Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 3. Термодинамика и статистическая физика неравновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
41
времени зависит от прицельного параметра и, следовательно,
от угла рассеяния в С-системе. Тогда вероятность рассеяния в единицу времени в телесный угол, образованный двумя
конусами с углами раствора от
до
d
(
2 sindd
) определяется выражением
( , )d u d
.
1
u v v
1
u v v
1
u v v
С
Рис.2.1. Столкновения
11
, , , ,v v r v v r
и
11
, , , ,v v r v v r
в С-системе
1
u v v
Величина
d
– эффективное дифференциальное сече-
нием рассеяния, имеющее размерность площади;
( , )u
–
эффективное сечение рассеяния, и
0
– интегральное сечение
рассеяния, представляющее собой площадь сечения пучка,
пересекая которую частицы испытывают рассеяние на все
возможные углы (Приложение 1). В рассматриваемой мо-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
42
дели частиц-молекул полное сечение рассеяния
2
0
d
, как
показано на рис.2.2.
Рис.2.2. Интегральное сечение упругого рассеяния
2
00
d
при столкновениях одинаковых твердых
шариков диаметрами
0
d
.
0
d
Таким образом, число столкновений частиц со скоро-
стями, значения которых
11
,,v v v v
лежат в интервале
от
1
v
до
11
v dv
с одной v-частицей в единицу времени в те-
лесный угол
d
будет равным
1 1 1
( , )d u f v v d dv
.
Учитывая, что фазовая плотность v-частиц равна
( , , )f f v r t
, можно определить число столкновений db в
процессах выводящих фазовые точки из рассматриваемого
объема dg при столкновениях v-частиц с частицами со ско-
ростями от
1
v
до
11
v dv
:
11
( , )db u ff udv d
. (2.6)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
43
Полное число точек, выходящих из объема dgв едини-
цу времени за счет столкновений v-частиц с точками из других объемов можно получить интегрированием (2.6) по всем
возможным углам рассеяния и скоростям
1
v
:
1
1 1 1
( ) ( , )
v
b f v d u f v v dv
(2.7)
Полное число точек, входящих в единицу времени в
объем dg, можно вычислить аналогичным способом, учитывая рассмотренную выше обратимость процессов
11
,,v v v v
и равенство
11
v v v v u
:
1
1 1 1
( , )
v
a d u f f v v dv
,
где
()f f v
и
1 1 1
()f f v
.
Окончательно для плотности источников в объем
dg
получаем
1
1 1 1 1
( , ) ( )
v
a b d u f f ff v v dv
(2.8)
Объединяя (2.5) и (2.8) приходим к нелинейному инте-
гро-дифференциальному уравнению, которое, собственно, и
называется кинетическим уравнением Больцмана:
1
1 1 1 1
grad ( , ) ( )
v
ff
v f v d u f f ff v v dv
tv
.(2.9)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
44
Следует отметить, что уравнение (2.9) может быть ре-
шено относительно функции распределения
( , , )f r v t
только
при определенных упрощающих предположениях.
2.3. Распределение Максвелла1-Больцмана
Рассмотрим решение уравнения (2.9) для равновесного
идеального одноатомного газа в отсутствие внешних полей. В
этом случае функция распределения f явно от времени и ко-
ординат не зависит, а ускорение, приобретаемое молекулами
разреженного газа между двумя столкновениями
0
F
vm
.
Следовательно, кинетическое уравнение приобретает вид:
1
1 1 1 1
( , ) ( ) 0
v
d u f f ff v v dv
,
т.е.
11
( ) 0f f ff
. (2.10)
Т.к. при равновесии
0
f
t
, то функция распределения
зависит от такой комбинаций координат и скорости, значение
которой от времени не зависит. Такой комбинацией является
полная энергия, которая для молекул идеального газа являет-
ся кинетической энергией
2
2
mv
E
. Равенство
11
f f ff
от-
ражает закон сохранения энергии при упругих столкновениях, который для частиц с одинаковой массой может быть за-
1
Максвелл Джеймс Клерк (1831-1879) – британский (шотландский) физик
и математик, член Лондонского королевского общества.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
45
писан в виде
2 2 2 2
11
v v v v
. Таким образом, должны вы-
полняться условия:
1 1 1 1 1
( ), ( ), ( )f f E f f E f f E E
. (2.11)
Этим условиям удовлетворяет функция
E
Ce
, причем,
т.к. должно выполняться условие ограниченности функции
распределения, то
1
, где величина
0
имеет размер-
ность энергии. Таким образом, число молекул, имеющих скорости, проекции которых лежат в интервалах значений от
,,
x y z
v v v
до
,,
x x y y z z
v dv v dv v dv
равно
222
()
2
x y z
m v v v
E
x y z x y z
dN Ce dv dv dv Ce dv dv dv
. (2.12)
Это выражение представляет собой распределение
Максвелла молекул идеального газа по проекциям скоростей,
в котором
kT
– модуль канонического распределения
Гиббса1.
Рассмотрим идеальный одноатомный газ во внешнем
потенциальном поле, каждая молекула в котором обладает
потенциальной энергией
()Ur
, зависящей от координат этой
молекулы. Теперь второе и третье слагаемые в левой части
кинетического уравнения (2.9) отличны от нуля. Попрежнему, интеграл столкновений в правой части (2.9) остается равным нулю, что следует из закона сохранения энергии.
