Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 3. Термодинамика и статистическая физика неравновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
61
2
3/2
22
00
2
0
2
55
2 2 2
mv
y
kT
nT
mv mv m
fe
T kT T kT kT
(2.35)
Т.к. поток определяется в линейном приближении по
, то в этом выражении T можно заменить на
0
T
и
2
0
3/2
2
2
00
0 0 0
5
22
mv
kT
fn
mv m
e
y T kT kT
.
Теперь поток можно рассчитать по формуле
2
3/2
2
2 2 2 2
0
2
0 0 0
5 ( ) .
42
mv
kT
y y x y z x y z
v
mn
m mv
q v v v v e dv dv dv
T kT kT
(2.36)
Вычисление интеграла осуществляется переходом к
сферическим интегралам и с использованием формул Приложения 2. В результате получаем
2
5
4
y
q
nk T
m
, (2.37)
причем под n и Т понимаются
0
n
и
0
T
.
Если считать, что все молекулы движутся с одинаковыми скоростями v, то
51
63
p
nv k vc
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
62
Этот результат отличается от ранее полученного наличием
p
c
вместо
V
c
, т.к. здесь проводилось рассмотрение теп-
лопроводности при постоянном давлении.
2.4.5. Кинетическое уравнение
для идеального газа электронов
В соответствии с принципом Паули1 в системе электронов, не существует хотя бы двух электронов, находящихся в
одинаковых состояниях. При этом функция распределения
1f
и имеет смысл вероятности обнаружения электрона в
определенном состоянии (при равновесии – функция распре-
деления Ферми2-Дирака3). Тогда число рассеянных из рассматриваемого фазового объема в единицу времени электронов будет равным
( ) ( , ) 1 ( )b f v W v v f v dv
. (2.38)
1
Паули Вольфганг Эрнст (1900-1958) – швейцарский физик-теоретик,
лауреат Нобелевской премии по физике 1945 г., иностранный член Лондонского королевского общества, член-корреспондент Баварской академии наук, почетный иностранный член академии наук США.
2
Ферми Энрико (1901-1954) – итальянский физик, лауреат Нобелевской
премии по физике 1938 г., член национальной академии, член национальной академии наук США, иностранный член-корреспондент академии
наук СССР, иностранный член Лондонского королевского общества.
3
Дирак Поль Адриен Морис (1902-1984) – английский физик-теоретик,
лауреат Нобелевской премии по физике 1933 г., член Лондонского королевского общества, иностранный член-корреспондент академии наук
СССР, национальной академии наук США и Французской академии Наук.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
63
В этом выражении
( , )W v v
– вероятность процесса
vv
, а
1 ( )fv
– вероятность того, что состояние
v
не
занято.
Аналогично вычисляется и число переходов
vv
:
( ) ( , ) 1 (a f v W v v f v dv
(2.39)
Общее число столкновений в единицу времени
ст
f
ab
t
. В равновесном состоянии электронного газа
0
ff
, где
0
f
– равновесная функция распределения Ферми-
Дирака или Максвелла-Больцмана, а
( ) 0ab
. При этом
0
0 0 0
( ) 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 0
ст
f
ab
t
f v f v f v W v v W v v dv
, (2.40)
т.е. вероятность переходов
()vv
равна вероятности обрат-
ных переходов
()vv
– принцип детального равновесия.
Этот результат не зависит от того, находится газ в равновесном или в неравновесном состояниях. Поэтому из (2.37) –
(2.39) следует, что столкновительный член в кинетическом
уравнении имеет вид
00
( , ) ( ) ( )
ст
f
W v v f v f v dv
t
. (2.41)
В выражении (2.41) отсутствуют множители из (2.38) и
(2.39), отражающие принцип Паули. Это объясняется равны-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
64
ми количествами уменьшений и увеличений числа электронов в рассматриваемом объеме, несмотря на малое количество (по сравнению с концентрацией) электронов, принимающих участие в тепловом движении. Вероятность
( , )W v v
,
как и ранее в п. 2.2.2, определяется эффективным сечением
рассеяния
( , )u
, где u – модуль относительной скорости, и
плотностью рассеивающих центров в приближении времени
релаксации
1
ст
f
t
. Поэтому время релаксации может
быть определено из соотношения
00
1
( , ) ( ) ( )W v v f v f v dv
. (2.42)
Дальнейшее вычисление времени релаксации зависит от
вида рассеяния электронов – на электронах, на заряженных
примесях в полупроводниках и металлах, или на тепловых
колебаниях кристаллической решетки.
2.5. Примеры заданий для аудиторного выполнения
Пример 1. Кинетическое уравнение М.Н. Больцмана
было получено в приближении парных столкновений молекул. Н.Н. Боголюбов1 показал, что критерием применимости
такого приближения является условие
2
0
0
1
r
rn
( – средняя длина свободного пробега,
0
r
– радиус действия
молекулярных сил). Показать применимость кинетического
уравнения Больцмана для азота, диаметр молекул которого
1
Боголюбов Николай Николаевич (1909-1992) – советский математик и
физик-теоретик, академик АН СССР, академик РАН.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
65
принимается равным 2,5
o
A
. Концентрация молекул газа
16
2,7 10n
см-3, температура
300T
К.
Решение
Будем считать, что диаметр молекулы
0
d
представляет
собой линейный размер области
0
r
, в которой проявляется
действие молекулярных сил.
