Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая физика. Часть 3. Термодинамика и статистическая физика неравновесных состояний. Учебно-методическое пособие
.pdf
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
31
1.3. Задачи для аудиторного и
самостоятельного выполнения
1.3.1. Примеры решения задач
Задача 1. Определить контактную разность потенциа-
лов на границе двух проводников, концентрации свободных
электронов в которых
1
n
и
21
nn
. Электроны в металлах рас-
сматривать как идеальный одноатомный классический газ.
Решение
Т.к.
21
nn
, то в области контакта происходит процесс
диффузии электронов из металла 2 в металл 1. Этот процесс сопровождается возникновением электрического поля и, как следствие, переносом электронов под действием этого поля в противоположном направлении. Когда диффузионный ток уравновесится током дрейфа электронов в поле, полный ток через границу раздела обращается в нуль и ситуация на границе становится
равновесной с определенной разностью потенциалов
21
U
в области контакта, как показано на рисунке.
n
j
e
j
21
nn
–
1
n
1
2
Рис.1.6. Возникновение контактной
разности потенциалов
Из выражения (1.16) видно, что при
0
en
j ej
(e – ве-
личина заряда электрона)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
32
0 grad( )
nn
Le
т.е.
grad grade
.
Т.к. при постоянной температуре в единице объема
nd dp
, и для идеального одноатомного газа
p nkT
, то
grad grad
kT
en
n
. При этом
d kT dn
dx en dx
или
kT
d dn
en
.
Интегрирование последнего соотношения от
2
n
до
1
n
приводит к выражению для контактной разности потенциалов
2
21
1
ln
n
kT
U
ne n
.
Размер области, в которой формируется эта разность
потенциалов, составляет величину порядка длины свободного
пробега электронов в кристалле.
Задача 2. Принимая диаметр молекулы азота
0
d
равным
10
3,1 10
м, определить среднее число столкновений молеку-
лы при нормальных условиях за 1 с.
Решение
При нормальных условиях (
273T
К,
5
0
10p
Па) кон-
центрация молекул идеального газа
5
25
0
23
10
2,69 10
273 1,38 10
p
n
kT
м-3. Т.к. среднее число
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
33
столкновений в единицу времени
2
0
отн
z n d v
, а относитель-
ная скорость
3
0
8,31 273
4 4 4 642,5
3,14 28 10
отн
kT RT
v
mM
м/с, то
25 20 6
2,69 10 3,14 9,61 10 642,5 8,1 10z
(с-1).
1.3.2. Задания для аудиторного и
самостоятельного выполнения
1.1. Установить связь меду коэффициентами теплопро-
водности и электропроводности.
Ответ:
2
k
T
e
.
1.2. Получить соотношение, связывающее подвижность
носителей заряда
v
u
E
с коэффициентом диффузии (соот-
ношение Эйнштейна).
Ответ:
kT
Du
q
.
1.3. Найти зависимость числа столкновений одной мо-
лекулы с остальными в единицу времени от давления р, рассматривая молекулы как твердые шарики радиусом r.
Ответ:
2
16z r p
mkT
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
34
1.4. Определить среднюю длину свободного пробега
молекулы кислорода при давлении 1 атм и температуре
273 К. Диаметр молекулы кислорода 2,910
-10
м.
Ответ:
5
10
см.
1.5. При каком давлении средняя длина свободного пробе-
га молекул азота будет равна 2 мм?
Ответ:
2
2,3 10p
мм.рт.ст.
1.6. Зная вязкость кислорода при нормальных условиях
(
4
1,9 10
Пуаз), оценить диаметр молекулы кислорода.
Ответ:
5
0,88 10d
см.
1.7. Зная, что при 0оС коэффициент внутреннего трения
для азота равен 16,810-5 г/(смс), найти значение средней длины
свободного пробега.
Ответ:
5
0,88 10
см.
1.8. Идеальный газ сжимают адиабатно. Найти зависи-
мость средней длины свободного пробега и среднее число
столкновений за 1 с от давления.
Ответ:
1/
p
, z
( 1)/2
p
.
1.9. Зная для азота значение постоянной Сезерленда
102,7X
К, найти отношение длин свободного пробега при
100 оС и при 0 оС.
Ответ:
(100)
1,075
(0)
.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
35
Методические рекомендации: при проведении аудитор-
ных занятий рекомендуется рассмотреть примеры 1–2 и выполнить задания 1.1–1.3.
Вопросы к теоретическому материалу раздела 1.
1. Неравновесные системы. Релаксация, время релаксации.
2. Термодинамические силы и потоки.
3. Локальное равновесие, термодинамическое тождество в
локально равновесной подсистеме.
4. Уравнение баланса.
5. Явления переноса.
6. Поперечное сечение столкновений, число столкновений,
среднее время свободного пробега и средняя длина свободного
пробега в элементарной молекулярно-кинетической теории.
7. Элементарная теория явлений переноса – теплопровод-
ность, диффузия, вязкость и электропроводность.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
36
2. ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ
2.1. Задачи физической кинетики
Как и в классической физике равновесных состояний,
изучение неравновесных систем возможно уже рассмотренными в разделе 1 методами феноменологическими неравновесной термодинамики, так и с помощью модельных представлений статистической физики неравновесных состояний.
Такая статистическая теория неравновесных состояний и необратимых процессов называется физической кинетикой.
Так же, как и в статистической физике равновесных состояний, в физической кинетике внутренние локальные параметры системы, зависящие от координат и, а общем случае,
от времени, определяются с помощью функции распределения частиц по возможным состояниям. Однако в этом случае
функция распределения вероятностей зависит от обобщен-
ных координат
i
q
, обобщенных импульсов
i
p
и от
времени t:
( , , )dW w p q t dpdq
. (2.1)
Здесь под p и q понимается совокупность всех
i
p
и
i
q
.
