Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Часть 1. Учебное пособие для вузов
.pdf
1,0,15,0,1,1
=∆=∆=
=
yxy
x
11,0
=
∆
x
02,0
−=∆
y
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ez=
xyxz
sin
⋅
=
(
)
x
u
x
01,0,5,2
=∆=
=
yyx
(
)
016
,0,2,
1
=∆=
=
xyx
ez=
dz
(
)
(
)
(
)
§ 5. Дифференциал функции нескольких переменных.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
9.77.
Найти частные дифференциалы первого порядка и полный диффе
ренциал для функций
x
z =
1)
;
2)
y
4)
9.78. Для
при
9.79. Для
при
9.80. Для
9.81. С
ln
функции
функции
функции
помощью дифференциала найти приближенное значение приращения
функции в точке
1
)
2)
M
1
9.82. С
помощью дифференциала найти приближенное значение числового
22
;
5)
yxz +=
:
22
2011
−+=
22
532
−+=
96,2;02,9
.
:
3
yxz +=
.
ln
.
yx
найти значение полного дифференциала
.
; yxM
000
, ,
xyyxz
xyyxz
M
при
0
yx
;
3)
yz
;
=
2
yxz ⋅=
переходе
6)
вычислить частный дифференциал
вычислить частный дифференциал
если
1;11
от
точки
yz
xu +++−=
,
к
M
0
;
-
zyx
.
zd
y
zd
x
при
;
3;9
точке
выражения
96,3
1)
4)
7)
08,1
99,1
3
10)
:
;
2)
;
02,304,1
+
22
106,197,4 ++
03,5
;
33
96,103,5
+
;
8)
11)
5) 2
arcctg
98,3
03,198,3 ⋅
2
03,111,0ln +
01,5
98,4
;
33
;
;
12)
3)
07,194,2994,22
⋅⋅+⋅
;
6)
03,2
9)
015,02
805,0sin e+
98,302,3 +
2
;
22
;
;
33
705,103,2
++
23
1
5
103,295,2
++
.
9.83.
.
10смH
=
.
5смR
=
.
6дмa
=
.
8дмb
=
.
4
см
.
1
см
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
(
)
a
(
)
−
{
}
=
(
)
+
=
(
)
−
{
}
−−=
x
(
)
{
}
−
=
Высота конуса
,
радиус основания
Как изменится
объём конуса при увеличении высоты на
на
2 мм?
9.84. Одна
нится диагональ прямоугольника, если
тить на
сторона прямоугольника
?
a
§ 6. Градиент функции многих переменных.
Производная функции по направлению
9.85. Для
.
Вектор
2;1
9.86.
Для функции
функции
zgrad
2
построить
4
132
−+⋅−= yyxxz
.
22
построить линию уровня и градиент в
yxz −−=
2 мм. и
,
уменьшить на
найти проекции градиента в точке
уменьшении радиуса
другая
.
, а b
Как изме
укоро
-
-
точке
9.87.
в точке
9.88.
9.89.
правлении
9.90. Найти
9.91. Для
водную по направлению вектора
.
Для функции
Для функции
Найти производную функции
1;3N
2;1A
=
и
в
2;1A
l 60cos;60cos;45cos= .
направлении, идущем от этой точки к точке
функции
найти модуль градиента
производную
в
4
22
yxz+
функции
yxfz ;
построить линию уровня, градиент функции
.
222
найти
zyxu ++=
в
ooo
в
точке
:
и .
; yxM
u
grad
222
zyxu ++=
000
точке
.
найти градиент и произ
ugrad
в на-
223
5;6M
1;1;1A
133
+⋅+⋅−= yxyxxz
точке
-
1) , ,
2) , ,
2
yxz
23
+−=
yxz 23ln
M
M
0
0
3;1
2;1
y
z arctg=
3) , ,
M
1;1
0
;
a
a
a
8;6
;
4;3
;
12;5
4) , ,
(
)
⋅⋅=
+
(
)
−
{
}
=
(
)
{
}
−
=
{
}
−
=
(
)
{
}
−
=
(
)
(
)
{
}
−
=
⋅
(
)
{
}
−−=
(
)
(
)
(
)
−
=
(
)
(
)
⋅
=
(
)
(
)
(
)
e
z
(
)
(
)
(
)
x
z
(
)
zyzxu
cos
sin
⋅−⋅
=
9
22
yx
+
M
0
2;1
z
yx
=
;
a
2;1
5) , ,
6) ,
7)
8) , ,
9) , , .
