Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Часть 1. Учебное пособие для вузов
.pdf
1
2
x
1
x
2
−=x
(
)
−
=
(
)
<
′′>′>
>′′<′
>
<′′<′
>
>′′>′
<
2
()()(
)
>
′′=′=−=
()()(
)
<
′
′=′
=
=
()()()()(
)
<
+
′
′
>
−
′
′=′
′=′
=
=
()()()()(
)
<+′′<−′′=′′=′==
5
()()(
)
>′′=′−=
=
2
3
(
)
<−′
′
(
)
0
>
+
′
′
()()(
)
=+′−=−′==
(
)
>−′
′
(
)
<+′
′
2
4
−
6.255. . 6.256. . 6.257. .
=
y
x
y
−
2
x
=
y
+
4
x
3
6.258. . 6.259. . 6.260. .
В задачах
что в интервале
6.261. . 6.262. .
6.263. . 6.264. .
В задачах
рестности заданной точки
1ln
xy
6.261−6.264
:
6.265−6.273
ba
;
yyy 0,0,0
yyy 0,0,0
выяснить вид графика функции, если известно
0,0,0
0,0,0
построить фрагмент графика функции в ок
:
x
0
x
ey1−=
yyy
yyy
x
xey =
1
( ) ( ) ( )
6.265. .
==
′
,3,2
=
6.266. .
6.267. .
6.268.
6.269. .
′′
xyxyxyx
xyxyxyx
0,
>
0000
xyxyxyx
0000
0,0,2,1
0000
0,3,1,2
xyxyxyxyxyx
000000
xyxyxyxyxyx
000000
00,00,0,0,4,3
.
00,00,0,0,4,4
3
6.270. .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
′
,2,4
−== xyxyxyxyxyx
=
′′
=
′′
<−
′′
000000
00,00,0,
>+
,
-
6.271. .
xyxyxyx
1
( ) ( ) ( )
6.272. ,
.
xy
00
== xyxyxyx
′
0,4,3
=−
′
6.273. ,
.
xy
0
00
0,2,4,2
0000
3
0,
0000
xyxyxyx
0000
,
−=+
,10,10,3,2
xy
0
xy
0
00
00
В задачах
ного графика производной функции
6.274
−−−−
6.283
по графику функции построить эскиз возмож
:
6.274.
-
6.275.
6.276.
6.277.
6.278.
6.279.
6.280.
6.281.
6.282.
(
)
(
)
125
()(
)
4
12xy−
1
x
x
2
−
x
1
2
x
1
x
4
−=x
41x
−
−
x
6.283.
В задачах
6.284. . 6.285. . 6.286. .
6.287. . 6.288. . 6.289. .
6.290. . 6.291. . 6.292. .
6.293. . 6.294. . 6.295. .
6.296. . 6.297. . 6.298. .
=xy
=
=
y
y
6.284−6.309
3 xxy −= 3224+−= xxy
4
3
2
−
3
2
2
3
5
−
2
4
x
3
x
исследовать функции и построить их графики
2
21
−⋅+= xxy
2
x
=
y
3
xy −=
xy +=
+
2
4
−
=
x
y
y+=
−
x
y
=
2
y +=
x
2
2 xxy −⋅=
4
x
4
2
2
x
3
14
4
:
6.299. . 6.300. . 6.301. .
12x
−
(
)
xxy
ln
⋅
=
x
1ln−=x
x
−
x
x
e
(
)
−
[
]
−
(
)
21x
[
]
[
]
−
[
]
−
[
]
−
[
]
−
(
)
+−=
a
a
1
3
2
xxy 23
+=
3
3
3xxy −=
xy−−=11
y
x
6.302. . 6.303. . 6.304. .
6.305. . 6.306. . 6.307. .
6.308. . 6.309. . 6.310. .
6.311. . 6.312. . 6.313. .
6.314. . 6.315. . 6.316. .
6.317. . 6.318. . 6.319. .
=
2
+
2
4ln xy −=
xyln
=
x
exy ⋅=
2
=
xxy+
x
2
4+=
xxy2
y
yx=
x
e
3
exy−=
x
xy =
2
1 xxy −⋅=
x
yx=
3
3
1 xy −=
3
xxy
ln⋅=
xyln1
=
e
2
2
x
−
2
exy
⋅=
x
ey
−= 1ln
§ 6. Наименьшее и наибольшее значения
В задачах
функций на заданных отрезках
=
6.320. , . 6.321. , .
y
6.322. , . 6.323. , .
