Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 3. Термодинамика и статистическая физика неравновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
71
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
Упругие столкновения частиц и
классическая задача рассеяния
При упругом столкновении налетающей частицы массы
m, движущейся со скоростью
1
u v v
относительно части-
цы
2
m
, движущейся со скоростью v (мишенью столкновения
удобно рассматривать в лабораторной системе отсчета, в которой мишень до удара покоится) выполняются законы сохранения энергии и импульса
2 2 2
1 1 2 2
2 2 2
m u m u m v
,
1 1 2 2
mu m u m v
,
или
2 2 2
11
1 1 2
2 2 2
p p p
m m m
,
11
p p p
,
причем центр масс системы движется равномерно и
прямолинейно со скоростью
1
12
m
Vu
mm
. (П.1.1)
В системе центра масс
2
10
12
m
vu
mm
и
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
72
1
20
12
m
v v V
mm
. (П.1.2)
Очевидно, что в системе центра масс
10 20
p p p
,
10
p
=
20
pp
и
pp
.
Таким образом, единственным результатом упругого
соударения в системе центра масс является изменение
направления импульса частиц, как это показано на рис. П.1.1.
Угол между векторами
10
p
и
10
p
(
20
p
и
20
p
) называется
углом рассеяния в С-системе.
10
p
10
p
20
p
20
p
С
Рис.П1.1. Упругие столкновения в
системе центра масс
Упругие соударения можно наглядно представить с помощью диаграмм столкновений, представленных на
рис.П. 1.2а) и б) для случаев
21
mm
и
12
m m m
. Здесь
10
v
и
20
v
– скорости налетающей частицы и мишени в С-
системе после столкновения, а – угол рассеяния. Скорости
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
73
налетающей частицы и мишени после столкновения в лабораторной системе отсчета определяются соотношениями:
1 10
v v V
и
10
v v V
. (П.1.3)
а)
12
mm
б)
12
m m m
Рис. П.1.2. Диаграммы столкновений
1
v
10
u
v
1
v
20
2
v10
V
C
V
V
C
–V
–V
1
u
1
v
Угол 1 между направлением скорости налетающей частицы до и после столкновения называется углом рассеяния
налетающей частицы, угол 2 между направлением скорости
налетающей частицы и скоростью мишени после столкновения называется углом отдачи, а (1 + 2) – угол разлета частиц. Как видно из рис. П.1.2., углы 1 и 2 можно найти, если
известен угол рассеяния в системе центра масс, который, в
свою очередь, зависит от характера взаимодействия между
частицами.
В системе, состоящей из большого числа одинаковых
хаотически движущихся и испытывающих столкновения частиц, особое значение приобретает диаграмма столкновений
при
12
m m m
. В этом случае (Рис. П.1.2б)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
74
10 20 1 2
, ,
22
u
V v v V
,
и в лабораторной системе, движущейся со скоростью v, после
столкновения
1
sin
2
vu
,
cos
2
uu
. (П.1.4)
В классической механике задача двух тел сводится к задаче о движении частицы с приведенной массой
12
12
mm
mm
(при
12
2
m
m m m
) в центрально-симметричном поле
()Ur
, центр которого находится в центре масс системы. При
этом
20 10
r r r
, где
10
r
и
20
r
– радиус-векторы первой и вто-
рой масс относительно центра масс системы.
При движении -частицы в поле
()Ur
сохраняются ее
полная энергия Е и момент импульса L. Т.к. момент импульса
сохраняется как по величине, так и по направлению, то движение -частицы является плоским; если ось Z совместить с
направлением L, то L=Lz = const, и движение происходит в
плоскости XY. Плоское движение -частицы удобно описывать в полярных координатах с началом в точке С. Тогда
2 2 2 2
v r r
,
2
Lr
и
22
2
()
22
rL
E U r
r
. (П.1.5)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
75
Из соотношений (П.1.5) следует общее выражение для
уравнения траектории движения в центрально-симметричном
поле:
2
( / )
2 ( ( ))
эф
L r dr
const
E U r
, (П.1.6)
где
2
2
()
2
эф
L
U U r
r
.