2
cos
⋅=
π
sin
ln
=
z
9.92. Найти
точке
:
33
yxyxz ⋅+⋅=
yxz
yxz
, ,
2
yxz +=
yx
122++
yx
производную по направлению наибыстрейшего роста функции в
, yxM
000
M
M
M
M
M
3;1
0
π
0
0
0
0
,
;1
2
1;1
4;3
1;0
a
a
a
a
a
;
1;2
;
12;5
;
1;1
;
8;6
1;1
1
=
1) ,
22
yxz+
M
0
;
2) ,
1;1
yxz 45ln
M
;
1;2
0
3) ,
arctg
yxz
x
z arcsin=
5) ,
y
9.93. Найти
1) в
9.94. Каково
ции
?
9.95. Найти
9.96. Найти
наибольшую крутизну подъёма поверхности
22
4ln
yxz +=
направление наибольшего изменения в начале координат функ
точку, в которой градиент функции
производную функции
M
0
M
0
точке
;
4)
1;1
;
6) ,
2;1
; 2) в
100ln;4;6
3
=
7yxz +=
22
yx
+
y
=
в
u++=
1
222
zyx
,
:
точке
+=
xz1ln
;
M
M
.
1;1
0
.
1;2
0
4;2;2
y
равен
.
−
направлении её
-
16
ji
градиента
.
§ 7. Касательная плоскость и нормальная прямая
9.97.
(
)
−
(
)
(
)
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
(
)
=
(
)
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
(
)
e
z
(
)
(
)
Составить уравнение касательной плоскости к поверхности
,
заданной
уравнением
1) ,
3) ,
5)
7) ,
9.98.
C
уравнением
1) ,
(
22
ln
22
yxz +=
24
2
222
08
=−++ zyx
xxyyxxz +−+=
0,,=zyxF
M
,
M
0
M
или
) в
; 2)
3;2;1
;
0
0;0;1
0
2;0;1
01864
=−−+−++ zyxzyx
оставить уравнение нормальной прямой к поверхности
(
032=−+ zy
zyxF
или
0,,
M
) в
0
2;1;2
yxfz ;
точке
4) ,
;
6)
M
0
yxfz
;
;
2) ,
2;2;1
точке
:
0
222
2
.
13
++= yxz
0522=−+ yx
:
0
21 yxz ++=
,
1
−=−+ zyx
M
,
22
M
0
zyxM ,,
M
M
zyxM ,,
0
,
0
0
3;1;1
заданной
4;1;1
;
3;2;2
;
;
4;2;1
;
3) ,
5) ,
7) ,
222
105
=++ zyx
222
632
=+− zyx
222
M
M
0
0
;
4) ,
2;1;1
;
6) ,
1;1;1
016232
=+−++−+ xzyzyxzyx
M
3 yxyxz +−=
0
22
−+= yxz
.
3;2;1
M
6
0
34
M
0
;
1;1;2
;
9;2;1
§ 8. Экстремумы функции многих переменных. Наибольшее и
наименьшее значения функции в замкнутой области
В задачах
9.99. . 9.100. .
9.101. . 9.102. .
9.99
−−−−
9.112 найти
22
22
−−−−= yyxz
+++= xyxz
экстремумы функции
484
123
:
=
22
127
yx
−−
22
2442
++−+= xyyxz
9.103. . 9.104. .
9.105. . 9.106. .
4
xyyxyxz 222−−+−= yxyxyz 62+−−=
22
yxyxz −−−=
y
2
2
xyez
+=
≤
≤
≤
≥
≤
≤
≤
≤
≥
≤
≤
≤
≤
(
)
=
D
yxxy
z
++−
=
3
yxxyz2
3
−−=
9.107. . 9.108. .