6.324. , . 6.325. , .
=
6.326. , . 6.327. , .
6.328.
Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника
кругом. Периметр сечения
ния будет наибольшей
6.329.
Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены
6.320−6.327
2
xx
( )
11−
x
( )
1 xxy ⋅+=
2
xxy ln
найти наибольшее и наименьшее значения
:
++
3;1
2
;
π
;0
3
18 м.
0;2
ee
При каком радиусе полукруга площадь сече
2
3
2
2
xxy
tgtg2 −=
xy−
=
=
3
2
xxy −+= 2
2
2
xxey−
1
1ln
xxy
,
завершенного полу
− 2;
2
3;25,0
0;4
2;2
?
так, чтобы с трёх сторон она была огорожена проволочной сеткой, а
четвертая примыкала к стене. Для этого имеется
погонных метров сетки
.
При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую
площадь
6.330.
повесить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была
?
На какой высоте над центром круглого стола радиуса
следует
-
-
наибольшая
k
t
2
49
1=k
36
2=k
18
−
x
(
)
x
−
x
+
(
)
x
(
)
+dxx
27
+dxxx1
? (
Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения
лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника
света
6.331.
данной полной поверхности
6.332.
объёмом
6.333.
.)
Найти такой цилиндр, который бы имел наибольший объём при
S.
Найти размеры цилиндрической закрытой цистерны с заданным
V и с
В прямоугольном листе картона длиной
наименьшей полной поверхностью
48 см. и
.
шириной
30 см.
вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части
склеивается открытая прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона
вырезаемых квадратов, чтобы объём коробки был наибольшим
6.334.
b
метров. Суда какой максимальной длины могут входить в этот канал
К реке шириной
а
метров построен под прямым углом канал шириной
?
?
t
6.335.
При подготовке к экзамену студент за
t
дней изучает
часть
+
курса, а забывает
чтобы была изучена максимальная часть курса
1
=
k
1) ,
=a
at-ю
2
;
2) ,
часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку
:
1
=a
;
3) ,
1
=a
.
,
Глава 7
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Непосредственное интегрирование
В задачах
x23
7.1. . 7.2. . 7.3. .
∫
x24
7.4. . 7.5. . 7.6. .
7.7. . 7.8. . 7.9. .
∫
x∫−31
1
7.10. . 7.11. . 7.12. .
∫
7.1
dx
dx
x
dx
2
+
x
2
( )
+⋅
xx
1
dx
−−−−
7.24
вычислить интегралы
2
2
+
x
1
∫
∫
x
−
1
∫
x
dx
3
11
− dx
4
3
x
2
x
dx
1
∫
2
x
1
3
3
2
dx
2
2
4
−
x
2
+
x
21
( )
+⋅
xx
1
2
xx
dx
dx
22
∫
∫
∫
∫
x
sin
−dxx
7
5
x
4
x
92x
⋅dxx
x
sin
cos
10
x
2
(
)
(
)
4
51x
x
2
(
)
−
(
)
x
1
x
(
)
xdx3
2
−dxxx3
x
−
2
3
+
xx1
2
x
+
1
x
+
1
−
x
x
x
xdxln
−
+dxe
1
e
9
7.13. . 7.14. . 7.15.
∫
2
dx
1
7.16. . 7.17. . 7.18. .
∫
dx
∫
∫
2
−
x
2cos
22
dx
∫
tg
∫
2
+
xdx
2
−
x
−
e
+
3
+
cos
23
xex
2
dx
x
7.19. . 7.20.
∫
ctg
2
xdx
2
x∫+
3sin
dx
2
. 7.21. .
x
e
1
∫
xx
+
7.22. . 7.23. . 7.24. .
xx
dxe
3
∫
∫
52
dx
x
x
∫
1
7.25.
7.26.
Найти
Будет ли функция
?
12sin+x
Пусть
.
F
xF
2
( )
++− x
первообразной
212cos
первообразная для функции
для
функции
и .
2
−−
( )
1π=F
dx
§ 2. Интегрирование путём подведения под знак дифференциала и
методом подстановки
В задачах
7.27. . 7.28. . 7.29. .
7.30. . 7.31. . 7.32. .
7.33. . 7.34. . 7.35. .
7.36. . 7.37. . 7.38. .
