теорема 4.2. Если второй статический инвариант не равен нулю,
то систему можно привести к динамическому винту (рис. 4.4).
Действительно, спроектируем главный момент сил на два взаимно
перпендикулярных направления, одно из которых направлено вдоль линии действия главного вектора (рис. 4.4, а): M
теоремы 4.2 M
мента M
1
*
≠ 0. Выберем плечо h пары сил проекции главного мо-
O
равным h = M1/FO . Исключим из системы сил две равных по
O
модулю и противоположных по направлению силы F
щих через точку О (рис. 4.4, б, в). Перенесем момент пары сил M
ку О
. Тогда получим динамический винт в точке О1 (рис. 4.4, г).
1
M
M
F
O
O
O
F
O
M
O
O
O
F
O
M
O
h
O
1
O
= M
O
1
*
+ M1 . По условию
O
и –FO , проходя-
O
F
O
O
M
*
O
O
O
1
в точ-
F
O
M
1
а
Теорема 4.3. Если главный вектор не равен нулю, а второй статический инвариант равен нулю, то систему можно привести к
равнодействующей (см. рис. 4.4).
Действительно, из условия теоремы 4.3 следует, что
OOOO
–F
O
б в
Рис. 4.4
I≠= = =•FFMM
2
*
г
33
Поэтому из теоремы 4.2 следует, что систему можно привести к
00 00.
равнодействующей, равной главному вектору сил F
при M
*
O
= 0).
(см. рис. 4.2, в
O
Следствие теоремы 4.3. Систему параллельных сил в простран-
стве можно привести к равнодействующей.
Действительно, пусть все силы параллельны оси z. Тогда F
и M
= (MOx, MOy, 0), так как момент силы перпендикулярен вектору
O
= (0, 0, FOz)
O
силы. Поэтому второй статический инвариант
IFMFMFM==++=•F M
2 O O Ox Ox Oy Oy Oz Oz
MMF=⋅ +⋅ + ⋅=
Ox O y Oz
Из теоремы 4.3 следует, что такая система сил приводится к рав-
нодействующей.
Возможные случаи приведения пространственной системы сил
(
простейшие системы сил):
1. I
≠ 0, FO ≠ 0, MO ≠ 0 – динамический винт;
2
2. I
= 0, FO ≠ 0 – равнодействующая;
2
3. I
= 0, FO = 0, MO ≠ 0 – пара сил;
2
4. I
= 0, FO = 0, MO = 0 – нуль-вектор.
2
34
5. ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
MR MF rr F rF r F
И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
5.1. Центр параллельных сил
на твердое тело действует система параллельных сил, на-
Пусть
правленных в одну сторону. В силу следствия теоремы 4.3 такая система сил приводится к равнодействующей R, равной главному вектору этой системы сил F
(рис. 5.1).
O
z
R
C
r
O
C
e
r
i
F
i
y
x
Рис. 5.1
Пусть e – единичный вектор, направленный вдоль линий действия
параллельных сил и выходящий из начала координат. Тогда по теореме Вариньона получаем
nn nn
0() ()
== =−×=×−×=
CCi iii
n
i
n
⎛
⎜
i
⎝
∑∑ ∑∑
ii ii
11 11
== ==
n
i
−=
i
i
n
⎞
FF
∑∑
Ci
⎟
i
11
==
i
⎠
()
iC i C
n
i
i
.
err ×
n
=×−×=×−×=
ererFrFr
FF
∑∑∑∑
i
CiCi
i
====
1111
i
Центром параллельных сил называется абстрактная точка с радиус-вектором
35
n
r
F
∑
i
=
r
C
=
1
n
∑
=
i
i
i
.
F
i
1
Проекции радиус-вектора r
n
xF
∑
=
i
x
C
∑
i
i
1
n
F
i
1
=
i
()()
на координатные оси равны:
C
n
yF
∑
=
i
y
C
1
∑
i
i
i
z
===
n
F
i
1
=
C
zyxzyx == rr
iiiiCCCC
n
∑
=
i
∑
.,,,,,
zF
i
i
1
n
=
i
,,,
F
i
1
Отметим, что относительно центра параллельных сил главный
момент всех сил равен нулю при любом направлении единичного
вектора e, направленного вдоль линий действия сил.
5.2. Центр тяжести тела
P – вес твердого тела, V – объем тела, γ(x,y,z) – удельный
Пусть
вес тела.
Центром тяжести твердого тела называется абстрактная точка с
радиус-вектором
dVγ(x,y,z)
∫∫∫
V
=
r
C
r
,
,
x
=
P
C
∫∫∫
V
γ
),,(
dzdydxxzyx
P
dzdydxyγ(x,y,z)
V
y
C
P
∫∫∫∫∫∫
V
z,
==
C
P
dzdydxzγ(x,y,z)
Тело называется однородным, если его удельный вес не зависит
от координат γ (x, y, z) = γ = const . В этом случае P = γV и
dV
36
r
∫∫∫
V
=
r
C
V
,
,
∫∫∫
V
x
=
C
dzdydxx
V
.
dzdydxy
.