9.109. . 9.110. .
9.111. . 9.112. .
22
22
3 yyxxz +⋅−=
33
2069
+−+−−= yxxyyxz xxyyxz
yxyxz
21622099
++−−=
22
61
+−−−=
33
186
++⋅−= yyxxz
52 yxyxxz ++⋅+=
2223
В задачах
функции
9.113.
,
9.114.
9.115.
9.116.
,
,
9.113
в
2
−+= xxyz
−−−−
yxfz ,
,
2
22
22
+−+=
9.121 найти
наибольшее и наименьшее значения
замкнутой области
22
yyxxyz
844
−−+=
xyxxyz
42
yxyxxyz
44996
++−−=
D
D
D
D
:
:
:
:
:xyy
,10
x
≤≤
.20
y
,0
y
−−≥
−≥
.44
.2
2
xy
,0
x
≥
,2
xy
≤
.2
y
,0
x
≤
,0
9.117.
9.118.
9.119.
9.120.
9.121.
,
,
53
5.0
xxyz +−=
22
yxxyz ++−=
2
,
,
2
,
yxxxyz −−+= 3
Ответы
D
D
D
D
D
:
:
:xyy
:
:
,10
x
≤≤
.10
y
,8
y
2
≥
x
≤
≥
.2
xy
,0
,4
.
,40
x
≤≤
.40
y
,20
x
≤≤
.30
y
1.4.
12=x
=
α
2
sin
(
)
(
)
(
)
−
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
(
)
−
−
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
(
)
−
=
(
)
4
(
)
−
−
=−=
−
−
−
−
−
(
)
−
(
)
(
)
(
)
−
3−≠
a
3
3
(
)
5 и 8.
1.6.
4 и 7.
1.8.
Глава 1
14
103
.
1.9. . 1.13. .
−847
0
6
3717
−− 1619
009
1.16. .
1.32. Нет
1.37.
1.59. 1)
9)
1.73. . 1.75. . 1.78. . 1.79.
1.81.
1.85.
1.89.
1.94.
14
−1 и 6.
−
1.19.
решений
122
− 226
1316
36
0;1;1
0;1;2
. 1.86.
1;0;0
. 1.90.
2;0;1
. 1.95.
.
1.33.
1.41. −2. 1.43.
;
. 1.62. 2. 1.63. 2. 1.64. 2. 1.66. 3. 1.68. 2. 1.69. 2.
75,1;1;75,1
. 1.82.
4)
0;2;3
0250
.
4900
2
x ;
1
− 22
0;1;1
1;0;1
. 1.87.
. 1.91.
2;1;1
1.22. . 1.30.
55
;
0;1;2
. 1.96.
−
−
3
=x
5)
0;0;1
0;2;3
;
. 1.46. .
. 1.92.
2
. 1.83.
3
2;1;1
131014
02510
53013
3
−=x
. 1.36.
35
;
8)
50
2;0;2
. 1.80.
1;1;0
. 1.84.
1.88.
1;0;0
. 1.93.
1;1;0
. 1.97.
29 и 0.
xx
.
2,10
21
45
;
64
1;2;1
.
1;2;2
.
3;2;1
.
1;1;2
.
2;0;1
.
1.98.
Несовместная.
1.110.
1.112. .
2;2;1
. 1.99.
1.103.
1;1;1
. 1.111.
0;0;0
1) ; 2) ; 3) .
5
3
1.113.
2
+=
zx
3
7
+−=
zy
3
1;1;1
. 1.100.
,
1.104. Несовместная. 1.108. .
5
.
3
=.2,
xx
31
−=
1.114.
xx
32
1
,3 ≠−= ba
,12zyzx
1.101.
