Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 3. Термодинамика и статистическая физика неравновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
51
Если считать, что сечение рассеяния не зависит от отно-
сительной скорости
u v v
, то
2
00
()dd
. То-
гда
22
1
1
3
()
2
2
0 1 1
2
m v v
kT
vv
m
z d n e v v dvdv
kT
. (2.23)
Т.к. при переходе к системе центра масс (Приложение 1)
2
22
2
1
2 2 2
C
mv
mv mu
mV
и
1 C
dvdv dV du
,
интеграл (2.23) сводится к произведению интегралов Пуассона1. Выполняя интегрирование, получаем уже знакомое выражение
2
2z d nv
,
где средняя скорость молекул идеального газа
8kT
v
m
.
Зная величину z, находим среднее время свободного
пробега и среднюю длину свободного пробега :
1
Пуассон Симеон Дени (1781-1840) – французский математик и физик,
член Парижской академии наук, иностранный член Лондонского королевского общества, иностранный почетный член Петербургской академии
наук.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
52
2
0
11
2
z
d nv
и
v
.
Т.к. длина свободного пробега величина случайная, то
имеет смысл найти распределение длин свободного пробега.
Пусть вероятность того, что молекула прошла путь x без
столкновений равна
()x
. Тогда вероятность того, что моле-
кула пройдет путь
x dx
без столкновений будет равной
()x dx
и пропорциональной как
()x
, так и dx. Кроме то-
го, учтем, что
( ) ( )x dx x
. Поэтому можно записать, что
( ) ( )(1 )x dx x dx
,
где
(1 )dx
– вероятность того, что молекула пройдет и путь
dx
без столкновений
()const
.
Используя разложение
( ) ( )
d
x dx x dx
dx
, получа-
ем уравнение
d
dx
, интегрирование которого дает
()
x
x Ce
. Полагая, что
(0) 1
, получаем С = 1 и
()xxe
. Для выяснения физического смысла величины
определим вероятность
()dw l
того, что длина свободного
пробега молекулы
xl
лежит в интервале значений от l до
:l dl
( ) ( ) ( )
l
d
dw l l dl l dl e dl
dl
.
Определим среднюю длину свободного пробега
l
:
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
53
0
1
l
l e dl
.
Таким образом, распределение длин свободных пробегов описывается функцией
/
1
()
l
f l e
,
где – средняя длина свободного пробега.
Все описанные микроскопические характеристики молекулярного движения были получены для равновесной системы. Однако в случае слабого отклонения от равновесия
они применимы и для неравновесных систем. При этом среднее время пробега молекулы без столкновений практически
совпадает со временем релаксации системы.
2.4.3. Вязкость газов
Рассмотрим ламинарное течение газа со скоростями
слоев
, 0
x y z
V y V V
, как показано на рис. 3.3. Измене-
ние скорости течения слоев обусловлено наличием силы
внутреннего трения
y
X
, приложенной к единичной площад-
ке, перпендикулярно оси y. В рассматриваемом случае зако-
ном Ньютона
x
y
dV
X
dy
и коэффициент вязкости
y
X
, (2.24)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
54
причем величина
x
dV
dy
представляет собой единицу гра-
диента скорости.
x
Vy
y
z
x
0
Рис.3.3. Ламинарное течение газа со
скоростью
, 0
x y z
V y V V
В режиме стационарно текущего газа неравновесная
функция распределения в кинетическом уравнении Больцма-
на (2.9) явно от времени не зависит, т.е.
0
f
t
. Тогда в от-
сутствие внешних силовых полей в первом приближении
(приближении времени релаксации) уравнение (2.9) принимает вид:
0
grad
ff
vf
. (2.25)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
55
В нулевом приближении
0
f
– равновесная функция рас-
пределения Максвелла молекул по скоростям. В системе отсчета, движущейся вместе с газом, это распределение имеет
вид:
22
2
3/2
()
()
22
0
( , , )
2
yz
x
m v v
m v y
kT kT
x y z
m
f v y v v n e e
kT
.
Т.к. распределения по проекциям скоростей статистически независимы, то вероятность того, что проекция скорости
молекулы находится в интервале значений от
x
v
до
xx
v dv
2
1/2
()
2
()
2
x
m v y
kT
xx
m
dW v e dv
kT
.
При этом
2
1/2
()
2
()
2
x
m v y
kT
x x x x x
m
v v dW v v e dv y V
kT
,
а
y
v
и
z
v
закономерно равны нулю (Приложение 2). Полу-
ченный результат свидетельствует о справедливости принятой в нулевом приближении модели ламинарно текущего газа.
