Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 3. Термодинамика и статистическая физика неравновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
21
Кроме рассмотренных «прямых» процессов
()
i ii i
j L X
в неравновесных системах могут протекать и «перекрестные»
процессы, когда поток
i
I
некоторой величины обусловлен не
одной, а несколькими причинами (см. выражение (1.10)). Так,
при наличии теплопроводности и электропроводности возникает термоэлектрический эффект; теплопроводность и перепад температуры в системе из молекул разной массы приводит к термодиффузии и др.
Рассмотрим процесс термодиффузии, в котором поток
числа частиц
N
I
вызван неоднородностью в распределении
плотности частиц и перепадом температур:
N NN N NQ Q
j L X L X
, (1.17)
где в соответствии с (1.2) и (1.9а,б) такой перекрестный процесс называется термодиффузией, в котором
2
11
grad grad grad
Q
u
s
XT
u T T
,
2
1 1 1
grad grad grad grad grad
N
u
s
XT
n T T T T
,
22
2
11
grad grad grad
grad grad
N NN NQ
NN NQ
NN
j L T L T
T T T
LL
L
T
TT
.
Рассматривая сопряженный процесс
Q QQ Q QN N
j L X L X
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
22
и учитывая, что
QN NQ
LL
, можно рассчитать величину
2
NN NQ
LL
T
в рассматриваемых перекрестных процессах:
grad grad
N
j D n T
и
grad grad
Q
j T n
. (1.18)
Явление термодиффузии используется для разделения в
смеси молекул разной массы, в частности, для разделения
изотопов урана.
1.2. Элементарная молекулярно-кинетическая теория
явлений переноса
Первичное рассмотрение неравновесных процессов,
протекающих в макроскопических системах, начнем с модельных представлений о простейшей термодинамической
системе с двумя степенями свободы (идеальный и реальный
газы), состоящей из громадного числа хаотически движущихся, сталкивающихся невзаимодействующих или слабо взаимодействующих частиц.
1.2.1. Поперечное сечение столкновений.
Длина свободного пробега
При рассмотрении таких процессов как взаимодействия
и рассеяние частиц вводится понятие эффективного сечения
рассеяния. Если молекулы считать твердыми и сферически
симметричными, то две молекулы не могут сблизиться на
расстояние, меньше чем
00
2dr
(
0
r
– радиус молекулы). При
этом вероятность одновременного столкновения более двух
молекул в достаточно разреженных газах ничтожно мала. Таким образом, столкновение рассматриваемой молекулы с
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
23
другими молекулами произойдет, если центры этих молекул,
движущимися относительно нее со средними относительны-
ми скоростями
отн
v
, пересекут площадку
2
0
d
, называемую
сечением столкновений – см. рис. 1.3. Тогда среднее число
столкновений в единицу времени z можно рассчитать как
число молекул в объеме цилиндра
2
0
отн
V d v
. Если число
молекул в единице объема (концентрация) n, а среднее время
между двумя столкновениями
2
0
11
отн
z
n d v
. (1.19)
0
d
отн
v
Рис. 1.3. К расчету о числе
столкновений
Введем понятие длины свободного пробега как среднего расстояния пробега, осуществляемого молекулой, без
столкновений. Очевидно, что
2
0
отн
v
v
n d v
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
24
Так как
2
отн
vv
, то
2
0
1
2nd
. (1.20)
Реальные молекулы, безусловно, не являются твердыми
шариками. Поэтому в общем случае под радиусом сечения
столкновений d следует понимать линейный размер области,
в которой проявляются силы взаимодействия. Учет потенциала взаимодействия приводит к зависимости длины свободного пробега молекул от температуры. Эта зависимость описывается эмпирической формулой Сезерленда1
0
T
TC
. (1.21)
В этом выражении
0
– длина свободного пробега, вы-
численная для жестких сферических молекул, а С – постоянная табулированная величина, имеющая различные значения
для разных газов (постоянная Сезерленда).
1.2.2. Молекулярно-кинетическая
теория процессов переноса в газах
1.2.2.1. Теплопроводность
Пусть в направлении x поддерживается постоянный
градиент температуры
dT
dx
. При этом имеет место поток
энергии, направленный от более нагретой поверхности к ме-
1
Сазерленд Гордон Бримс, Блэк Мак-Айвор (1907-1980) – шотландский и
британский физик, член Лондонского королевского общества
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
25
нее нагретой, т.е. в направлении, противоположном градиенту (рис.1.4).
y
z
x
1
T
21
TT
q
j
()Tx
()Tx
()Tx
S
Рис.1.4. К процессу теплопроводности
gradT
Вследствие хаотичности движения молекул в направлении
0x
через площадку S в единицу времени проходят
1
6
nvS
молекул (n – концентрация молекул газа, v – средняя
скорость их теплового движения в сечении S); такое же количество молекул проходит и в противоположном направлении
0x
. Если – средняя длина свободного пробега, то
молекулы, движущиеся слева направо, в точке x обладают
такой же энергией, что и в точке
()x
, а движущиеся в про-
тивоположном направлении – такой же энергией, что и в точке
()x
. Т.к. средняя энергия молекулы с i степенями сво-
боды
2
i
kT
, поток энергии в единицу времени через еди-
ничную площадку в направлении градиента температуры равен:
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
26
1
( ( )
62
Q
i
j nv k T x T x
. (1.22)
Но
( ) ( )
x
dT
T x T x
dx
и
( ) ( )
x
dT
T x T x
dx
.