+=
.1
,3 =−= ba
1
−=
xx
2
1
−=
3;2
1
,
31
.
xx
32
4
1
=
,
2
α
=
2
323
323
2=x
1
=
y
1
−=z
13
5
25
7
7
7
7
7
7
2
3
,
4
α
=
1
β
−
=
CB45=∠=∠
{
}
−
21
=
3±=
z
(
)
{
}
)
⊥
)
(
)
(
)
(
)
−
2
322
c
a
b
a
b
3−=
(
)
(
)
(
)
−
2
5
3
3
=
c
b
3
6
=
S
k
2
−
2
=
S
222=
S
5,24=S
ik2
−
ca×
2
ca×
{
}
−
−
{
}
{
}
2
−=
5
,
xx
31
4
+=
xxx
432
1.115.
+−=
,
=
x
3
xxx
412
.0
1.116.
Глава 2
7
a
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.5. Да
2.8.
4
AKALBC
−=
,
4
1;1;4
ALAKDC
−=
.
2.9.
117.
.
.
2.6.
,
,
xx
41
=
,
xx
,
42
−=
.
xx
43
1
β
.
−=
.
12
2.10.
α
cos =
. 2.13.
ba2
,
kjir −+= 23
β
cos −=
. 2.15. ,
3
γ
cos =
2.20.
вектор
.
2.16.
1)
Линейно
6
независимые;
неколлинеарен
2.22. . 2.23.
. 2.27. . 2.28.
M
2
2.31.
0;1
o
α
=
.135
2.32.
cos,7 ==r
и
3
,
α
cos −=
2
,
γ
16
β
cos =
.
2.11. . 2.12. ;
3
,
γ
cos =
2;2;2
6
.
2.14. ,
2
α
kjiu 362 +−=
. 2.17. . 2.18. 7. 2.19. .
6;5;9
cos,7 ==u
,
cos−=
a
2)
коллинеарным
15=F
c
. 2.25. . 2.26. и
1) −6; 2) 9
o
. 2.33.
b
+=
;
векторам
3)
Линейно зависимые, но
;
3) 13
−200
и
0;1;0M
;
. 2.34.
. 2.21. 22.
M
4) −61.
arccos
1
β
19
0;7
1
2.30. 0.
5
133
ba
3;3;23 −M
6
,
.
43
( )
2.35.
arccos
. 2.36. 2. 2.37. , .
cos =ma
1325
3
2.38. . 2.39. . 2.40. . 2.41. , .
ba =
−
α
3
±=
5
( )
cos
72
24
=aпр
b
a
2
−=na
7
64
=bпр
3
2.42. . 2.43. . 2.45. −7. 2.46.
пр
+
; 2) ,
2.49. . 2.50.
2.51.
φsin =
2.54. . 2.55. . 2.57. ; .
5
a
;
3) ,
,21=S 2,4=h
175
. 2.52. , . 2.53. .
;0
0;24;45
1) ; 2) ; 3) ; 4) 2
4
3
;
5
−
5
1;5;7
. 2.48. .
kji 646 +−
4
3
−
;
;0
5
5
3;2;1
. 2.47.
1) ,
j6−
.
173=c
=S
8;24;6
173
2.58. . 2.59.
{
}
−
3
3
3
14=V
3
(
)
(
)
ba+
3
5,12
=
V
3
6
−
+
−
yx21
2
0882=++z
02732=−−zx
3
5,1=S
{
}
{
}
−−−
,
51
=
V
bac
+=5
(
)
(
)
−
14
22
=
V
7
01234,
0
=+−
=
yxy
034,4
=−=
yxy
0
=
x
063
2
=+−
y
x
(
)
−
073
2
=−+
yx042
3
=−−
y
x
0336
7
=++
yx0332
5
=−−
yx0114
=−+
yx0183
2
=−−
y
x
0122
7
=−−
yx0285
=−+
yx0113
4
=−+
yx0
2
=++
y
x
0132
3
=−+
yx034
=−+
yx035
2
=+−
yx0265
2
=−−
y
x
0333
7
=−−
y
x
(
)
−
−
(
)
−
02811
=−−
y
x
0
8
=−+
y
x
(
)
−
(
)
−
−
3≠a
2,3
≠
=
b
a
2,3
=
=
b
a
7−=
a
0122
3
=−−
y
x
0248
3
=+−
y
x
03913
74
=++
y
x
0
7
=−−
y
x
(
)
(
)
−
(
)
−
0
5
=++
+
zyx088221
2
=++
−
zyx
0143
2
=−+
−
zyx01623
2
=++
−
zyx
023
5
=+−
zyx02
3
=+−
−
zyx
212
=h
5
,
6=S
== dd
21
. 2.60. . 2.61. 30.