Из (П.1.6) видно, что траектории в центральном поле
симметричны относительно линии, проходящей через центр
поля и точку, в которой радиальная составляющая скорости
меняет знак (в интересующем нас случае
0r
при
min
rr
), и
поэтому уравнение траектории приобретает окончательный
вид:
min
2
( / )
()
2 ( ( ))
r
r
эф
L r dr
r
E U r
. (П.1.7)
Рассмотрим задачу о нахождении угла рассеяния при
упругом столкновении одинаковых частиц (
/2m
) в
С-системе, если скорость налетающей частицы вдали от центра u, а прицельный параметр равен (прицельный параметр
– расстояние, на котором прошла бы частица мимо центра
поля в отсутствие взаимодействия). Законы сохранения энергии и момента импульса в этих условиях имеют вид:
2
4
mu
E const
и
2
mu
L const
. (П.1.8)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
76
В этом случае единственным результатом столкновения
будет изменение направления скорости, т.е.
uu
, причем
u u u
На рис. П. 1.3 схематически представлена траектория
движения частицы в поле сил отталкивания. Здесь – угол
рассеяния, а угол , как это следует из уравнений (П.1.7), равен
min
2
22
( / )
1 ( / ) 4 ( )/
r
эф
r dr
r U r mu
.
u
P
C
min
r
Рис.П.1.3. Рассеяние частицы силовым центром
ρ
Из определения угла рассеяния и из рис. П.1.3 следует,
что угол рассеяния
2
.
Пусть на силовой центр падает пучок частиц интенсивностью I. Под интенсивностью понимается число частиц, пе-
ресекающих в единицу времени единичную площадку, перпендикулярную направлению потока:
I nu
, где
n
– концентрация частиц, а u – их скорости. Тогда число ча-
стиц
dN
с прицельными параметрами, заключенными в ин-
тервале значений от до
d
, рассеивается на углы, за-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
77
ключенные между и
d
, как показано на рис.П.1.4. При
этом
2dN nu d
. (П.1.9)
1
u v v
d
С
d
Рис.П.1.4. Рассеяние пучка частиц силовым центром
Основной характеристикой процесса рассеяния является
дифференциальное сечение рассеяния
d
, имеющее размерность площади и представляющее собой относительное число
частиц с прицельными параметрами, заключенными в интервале от , до
d
, рассеиваемых в углы от до
d
:
2 2 ( )
dN d
d d d
Id
. (П. 1.10)
При этом очевидно, что
d
можно рассматривать как
вероятность рассеяния частицы в единицу времени в рассматриваемый угол рассеяния.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
78
Т.к. элементарный телесный угол, образованный двумя
конусами с вершинами в точке С и углами растворов и
d
, определяется выражением
2 sindd
, то диф-
ференциальное сечение рассеяния можно представить в виде:
()
sin
dd
d
d
. (П.1.11)
Учитывая вероятностный смысл дифференциального
сечения рассеяния, соотношению (П.1.11) можно придать
вид:
( , )d u d
, где
()
( , )
sin
d
u
d
, (П. 1.12)
(здесь учтено, что в общем случае является и функцией
относительной скорости, т.к. от нее зависит угол рассеяния –
чем больше скорость, тем меньшее время проводит частица
вблизи силового центра).
Функция
( , )u
называется эффективным сечением
рассеяния. Теперь с учетом (П.1.9) число частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесный угол
d
, определяется
равенством
( , )dN nu u d
. (П. 1.13)
Наконец, можно ввести интегральное эффективное се-
чение рассеяния
0
интегрированием (П. 1.10):
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
79
max
2
0 max
0
2 d
2
0 max
определяет число частиц, рассеиваемых силовым
центром в единицу времени по всем углам
0
. При
этом частицы, пересекающие площадь кругового сечения
пучка с
max
рассеиваются силовым центром, а частицы с
max
– не рассеиваются.
Рассмотрим представленные результаты в применении к
модели частиц в форме твердых шариков диаметром
0
d
. В
этом случае
max 0
d
и
2
00
d
,
max
( ) sin sin cos
22
d d d
.
Тогда
2
2
0
0
( ) sin / 2
( ) cos / 2
sin 2sin 4
d
d
d
d
и
2
0
()
4
nud
dN nu d d
.
Выполняя интегрирование по полному телесному углу,
получаем число частиц, рассеиваемых силовым центром в
единицу времени по всем направлениям,
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
80
2
00
N d nu nu
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]