Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Статика и кинематика. Курс лекций
.pdf
()
2
.
/
,
ω
td
()
t
e
e
=ε
dt
()
e
рад/с210910881925481 −=−=ε−=
,,/,/t,,
τ
e
2
n
e
()
tdv
()
tW
r
r
dt
2 sin 30 2 0 93 65 2 sin 30 61см
Wv,W,,=ω ° =⋅ ⋅ °=
Cer C
τ
()
ere
n
()
ere
r
()
см/с10230sin202109230sin =°⋅=°ε=
см/с930sin209309230sin =°⋅=°ω=
с
Модуль абсолютного ускорения точки М найдем методом проекций:
W,W,W
n
r
ey
rz
=W
τ
C
ex
222
zyx
()
xyz
2
,WWW
см/с16361102 =+=+=
2
,WWW
см/с18660cos355960cos −=°−−=°−−=
2
,WW
см/с30830cos35530cos −=°−=°−=
2222
см/с395308186163 =++=++=
2
,,/W,sW
22
,,/W,sW
222
,/W,t
см/с355120cos72923cos72 −=°π=ππ==
.WWWW
61
8. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
00
,,
ρ
Жестко
8.1).
свяжем с твердым телом систему координат Axyz (рис.
При движении твердого тела его точки не движутся друг отно-
сительно друга, поэтому относительная скорость и относительное
ускорение в этом случае равны нулю
z
z
1
r
k
r
O
A
()
.
00 ==rr, Wv
M
y
Твердое
j
A
i
тело
y
1
x
x
1
Рис. 8.1
Простейшими движениями твердого тела называются: поступа-
тельное, плоскопараллельное, сферическое и вращательное движения.
8.1. Поступательное движение твердого тела
Поступательным
ние тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается
параллельной самой себе в течение всего времени движения. При
поступательном движении твердого тела отсутствует вращение относительно осей жестко связанной с телом системы координат Axyz,
поэтому угловая скорость ω = 0 и угловое ускорение ε = 0. Следовательно, абсолютная скорость и абсолютное ускорение произвольной
точки M равны:
62
движением твердого тела называется движе-
,,,
vvρωvvvω =+×+=== 00
ArAr
==ε W
r
()
,
WvωWρωωρεWW =×++××+×+= 2
ArrA
.,
ρ
τ
n
WWvv ==
AA
Теорема 8.1. При поступательном движении твердого тела ско-
рости и ускорения всех его точек соответственно равны.
8.2. Вращательное движение твердого тела
Вращательным
движением твердого тела (движением тела во-
круг неподвижной оси) называется движение тела с двумя неподвижными точками. Ось, проходящая через две неподвижные точки, называется осью вращения тела.
Совместим начала координат неподвижной и подвижной систем
координат (точки A и O) и поместим их на ось вращения твердого
тела (рис. 8.2). Тогда скорость и ускорение точки A будут равны нулю, а абсолютная скорость и абсолютное ускорение произвольной
точки твердого тела M будут равны:
,,,,,
rArArA
() ()
v
W
e
z
()
z
1
M
rrA
τ
e
n
.,
WWρωωρεWρωv +=××+×=×=
e
ρωvρωvvWWvv ×=+×+===== 0000
ρωωρεvωWρωωρεWW ××+×=×++××+×+= 2
,
ω
W
e
y
A
y
1
Твердое
x
x
1
тело
Рис. 8.2
Теорема 8.2. При вращательном движении твердого тела абсолютное ускорение любой точки тела равно сумме касательного и
63
центростремительного ускорений, а ее абсолютная скорость равна
ρ
(
)
zy xz yx,
векторному произведению вектора угловой скорости на радиусвектор точки, начинающийся с оси вращения (формула Эйлера:
ωv×=
).
8.3. Сферическое движение твердого тела
Сферическим
тела с одной неподвижной точкой.
Совместим начала координат неподвижной и подвижной систем
координат (точки A и O) и поместим их в неподвижную точку тела.
Тогда скорость и ускорение точки A будут равны нулю, а абсолютная
скорость и абсолютное ускорение произвольной точки твердого тела
M будут равны:
Вектор угловой скорости ω при сферическом движении проходит
через неподвижную точку тела и называется вектором мгновенной
угловой скорости тела. Мгновенная угловая скорость при сферическом движении может менять свое направление при изменении времени, а направление угловой скорости при вращательном движении
тела не меняется во времени.