13
390
ba
,
γcos =
левая. 2.69.
11
2.67. 15,
.
390
accb −−+
=
4;9;8
,
.
2.62. . 2.63. 16. 2.64. . 2.65. .
2.66.
α
cos −=
36=S
2
,
28;4;20
,
cos =
=h
11;13;10
,
αcos −=
2
β
,
cos =
37
10
390
,
βcos =
1
.
γ
2.68. тройка
. 2.71. . 2.72.
1
α
2.73.
и
=
. 2.74. 24. 2.75.
. 2.79. 1)
0;7;0
−−−−7.
2.76.
11.
2.77.
192,132,17
;
2)
;
3)
. 2.78.
arccos(φ −=
0;8;0
5
;
221
33
4) , 5)
.
Глава 3
3.6. , , , .
3.7. ; ; . 3.8. ; ;
пр
y
10=AB
. 3.10. . 3.12.
8=AB
пр
x
AB
8=
пр
y
5;3
6=AB
1)
;
54=AB
2)
пр
x
AB
4=
.
3.13. ; ; . 3.14. ;
; . 3.15. ; ;
. 3.16. . 3.17. ; ;
3)
. 3.19. . 3.20. . 3.21. ;
. 3.22. . 3.23. . 3.25.
. 3.26. . 3.27. . 3.28. ;
. 3.29. . 3.30. . 3.35. .
S =
1;2
5;12
2
5
ед
1;3
S =
S =
11;11
1)
2
6
ед
2
6
ед
;
2)
;
yx
3.36. . 3.37. ; ; . 3.39.
0;0;12
0;8;0
6;0;0
++
z
+
12=
. 3.40. . 3.41. ;
. 3.43. . 3.45. .
3.46. . 3.47.
. 3.48. .
05432
=−+
+
zyx
−
3
532
+
+
=
=
+
=
+
=
+=−
712
4
+
=
=
60
135
=
+
−
6
553
+
+
0167
4
=++
+
zyx
0
=−−
zyx02
=++
zyx
083
3
=−+
+
zyx05
7
=−−
zyx
(
)
−
073
2
=+−
zy0
2
=−−
y
x
0332=+−zx
043
=
+
z
y
023=−zx
0
2
=
+
y
x
03=−z
0
2
=
+
y
05=+x
3
=
d
25
5
2
=
d
4
=
d2=
d
5,3=d
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
1
131
−
−
−
533
2
+
−
−
132
52−
+==−
030
1
+==−
131
02−
+==−
331
1
+
−
−
21322
−=+=−
83010
+=+=−
55432
+
−=−
11242
+=−=−
31210
−
+
01031
+=−
21
26
3=l
63322
+
−=−
01432
=−−
−
zyx
01=++zx3−=m
2−=
c
052
=++
−
zyx01158
=−+
−
zyx
122
=−+
zyx
(
)
−
(
)
(
)
−
3.49. . 3.50. . 3.51. .
3.52. . 3.54. . 3.55.
3.56. .
3.58.
2)
1)
;
3.61. . 3.62.
2;2;1
3)
3.57.
;
1)
1) ; 2)
2)
. 3.60.
1)
;
2)
;
3)
;
2)
. 3.59.
29
;
=d
3)
. 3.63. и .
;
3)
=d
1)
14
;
4)
0;7;0
.
;
.
0;5;0
.
4
6;0;0
13
2
=
zyx
;
1
zyx
=
2
5) ;
=
zyx
;
3 )
0;0;2
2)
zyx
=
2
−
,2
x
,42
tx
−=
,1
3.72.
−=
.38
tz
1
−=
,33
ty
+=
tz
3.74.