Следует отметить, что в равновесной статистике зависимость фазовой функции распределения от времени отсутствует, а зависимость от обобщенных координат появляется
лишь при наличии внешних полей.
Т.к. обобщенные координаты любой неравновесной системы, вне зависимости от природы неравновесного процесса, зависят от времени, то основная задача физической кинетики сводится к построению уравнения, определяющего зави-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
37
симость функции распределения от времени. В силу многообразия причин, приводящих к необратимым процессам, такая задача не имеет общего решения. Однако в некоторых
частных случаях поставленная задача может быть решена. К
таким случаям относятся неравновесные процессы, протекающие в одноатомном идеальном газе (системе невзаимодействующих частиц с тремя степенями свободы).
2.2. Кинетическое уравнение Больцмана1
2.2.1. Общий вид кинетического уравнения Больцмана
Для идеального одноатомного газа уравнение (2.1) может быть записано в виде:
( , , )dN f r v t drdv
, (2.2)
где
dN
– число частиц, находящихся в объеме
dr dV dxdydz
, определяемом координатами от
,,x y z
до
, , x dx y dy z dz
, проекции скоростей которых лежат в
интервалах от
,,
x y z
v v v
до
,,
x x y y z z
v dv v dv v dv
()
x y z
dv dv dv dxdydz dv
и
( , , )f r v t
– функция распределения
числа частиц по состояниям (плотность числа частиц как
функция их координат, проекций скоростей и времени).
Число частиц dN, размеры которых много меньше расстояний между ними, можно рассматривать как число фазовых точек в элементарном шестимерном фазовом объеме одной частицы
1
Больцман Людвиг (1844-1906) – австрийский физик, основоположник
молекулярно-кинетической теории вещества
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
38
3
1
ii
i
dg drdv dx dx
.
Это число точек с течением времени изменяется за счет
хаотического движения частиц и их столкновений, причем
при столкновениях частиц их координаты не меняются
(столкновение происходит в одной общей точке физического
пространства), но меняются их скорости. Следовательно, фазовые точки могут как входить в рассматриваемый фазовый
объем, так и выходить из него, т.е. можно говорить о наличии
источников (стоках) фазовых точек в этом объеме. Тогда,
обобщая теорему Гаусса (1.5) и уравнение баланса (1.6) на
шестимерное фазовое пространство, можно записать:
33
11
( ) ( )
ii
ii
ii
fx fx
f
t x x
. (2.3)
Но
33
11
()
grad
i
i
ii
ii
fx
f
x v f
xx
,
а
33
11
()
i
i
ii
ii
fx
ff
xv
x x v
.
В последнем соотношении величина
f
v
представляет
собой градиент плотности фазовых точек в пространстве проекций скоростей.
Таким образом,
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
39
grad
ff
v f v
tv
. (2.4)
В выражении (2.4) второе слагаемое его левой части
связано с неравномерностью распределения плотности частиц
в физическом объеме; третье слагаемое связано с ускоренным
движением частиц между столкновениями в результате силового воздействия со стороны внешних полей. Величина
представляет собой количество частиц, возникающих (исчезающих) в данной области фазового объема в единицу времени за счет скачкообразных переходов изображающих точек из
рассматриваемого объема в другие и наоборот. Если число
частиц, входящих в фазовый объем dg в единицу времени
обозначить как a, а выходящих как b, то
ab
, и кине-
тическое уравнение Больцмана в общем виде представляется
так:
grad
ff
v f v a b
tv
. (2.5)
Величина
()ab
называется интегралом столкновений.
2.2.2. Интеграл столкновений
Рассмотрим механизм столкновений частиц-молекул,
рассматривая их в виде твердых шариков диаметром d и считая столкновения упругими.
Пусть частица из фазового объема dg, движущаяся со
скоростью v, сталкивается с частицей из
1
dg
, скорость кото-
рой до столкновения была равной
1
v
. В результате столкно-
вения частицы выходят из своих первоначальных фазовых
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Часть 3.
Термодинамика и статистическая физика
неравновесных состояний
40
объемов и переходят в объемы
dg
и
1
dg
; их скорости стано-
вятся равными
v
и
1
v
. Такие переходы, происходящие в одной точке физического пространства, будем формально обозначать символом
11
,,v v v v
.
Как известно из классической механики (Приложение
1), задача нахождения
v
и
1
v
достаточно просто решается в
системе отсчета, связанной с центром масс, если рассматривать движение налетающей частицы на неподвижную мишень. При выборе лабораторной системы отсчета, связанной
с частицей, движущейся со скоростью v (v-частицей), эту
частицу можно рассматривать как мишень, а
1
v
-частицу,
движущуюся с относительной скоростью
1
u v v
– как
налетающую. В системе центра масс результатом упругого
столкновения частиц является лишь изменение направления
относительной скорости, т.е.
uu
, причем
u u u
.
Схематически этот процесс представлен на рис.2.1.
Из этого рисунка видно, что столкновения
11
,,v v v v
и
11
,,v v v v
симметричны. Поэтому до-
статочно рассматривать лишь одну пару частиц. Угол
– угол рассеяния в С-системе, а
()
– прицельный
параметр, т.е. расстояние, на котором частицы с приведенной
массой
2
m
прошла бы мимо силового центра, если бы си-
ловое воздействие отсутствовало.
При падении на v-частицу пучка
1
v
-частиц с плотно-
стью потока
1 1 1
f v v f u
, где
1 1 1
,,f f v r t
– плотность фа-
зовых
1
v
-точек, не все частицы потока испытывают столкно-
вения с v-частицей. Вероятность столкновения в единицу
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]