Представим вектор мгновенной угловой скорости и локальный
радиус в виде:
вектора мгновенной угловой скорости из уравнения
движением твердого тела называется движение
,,,,,
ρωωρεvωWρωωρεWW ××+×=×++××+×+= 2
ρωvρωvvWWvv ×=+×+===== 0000
,
rArArA
() ()
()
zyx
rrA
τ
e
()
x,y,z,,,
=ωωω= ρω . Найдем направление
n
.,
WWρωωρεWρωv +=××+×=×=
e
ijk
0
==×=ω ω ω=
v ωρ
= ω −ω + ω −ω + ω −ω
ijk
()
yz zx x y
64
xyz
xyz
()
()
,xy,zx,yz
000 =ω−ω=ω−ω=ω−ω
yxxzzy
zyx
(
)
x
=
.
ω
=
ω
ω
zyx
Последнее уравнение представляет собой уравнение линии –
мгновенной оси вращения твердого тела при сферическом движении.
Совместим начала координат неподвижной и подвижной систем
координат (точки A и O) и поместим их на ось вращения твердого
тела (рис. 8.3). Сферическое движение твердого тела удобно описывать с помощью углов Эйлера (φ,ψ,θ): φ – угол собственного вращения, ψ – угол прецессии и θ – угол нутации. Линия ОК – линия
пересечения плоскостей Oxy и Ox
– называется линией узлов.
1y1
Система координат Oxyz получается из неподвижной системы координат Ox
носительно оси z
путем трех последовательных поворотов: поворота от-
1y1z1
на угол ψ, поворота относительно линии узлов ОК
1
на угол θ и поворота вокруг оси z на угол φ .
dψ/dt
d
φ/dt
z
1
Твердое
тело
z
y
θ
O
y
1
φ
ψ
x
1
K
dθ/dt
Рис. 8.3
Пусть
твердого тела относительно неподвижной точки О , где ω
,, ωωω=ω – вектор мгновенной угловой скорости
zyx
, ωy и ωz
x
соответственно угловые скорости относительно осей x, y и z . Тогда
справедливы кинематические уравнения Эйлера:
65
θ
ψ
sin cos sin
,
ψ
ϕ
ϕ
cos ,
dd
dt dt
ψϕ
.
ϕ
ϕ
ϕ+ψ
v,v, , W,W, , ,, , ,, .
,
d
=ω cossinsin
x
dt
d
+ϕθ
ϕ
dt
dd
ω= θ
y
dt dt
ω= θ+
z
откуда получаем
ω= + + =
=+++ θ
222
ωωω
xyz
222
ψθϕϕψ
ddddd
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
dt dt dt dt dt
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
Угловые скорости относительно осей x
θ
ω
ω
ω
d
= sinsincos
x
1
dt
θ
d
= cossinsin
y
1
dt
d
= cos
z
1
dt
d
+ψ
dt
d
−ψ
dt
d
.
θ
dt
8.4. Плоскопараллельное движение твердого
тела
θ
−
2cos
, y1 и z1 равны:
1
,
ψθ
,
ψθ
Плоскопараллельным
(плоским) движением твердого тела на-
зывается движение, при котором любая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой фиксированной неподвижной плоскости. Выберем ось z перпендикулярной неподвижной плоскости,
параллельно которой расположены плоскости движения точек твердого тела. Тогда
= = =ω =εvW ωε
() ( )
66
000000
xy x y z z
()()
,z,,,,,W,v
yxyxzz
const000000 ==ε=ε=ω=ω==
Абсолютная скорость и абсолютное ускорение произвольной точ-
ки твердого тела M равны:
,
ArA
ρωvvρωvv ×+=+×+=
() ()
AA
ArrA
()
.,
ρωωρεWWρωvv ××+×+=×+=
ρωωρεWvωWρωωρεWW ××+×+=×++××+×+= 2
При плоскопараллельном движении твердого тела все точки тела,
имеющие одинаковую координату z, имеют одинаковые скорости и
ускорения. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно
изучить плоское движение одного из его сечений, получающегося
пересечением тела с плоскостью, параллельной заданной фиксированной плоскости.
8.5. Мгновенные центры скоростей и ускорений
при плоском движении твердого тела
Пусть
толщина тела много меньше его поперечных размеров. Изу-
чим движение такого тела (например, плоской пластины) на плоскости. Далее будем называть такое движение твердого тела плоским.
Рассмотрим две точки тела – A и B (рис. 8.4).
v
B
B
ρ=AB
v
=0
C
C
A
,
Твердое
v
A
тело
Мгновенный центр
скоростей
Рис. 8.4
Скорость точки B равна ABωvv ×+=
AB
. Обозначим относи-
тельную скорость точки B относительно точки A через
ABωv ×=
BA
. Тогда
67
.,
n
B
,
,
AB W
AB
B
,
,,,
,||, A.
n
BA
W
BA
W
n
BA
W
BAvvvv ⊥+=
BABAAB
Найдем в плоскости мгновенный центр скоростей твердого тела
(
точку C, скорость которой равна нулю). Для определения положе-
ния точки C имеем векторные уравнения:
,,,,
vCAvvCAvvvv ⊥−=⊥=+= 0
v
v
ω
CA
CBCA
==
CB
.