.1
zyx
1)
=
−
zyx
4)
3.64. и . 3.65. и
2;0;0
4
3.67. . 3.69. 1) ;
2
=
zyx
3) ;
zy
=
=
.
3.70.
1)
−
,2
3.71.
1)
3.76. . 3.77. . 3.78.
tx
+−=
,12
ty
3)
+=
.1
tz
2
zyx
y
=
−
−
z
=
;
2)
=
−
zyx
=
;
3)
=
zyx
. 3.79.
1)
11
43
0;0;
.
zyx
;
2x
6)
=
zyx
.
,45
tx
−−=
,711
z
ty
−=
.2
2 yx
=
,1
tx
−=
,7
ty
tz
−−=
.219
,
2)
3.89. . 3.90. . 3.94.
=
−
tx
+−=
,53
ty
+−=
tz
3.83.
.45
o
. 3.84.
1
zyx
=
−
3
zy
=
. 3.97. . 3.98. . 3.103. .
o
. 3.85. . 3.87. .
z
4
±
,023
yx
arccos
3.96
=
.4
11
2x
=
−
3.104. . 3.105. . 3.106. .
3.107. . 3.108.
1)
;
2;5;5
2)
;
3)
5;4;6
.
6;3;2
3. 110. . 3.111. . 3.112.
=−+
−
(
)
(
)
5
9
4
3
3
5
4
3
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
052
=−+
zyx
(
)
−
114
5
+
−
032
=++
zyx
(
)
−
−
051111413
=++
−
zyx09138
=+−
−
zyx
()(
)
()(
)
()(
)
(
)
3
=
+
y
x
4
25
49
4
25
169
25
9
16
9
921692
92792
3
4
5
4
3
41
(
)
−
(
)
8
18
5
4
4
9
9
16
(
)
(
)
(
)
48
16
18
18
2
2
2
4
7;4;1
4;2;3
3.113. . 3.114. . 3.115. . 3.116. .
3.117. . 3.118. . 3.119. .
2;3;2
1
zyx
2;3;2
==
zyx
zyx
,032
=−++
.05
1;3;1
5;3;2
−
3.120. . 3.121. . 3.122.
2) 3
;
3) 7.
1) 13;
Глава 4
4.2. ; . 4.4 .
4.6. . 4.7. . 4.9. . 4.10.
512=++ y
. 4.11.
22
111
=−+− yx
22
=+
2
. 4.12.
1
0822=−+ yyx
yx
22
2555
=−+− yx
2
93
=+− yx
22
yx
. 4.13. .
1
=+
22
2514
=+++ yx
+−24x
22
yx
1
=+
22
yx
1
4.14. . 4.15. . 4.16. .
− yx
4.18. . 4.19. и .
4.20. . 4.21. . 4.23. . 4.25. . 4.26. ;
24
3
4.31.
4.39. . 4.40. . 4.41. .
4.43. . 4.44. ; ; . 4.45. .
1
;
3
=+
22
)3(
+
22
yx
1
=+
; . 4.27. . 4.30.
−
22
xy
1
=−
22
yx
1
=−
22
yx
1
=−
)4(
+
=
1
10
1
24
3
. 4.34. . 4.35. . 4.37. .
;
3
22
yx
1
=−
0;0
22
yx
1
=+
7
22
yx
=+
2
22
yx
1
=−
32;6
22
yx
1
=+
16
1
2
363
=+− yx
122=−
yx
32;6 −
x
22
yx
1
=+
22
yx
1
=+
1;0
2
y
2
yx
yx
22
yx
.
1
=−
22
1
=−
22
1
=−
1
=−
22
yx
1
4.46. . 4.47. . 4.48. . 4.49. .
4.53. . 4.54. 12. 4.56. . 4.58.
4.60.
40
см. 4.61. 3 м. 4.62. . 4.63. .
=−
2
xy =
25
( ) ( )
2
;
2
x
xy −=
2
642
−=− xy
8
−=p
. 4.59.
2
( ) ( )
7
−=− yx
xy 32−=
м.
184
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]