Прежде всего, оценим, является ли газ идеальным.
Среднее расстояние между молекулами
1/3 6
3,3 10ln
см.
Т.к.
85
0
2,5 10 3,3 10rl
(см), то газ можно рассмат-
ривать как идеальный, к которому в равновесном состоянии
применимо распределение Максвелла.
Определим среднюю длину свободного пробега
.v
Т.к.
2
1
2 d nv
,то
2
16 16
2
11
1,35 10 см
1,4 3,14 6,25 10 2,7 10
2 dn
Таким образом, в газе выполняются неравенства
dl
, и критерий
d
10-6. Следовательно, газ идеаль-
ный, столкновениями более двух молекул можно пренебречь,
и кинетическое уравнение Больцмана к такому газу применимо.
Пример 2. Рассмотреть применение кинетического
уравнения в приближении времени релаксации к описанию
стационарной диффузии в одноатомном идеальном газе в от-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
66
сутствие внешних полей и при наличии постоянного градиента плотности.
Решение
Пусть в одноатомном идеальном газе имеется постоян-
ный градиент концентрации вдоль оси y:
dn
dy
, где
const
. В этом случае концентрация газа меняется по ли-
нейному закону
0
n n y
,
где
0
n
– концентрация молекул на плоскости
0y
. В соот-
ветствии с законом Фика проекция вектора плотности потока
вещества
grad
y
j D n
, и
y
j
D
.
Если
( , , )
x y z
f v v v
– неравновесная функция распределе-
ния, то плотность потока молекул вещества
y
dj
со скоростями
от v до
v dv
определяется выражением
y y x y z
dj v fdv dv dv
, а
y y x y z
v
j D fv dv dv dv
Подставляя f из кинетического уравнения (2.26), получаем
2
0
0 y x y z y x y z
vv
f
D f v dv dv dv v dv dv dv
y
,
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
67
где
2
3/2
2
0
2
mv
kT
m
f n e
kT
– равновесная функция распределе-
ния.
Первый интеграл в правой части уравнения равен нулю,
т.к. подынтегральная функция нечетная а
0
0
f
af
y
.
Тогда
2
2
2
2
3/2
2
2 2 2
1/2
2
2
2
2
y
x
z
y
mv
mv
mv
kT kT kT
y y x z
mv
kT
yy
m
D n v e dv e dv e dv
kT
m
n v e dv
kT
.
Выполняя последнее интегрирование, получаем
1
2
kT
D
m
.
При элементарном рассмотрении диффузии принимается
2
1
3
kT mv
и считается, что,
1
3
Dv
. При этом считает-
ся, что время релаксации совпадает со средним временем
свободного пробега и
v
.
Пример 3. Получить закон Ома как следствие кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
68
Решение
Пусть по проводнику в направлении
течет постоян-
ный ток, вызванный действием на свободные электроны постоянного электрического поля напряженностью
x
EE
.
Т.к. процесс стационарный и плотность электронов в
проводнике постоянная, т.е. не зависит от координат, то в ки-
нетическом уравнении (2.20)
0
f
t
и
grad 0vf
. Следова-
тельно,
0
ff
f
v
v
.
Поскольку в нулевом приближении правая часть этого
уравнения обращается в нуль, а левая нулю не равна, то достаточно, как и ранее кинетическое уравнение записать в виде:
00
f f f
v
v
.
Если учесть, что
x
eE
v
m
или, в рассматриваемом слу-
чае,
x
eE
v
m
, то кинетическое уравнение принимает вид:
00
x
f f f
eE
mv
.
Предполагая распределение электронов по скоростям
максвелловским, определим
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
69
0
0
x
x
f mv
f
v kT
.
Тогда
0
0x
ff
eE
vf
kT
и
00x
eE
f f v f
kR
. (1)
Проекция вектора плотности тока, обусловленная движением электронов со скоростями от v до
v dv
определя-
ется выражением
z x x y z
dj ev fdv dv dv
. (2)
Подставляя в (2) функцию распределения f из (1), получаем
2
2
00z x x y z x x y z
eE
dj ev f dv dv dv v f dv dv dv
kT
.
При интегрировании этого уравнения по всем возможным значениям проекций скоростей учтем, что первый интеграл в правой части равен нулю. Кроме того, учтем, что инте-
гралы по
y
v
и
z
v
являются нормировочными. Поэтому счи-
таем, что
2
1/2
2
0
2
x
mv
kT
m
f n e
kT
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
70
Плотность тока
2
1/2
22
2
2
2
x
mv
kT
z x x
e E m ne
j n v e dv E E
kT kT m
,
где
2
ne
m
– электропроводность в классической теории
Друде. Здесь – среднее время свободного пробега. Обобщение полученного результата приводит к закону Ома в дифференциальной форме:
jE
.
Вопросы к теоретическому материалу раздела 2.
1. Равновесная и неравновесная функции распределения.
2. Кинетическое уравнение Больцмана (без вывода), его
физический смысл.
3. Приближение времени релаксации.
4. Время релаксации, столкновения молекул, длина сво-
бодного пробега.
5. Кинетическое уравнение в приближении времени ре-
лаксации в процессах переноса – вязкости, теплопроводности, диффузии, электропроводности.
6. Кинетическое уравнение для идеального электронного
газа с учетом принципа Паули.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]