Действительно, столкновения происходят в одной точке пространства, и поэтому потенциальная энергия молекул в мо-
1
Гиббс Джозайя Уиллард (1839-1901) – американский физик и математик.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
46
мент столкновения не меняется. Т.к. молекулы одинаковые,
то
22
22
11
22
2 2 2 2
mv mv
mv mv
UU
,
и, как и ранее,
2 2 2 2
11
v v v v
, т.е. интеграл столкновений не
зависит от внешнего поля. Однако теперь
2
( , , ),
2
mv
E U x y x
и
2
2
( , )
E mv U
f r v Ce Ce e
. (2.13)
Покажем, что при
0
f
t
подстановка (2.13) в (2.9) об-
ращает в нуль и левую часть кинетического уравнения. Рассмотрим
gradvf
:
2 2 2
2 2 2
1
grad grad grad
mv U mv U mv U
f
Ce e Ce e Ce e U F
.
(2.14а)
Следовательно,
grad
f
v f Fv
. Теперь рассмотрим тре-
тье слагаемое левой части кинетического уравнения:
1
x y z
x y z
f f f f f
v F F F Fv
v m v v v
. (2.14б)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
47
Из сравнения (2.14а) и (2.14б) видно, что сумма второго
и третьего слагаемых в левой части уравнения (2.9) равна нулю. Другими словами, функция распределения (2.13) является
решением кинетического уравнения Больцмана для равновесной системы невзаимодействующих частиц, находящихся во
внешнем потенциальном поле.
Число молекул газа с координатами от
, , x y z
до
, , , x dx y dy z dz
(
dxdydz dV
) и проекциями скоростей
от
,,
x y z
v v v
до
,,
x x y y z z
v dv v dv v dv
2
( , , )
2
( , )
mv U x y x
x y z
dN f r v dg Ce dv dv dv e dV
(2.17)
Из выражения (2.17) следует, что распределение молекул идеального газа по скоростям не зависит от распределения по скоростям. Поэтому можно записать отдельно распределение по проекциям скоростей (распределение Максвелла)
и распределение по координатам (распределение Больцмана):
2
2
( , , )
mv
x y z x y z
dN v v v Ae dv dv dv
или для концентраций газа
2
2
( , , )
mv
x y z x y z
dn v v v A e dv dv dv
(2.18а)
и
( , , )
( , , )
U x y x
dN x y z Be dV
, (2.18б)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
48
где константы A и B
AB
C
N
определяются из условия
нормировки
2
2
mv
x y z
v
N A e dv dv dv
и
( , , )U x y x
V
N B e dV
.
Очевидно, что нормировочная постоянная В зависит от
конкретного вида силового поля
( , , )U x y z
. Постоянная А
определяется интегрированием (3.18а) по всем возможным
значениям проекций скоростей; при этом распределение
Максвелла окончательно приобретает вид:
2
3/2
2
( , , )
2
mv
kT
x y z x y z x y z
m
dn v v v f dv dv dv n e dv dv dv
kT
(2.19)
2.4. Явления переноса в газах как следствия
кинетического уравнения Больцмана
2.4.1. Приближение времени релаксации
Как было показано выше, интеграл столкновений
( ),ab
определяющий скорость изменения функции распре-
деления молекул по скоростям
( , , )
ст
f v r t
ab
t
в равно-
весном состоянии равен нулю. Поэтому при малых отклонениях от состояния равновесия можно считать, что
0
,
ст
ff
f
ab
t
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
49
где
0
f
– равновесная функция распределения, а
const
–
параметр, имеющий размерность времени.
В этом случае кинетическое уравнение (2.9) можно за-
писать в виде:
0
grad
ff
ff
v f v
tv
. (2.20а)
В отсутствие силовых полей и при однородном пространственном распределении молекул (хотя распределение
по координатам однородное, распределение по скоростям неоднородно) уравнение (2.20а) приобретает вид:
0
ff
f
t
. (2.20б)
интегрирование этого уравнения приводит к закону изменения функции распределения с течением времени
/
00
( ) ( (0) )
t
f t f f f e
, (2.21)
в котором
(0)f
– функция распределения в начальный мо-
мент времени
0t
.
Из полученного выражения видно, что параметр имеет смысл времени релаксации. Интегрирование уравнения
(2.20) выполнялось при фиксированном значении скорости,
из чего следует, что время релаксации является функцией
скорости молекул. Переход в равновесное состояние происходит практически за несколько столкновений молекулы; поэтому время релаксации можно рассматривать как среднее
время свободного пробега молекулы.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
50
2.4.2. Число столкновений, время и
длина свободного пробега
Для расчета числа столкновений z в 1 с одной молекулы с остальными воспользуемся выражением (2.6) для числа
столкновений молекул, скорость которых равна v, находящихся в единице фазового объема. Очевидно, что функция
распределения, отнесенная к одной молекуле газа, находяще-
гося в равновесии, может быть представлена как
0
()fv
n
, где
0
f
– равновесная функция распределения, а n – концентра-
ция молекул газа. Тогда полное число столкновений за секунду можно найти, интегрированием (2.6) по всем возможным
скоростям v и с учетом выше сказанного:
1
0 10 1 1 1
1
( , ) ( ) ( )
vv
z dv d u f v f v v v dv
n
. (2.22)
Здесь
2
3/2
2
0
()
2
mv
kT
x y z
m
f v n e dv dv dv
kT
и
2
1
3/2
2
10 1 1 1 1
()
2
mv
kT
x y z
m
f v n e dv dv dv
kT
.
Следовательно,
22
1
1
3
()
2
11
( , )
2
m v v
kT
vv
m
z n dv d u e v v dv
kT
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]