Поскольку даже в нулевом приближении левая часть
уравнения (2.25) не равна нулю, то и правая часть этого уравнения должна быть отличной от нуля. Другими словами, в
правой части (2.25) нужно сохранить величины первого порядка малости. Тогда кинетическое уравнение приобретает
вид:
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
56
0
0
grad
ff
vf
. (2.26)
Будем рассматривать молекулярные процессы в газе в
системе отсчета, связанной с течением со скоростью
x
V V y
газа. В этой системе отсчета
, ,
x x y y z z
v v y v v v v
и
00
( , , )
x y z
f f v v v
. (2.27)
Учитывая, что
0
f
подчиняется распределению Макс-
велла (2.19) и в рассматриваемом случае зависит только от
координаты y, для градиента
0
f
получаем
0
00
(grad )
x
y
f m v
ff
y kT
и
0
0
grad
y
m v f
v f v
kT
.
Тогда уравнение (2.26) можно переписать в виде
00
yx
m v v
f f f
kT
. (2.28)
С молекулярной точки зрения трение между слоями
обусловлено тем, что более быстро движущиеся в направлении х молекулы верхнего слоя тормозятся при переходе в
нижний, более медленный, слой за счет столкновений. При
этом изменение импульса молекулы в системе отсчета, дви-
жущейся вместе с газом,
xx
p nv
равно импульсу силы
внутреннего трения
x
Ft
. Тогда сила
y
dX
, действующая на
единичную площадку, перпендикулярную оси y, в единицу
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
57
времени и обусловленная изменением импульса
x x x
p p mv
всех молекул со скоростями в интервале зна-
чений от
v
до
v dv
, будет определяться количеством мо-
лекул в объеме
y
v dxdz
xy
y x y z x y x y z
F fv dtdxdz
dX f dv dv dv mv v fdv dv dv
dtdx dz
.
Подставляем в это уравнение неравновесную функцию
распределения из (2.28) и интегрируем по всем возможным
значениям проекций скоростей
2
22
00y y x x y z y x x y z
m
X m v v f dv dv dv v v f dv dv dv
kT
.
(2.29)
Первый тройной интеграл в правой части этого выражения равен нулю в силу антисимметричных подынтегральных
функций переменных
x
v
и
y
v
. Тогда (Приложение 2)
2
2
2
22
22
1
22
y
x
mv
mv
kT kT
y y y x x
m n m
X v e dv v e dv nkT
kT kT
.
Сравнивая этот результат с выражением (2.24) для коэффициента вязкости, получаем
1
2
nkT
. (2.30)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
58
Т.к.
2
3
22
mv
kT
, то коэффициент вязкости можно пред-
ставить в виде
2
1
3
nm v
. Если, кроме того, считать, что все
молекулы движутся с одинаковыми скоростями v и время
релаксации совпадает со средним временем свободного пробега, то
11
33
nmv v
.
Этот результат совпадает с полученным ранее в разделе 1 методами элементарной молекулярно-кинетической тео-
рии.
2.4.4. Теплопроводность газов
Рассмотрим применение кинетического уравнения к
описанию стационарного процесса теплопроводности в газах
в отсутствие внешних полей и при наличии постоянного гра-
диента температуры вдоль оси y:
dT
dy
, где
const
. В
этом случае температура меняется по линейному закону
0
T T y
, (2.31)
где
0
T
– температура на плоскости
0y
.
В соответствии с законом Фурье
grad
y
qT
, т.е.
y
q
. (2.32)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
59
Из условия равновесия газа в целом следует равенство
давлений во всех его точках, т.е.
0 0 0
()p n kT nk T y
.
Как следствие, концентрация газа зависит от температуры по закону
00
0
nT
n
Ty
.
Так же, как и в примере с вязкостью, кинетическое уравнение в приближении времени релаксации имеет вид (2.26). При
этом функция распределения в нулевом приближении
2
0
3/2
2 ( )
0
00
5/2
0
2 ( )
mv
k T t
T
m
f n e
k T y
. (2.33)
В процессе теплопроводности, плотность потока энергии
y
dq
молекул со скоростями от v до
v dv
в направлении
y
определяется выражением
2
2
y y x y z
mv
dq f v dv dv dv
,
а для нахождения полного потока необходимо это выражение
проинтегрировать по всем возможным значениям проекций
скорости:
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
60
222
()
2
x y z
y y x y z
m v v v
q f v dv dv dv
.
Подстановка в это равенство неравновесной функции
распределения f в соответствии с кинетическим уравнением
в приближении времени релаксации (2.23) дает
222
0
222
0
()
2
()
2
x y z
y y x y z
x y z
y x y z
m v v v
q f v dv dv dv
m v v v
f
v dv dv dv
y
.
Здесь первый интеграл в правой части равен нулю в силу нечетности одной из подынтегральных функций
2
0
2 ( )
y
mv
k T y
y
ve
. Поэтому
222
0
()
2
x y z
y y x y z
v
m v v v
f
q v dv dv dv
y
. (2.34)
Вычислим
0
0
grad
f
f
y
, дифференцируя (2.33):
2
0
2
0
0
00
3/2
2
2 ( )
00
2
0 0 0
5
2( ) ( )
5
2( ) ( ) 2 ( )
y
mv
k T y
f
mv
f
y T y k T y
nT
mv m
e
T y k T y k T y
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]