Тогда
11
2
6 2 3 2
Q
i dT i dT
j nv k nv k
dx dx
. (1.23)
Учитывая, что удельная объемная теплоемкость
2
V
ik
cn
, и обобщая выражение (1.23), получаем
grad
Q
jT
,
где коэффициент теплопроводности, выраженный через теплоемкость единицы объема
V
c
, имеет вид:
1
3
V
vc
. (1.24)
Коэффициент теплопроводности можно выразить через плотность газа , молярную массу M и молярную теплоемкость
V
C
при постоянном объеме. Действительно, т.к.
A
nN
M
и
22
AV
i iR
kN C
, то
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
27
3
V
vC
M
. (1.25)
1.2.2.2. Диффузия
Неоднородность плотности вещества (концентрации
атомов или молекул) приводит к потоку частиц в направлении, противоположном градиенту плотности, в чем и состоит
явление диффузии в химически однородной системе. При
этом в процессе изучения явления диффузии считается, что
температура во всех точках системы одинакова.
Рассмотрим процесс диффузии в идеальном газе. Пусть
в направлении x поддерживается постоянный градиент концентрации молекул. Принимая те же модельные представления, что и при описании теплопроводности, для потока числа
частиц через единичное сечение в единицу времени (см.
рис.1.4) получаем
11
( ) ( )
63
N
x
dn
j v n x n x v
dx
.
Обобщение этого результата приводит к закону Фика
grad
N
j D n
, (1.26)
где коэффициент диффузии
1
3
Dv
.
Уравнение диффузии можно записать и для вектора
плотности потока массы в этом процессе, умножив левую и
правую части (1.26) на массу одной молекулы:
grad
m
jD
. (1.27)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
28
Если учесть, что в идеальном газе концентрация молекул связана с давлением соотношением
p nkT
, то процесс
диффузии может быть обусловлен перепадом давлений и
описан выражением
grad
N
j D p
, где
D
D
kT
. (1.28)
1.2.2.3. Вязкость газов
Действие сил внутреннего трения между движущимися
параллельными слоями жидкости или газа приводит к
уменьшению скорости слоев в направлении, перпендикулярном направлению движению, в чем и заключается проявление
вязкости. Если слои жидкости или газа, параллельные плоскости
xOy
, движутся в направлении оси x, то скорость слоев
x
uu
уменьшается в направлении
()z
в соответствии с за-
коном Ньютона
x
xz
du
f
dz
, (1.29)
где
x
xz
z
F
f
S
– сила вязкого (внутреннего) трения, действую-
щая на единичную площадку в плоскости слоя, нормаль к которой совпадает с направлением оси z. Сила вязкого трения
приводит к уменьшению относительной скорости слоев в потоке жидкости или газа.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
29
z
y
0
z
S
()
x
uz
()
x
uz
()
x
uz
x
Рис.1.5. Иллюстрация к процессу
переноса импульса
Рассмотрим процесс передачи импульса между слоями,
отстоящими вдоль оси z на расстояние, равное длине свободного пробега , как показано на рис.1.5. Вследствие хаотичного теплового движения, среднее число молекул, движущихся без столкновений и обмена импульсами в направле-
нии
0z
, пересекающих площадку
z
S
в единицу времени,
равно
1
6
z
nvS
. Такое же количество молекул пересекает пло-
щадку в единицу времени и в направлении
0z
. При этом,
молекулы, движущиеся вверх переносят импульс от слоя с
координатой
()z
к слою с координатой z, равный
0
1
()
6
zx
nvS m u z
, где
0
m
– масса молекулы, а молекулы,
движущиеся вниз, переносят импульс
0
1
()
6
zx
nvS m u z
. Сле-
довательно, поток импульса в единицу времени через площадку
z
S
в направлении градиента скорости слоев
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
30
0
1
( ) ( )
6
x
z x x
dP
nvS m u z u z
dt
.
Разлагая функции
()
x
uz
и
()
x
uz
в ряд и ограни-
чиваясь величинами первого порядка малости, получаем
( ) ( ) 2
x
xx
du
u z u z
dz
.
Кроме того, учтем, что плотность газа
0
nm
. Тогда
1
3
xx
z
dP du
vS
dt dz
.
Но в соответствии со вторым законом Ньютона
,
x
x
dP
F
dt
а
x
xz
z
F
f
S
. Поэтому в законе Ньютона (1.29) коэф-
фициент вязкости определяется выражением
1
3
v
. (1.30)
Подставляя выражение для длины свободного пробега
длины из (1.3), коэффициент вязкости можно также представить в виде:
0
2
0
32
mv
d
. (1.31)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]