V
y
C
V
∫∫∫∫∫∫
V
z,
==
C
dzdydxz
V
5.3. Центр тяжести оболочки (поверхности)
Оболочкой
(поверхностью) называется тело, длина и ширина ко-
торого много больше его толщины (рис. 5.2). Плоская оболочка называется пластиной.
Пусть P – вес рассматриваемой оболочки, S – площадь оболочки,
γ*(x,y,z) – удельный вес оболочки.
Ось бруса
Оболочка
Поперечное
сечение
Брус
Пластина
Рис. 5.2
Объемное тело
Центром тяжести оболочки (поверхности) называется абст-
рактная точка с радиус-вектором
dSγ*(x,y,z)
∫∫
S
=
r
C
S
y
C
r
,
P
dSyγ*(x,y,z)
P
∫∫
S
x
=
C
∫∫∫∫
S
z,
==
C
dSxγ*(x,y,z)
,
P
dSzγ*(x,y,z)
.
P
Оболочка называется однородной, если ее удельный вес не зави-
сит от координат γ*(x,y,z) = γ* = const . В этом случае P = γ*S и
37
dS
r
∫∫
S
=
r
C
,
,
x
=
S
C
∫∫
dSx
S
S
dSy
y
S
Для плоской (z = 0) оболочки (пластины) z
5.4. Центр тяжести бруса (стержня)
Брусом (стержнем) называется
ше его поперечных размеров. Пусть P – вес бруса, L – длина бруса,
γ**(x,y,z) – удельный вес («погонный вес») бруса.
Центром тяжести бруса (стержня) называется абстрактная точка
с радиус-вектором
γ**(x,y,z)
∫
L
=
r
C
dL
r
P
z
==
CC
тело, длина которого много боль-
,
,
x
=
C
dLyγ**(x,y,z)
Брус называется однородным, если его удельный вес не зависит
от координат γ**(x,y,z) = γ** = const . В этом случае P = γ**L и
L
y
C
P
z,
==
C
dSz
∫∫∫∫
SS
.,
S
= 0.
C
∫
L
dLxγ**(x,y,z)
P
∫∫
L
dLzγ**(x,y,z)
.
P
38
dL
r
∫
L
=
r
C
,
,
x
=
L
C
dLy
y
L
z
==
CC
dLx
∫
L
L
dLz
∫∫
LL
.,
L
5.5. Методы нахождения центра тяжести
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость симметрии,
то центр тяжести тела лежит в плоскости симметрии тела. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на
оси симметрии тела.
Разбиение тела на части. Пусть P – вес тела. Мысленно разо-
2.
бьем тело на части, вес и координаты центра тяжести которых мы
заранее знаем. Тогда радиус-вектор центра тяжести всего тела равен
n
P
r
∑
i
=
где P
и ri – соответственно вес и радиус-вектор i-й части тела.
i
3.
Отрицательные веса. Рассмотри тело с полостями (пустотами).
r
C
ii
=
1
,
P
Пусть P – вес тела. Мысленно заполним полости тела веществом.
Пусть P* и r
*– соответственно вес тела с заполненными полостями
C
и радиус-вектор его центра тяжести. Тогда радиус-вектор центра тяжести исходного тела равен
n
P*P*
∑
i
=
rr
ii
1
,
−
C
r
=
C
P
где P
и ri – соответственно вес и радиус-вектор центра тяжести i-й
i
заполненной» полости исходного тела.
«
5.6. Центры тяжести простейших фигур
Треугольник
. Центр тяжести треугольника находится в точке пере-
сечения его медиан (рис. 5.3).
ц.т.
C
Рис. 5.3
39
Трапеция. Рассмотрим трапецию ABDE (рис. 5.4).
2
2
y
B
C
1
F
1
D
ц.т.
C
C
2
A
Разобьем ее на два треугольника ∆ABD (фигура 1) и ∆ADE (фигура 2). Пусть C
угольников, лежащие на пересечении их медиан, а C – центр тяжести
трапеции. Пусть x
y
– координаты центров тяжести фигур 1 и 2 (i = 1, 2), h – высота
i
трапеции, AE = a , BD = b . Тогда
y
y
=
C
и C2 – соответственно центры тяжестей этих тре-
1
и yC – координаты центра тяжести трапеции, xi и
C
h
2
S
1
,
3
+
+
ySyS
CADECABD
ΔΔ
SS
ADEABD
ΔΔ
G
Рис. 5.4
bh
y
,
2
2
⎛
⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
2
⎝
⎠
⎝
21
=
2
h
,
2
3
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
ahbh
+
h
x
E
S
ΔΔ
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
ah
====
ADECABDC
hahhbh
⎞
⎟
323
⎠
=
,
2
()
2
ab
+
,
h
()
3
+
ba
()
2
ab
Центр тяжести трапеции лежит в точке пересечения отрезка FG,
соединяющего середины оснований трапеции, и отрезка C
няющего центры тяжестей фигур 1 и 2 (cм. рис. 5.4).
Дуга окружности. Рассмотрим дугу окружности с радиусом R,
соответствующую углу 2α (рис. 5.5, а). Длина дуги равна L = 2αR .
40
y
C
+
=
()
3
.
h
ba
+
, соеди-
1C2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]