ACAACACAAC
,,,,
vCBvvCBvvvv ⊥−=⊥=+= 0
BCBBCBCBBC
Следовательно, мгновенный центр скоростей С лежит на пересечении двух перпендикуляров, проведенных в точках А и В соответственно к v
и vB (рис. 8.4).
A
Ускорение точки B равно
=+×+×× =+ +WWε AB ωωAB W W W
A A BA BA
()
τ
τ n
BA
n τ
=× × ⊥ ε=
W ωωAB W AB
BA BA
()
n τ nn
⊥→WWWABW
BA BA BA BA
После построения центра скоростей твердого тела мы можем определить численное значение угловой скорости
этому центростремительное ускорение
ной величине и направлению – оно параллельно АВ и направлено к
точке А. Касательное ускорение
оно перпендикулярно центростремительному ускорению
68
,=× = × ×W ε
=+ +WWW W
ABABA
ωω
BA
()
τ n
τ
мы знаем по направлению –
τ
W
BA
BA
v
v
CA
CBCA
==ω . По-
CB
мы знаем по абсолют-
.
Точка C на плоскости, абсолютное ускорение которой равно ну-
,,
ABC
; 0,6м;
;0,3м;
р
;120;
180 120 60 90
CAP , , APB ,
ACP
2
VOA , ,
VCP ,
лю, называется мгновенным центром ускорений твердого тела.
Пример 8.1. Найти для заданного положения механизма скорости
точек
и угловые скорости всех его звеньев (рис. 8.5).
C
0,3
30°
B
ω
OA
V
A
O
V
60°
0,3
A
30°
60°
60°
0,3
C
0,5
ω
O1B
0,3
O
1
ω
P
Рис. 8.5
Дано: 0,3 м
OA AB==10,5 м
2
OA
ад с
OABω= ∠ = ° .ABO °=∠ 30
Решение. Пусть P – точка пересечения линий OA и BO
, а скорость
OAV ⊥
A
BOV ⊥
B
P – м.ц.с.
OB BC==
1
. Следовательно, P – мгновенный
1
1
центр скоростей звена AB.
Из рис. 8.5 следует:
∠=°−°=°⊥ ∠=°
VBO
A
1
Δ – равносто-
ронний треугольник, ,PCAPAC м3,0===
22
=−=
APABBP
.
м52,05196,033,0 ≈=
По формуле Эйлера
V
B
. Скорость
V
=⋅ω=⋅= ω= =
AOA P
=⋅ω=⋅=
CP
0,3 2 0,6 мс
0,3 2 0,6 мс
A
AP
рад с
69
VPB ,
=⋅ω= ⋅= ≈
р
0,6
1, 04
V,V,V ,
р
2,08
BP
OB
1
V
BO
ω= = =
0,3321,03921,04мс
1, 04
B
1
0,5
2,08
ад с
.
Ответ: 0,6 мс
AB P O P
===
ACB
2
ад с
,ω=ω= ω = .
1
мс
рад с
мс
Вопросы для самоконтроля по кинематике
1. Что называется траекторией точки? Какое движение точки на-
зывается прямолинейным? Криволинейным?
2.
Как определяется декартова прямоугольная система координат?
3.
Как определяется абсолютная скорость точки в неподвижной
(
инерциальной) системе координат? Как направлен вектор скорости
по отношению к ее траектории? Чему равны проекции скорости точки на оси декартовых координат?
4.
Как определяется абсолютное ускорение точки в неподвижной
(
инерциальной) системе координат? Чему равны проекции ускорения
точки на оси декартовых координат?
5.
Как определяется цилиндрическая система координат? Как связаны координаты прямоугольной декартовой системы координат и
цилиндрической системы координат?
6.
Как определяется полярная система координат?
7.
Как определяется сферическая система координат?
8.
Как определяется вектор угловой скорости твердого тела при
его вращении вокруг неподвижной оси? Как направлен вектор угловой скорости?
9.
Как определяется вектор углового ускорения твердого тела при
его вращении вокруг неподвижной оси? Как направлен вектор углового ускорения?
10.
Что называется локальной производной вектора в подвижной
системе координат?
11.
Чему равна полная производная вектора в подвижной системе
координат?
12.
Чему равны абсолютная, переносная и относительная скорости
точки при ее сложном движении?
13.
Как определяются переносное и относительное ускорения при
сложном движении точки?
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]