∫
∫
∫
2
∫
7
.27−7.65
2
+11
xd
2
+
+ dxx32
вычислить интегралы
2
xdx
∫
2
+
∫
+732
∫
∫
dxx
dxx
+553
+
3
x
∫
x
32
dx
+
x
∫
2
dx
4
+
1
∫
1
dx
∫
+
x
31
dx
+
2
x
dx
3
+
x
dx
56
2
+−
xx
2532
dx
∫
x3
∫
e
∫
x
7.39. . 7.40. . 7.41. .
7.42. . 7.43. . 7.44. .
7.45. . 7.46. . 7.47. .
∫
∫
x
e
∫
x
xx ln
dx
dxe
x
∫
∫
∫
x
ln
dx
x
dxe
x
e
dx
x
2
−
(
)
⋅
(
)
−
⋅
(
)
x
x
cos
+
x
cos
x
cos
x
sin
x
cos
x
sin
+dxx
1
+
++2
22x
x
−
−234x
x
⋅
(
)
⋅
+
e
(
)
−
x
sindxx
cosdxx
⋅
sin
⋅
x
cos
x
x
x
1
x
x
1
−
7.48. . 7.49. . 7.50. .
7.51. . 7.52. . 7.53. .
7.54.
∫
∫
∫
arctg
7.57. . 7. 58. . 7.59. .
∫
dx
2
x
2sin
dx
2
2
−⋅
1sin
2
x
2
dxxx
. 7.55. . 7.56. .
∫
∫
3
∫
3
∫
dx
sin
7.60. . 7.61. . 7.62. .
∫
∫
−⋅221arccos xx
dx
7.63. . 7.64. . 7.65. .
∫
∫
sin1
2
x
cos
2
x
tg
2
arcsin
−dxx
1
arcsin3
−
1
dx
x
dx
2
x
dx
dx
x
2
−−221 xx
x
sin
5
ctg
⋅cos
⋅ xdxx 2sincos
x
2
∫
∫
∫
dxxe
dx
dx
∫
( )
xx
dx
∫
dx
2
+−
324 x
dx
∫
4 xx
2
+
§ 3. Интегрирование по частям
В задачах
7.66.
∫
x
7.69. . 7.70. . 7.71. .
7.72. . 7.73. . 7.74. .
7.75. . 7.76. . 7.77.
7.78. . 7.79. . 7.80.
7.81. . 7.82. . 7.83. .
∫
x
∫
∫
∫
∫
dx
x
2
sin
xln
2
dx
7.66
−−−−
7.92
dxxx sin
. 7.67. . 7.68.
вычислить интегралы
dxxx
∫
3
∫
2cos
x2
⋅− dxex
x
dx
∫
2
xx
dx
xdxarcsin
ln
∫
ln
∫
arcsin
∫
dxx
x
dx
3
x
dx
∫
∫
∫
∫
∫
∫
⋅ dxxx2
cos
2
arctg
xx
2
xdx
+⋅
+
.
dxxx
3sin65
dxxx 1ln
.
dxxx
1ln
.
7.84. . 7.85. . 7.86. .
xdxx∫arcctg
∫
arctg
x
dx
arcsin
∫
x
dx
−
7.87. . 7.88. . 7.89. .
7.90. . 7.91. . 7.92. .
2
∫
∫
xdxx sin
2
⋅ dxxx2
2
dxx
ln dxex
∫
x
∫
dxxe
sin dxxe
x
2
⋅
∫
x
cos
∫
7.93.
()(
)
−
(
)
xxln
(
)
(
)
+
x
2
x
3
x
−
2
(
)
−
(
)
−
++2
x
x
−−2322x
x
x
x
−
−
x
x
x
x
+
x
x
−
x
x
+
x
x
−
13x
−
13x
x
−−1
−
xxx
2
xxx
xx4
4
⋅
⋅
2
3
x
sin
xxcos
2
2
Вычислить разность
,
12 FF
если
−
xF
первообразная для
функции
7.94.
функции
.
Вычислить разность
.
xx 3cos6
π
( )
,
2
π
−
FF
3
если
−
xF
первообразная для
§ 4. Интегрирование рациональных функций
В задачах
7.95. . 7.96. . 7.97. .
7.98. . 7.99. . 7.100. .
∫
∫
( )( )
7.101. . 7.102. . 7.103. .
7.104. . 7.105. . 7.106. .
7.107. . 7.108. . 7.109. .
7.110. . 7.111. . 7.112. .
7.113. . 7.114. . 7.115. .
∫
x
∫
3
x
∫
∫
x
∫
7
x
dx
+
dx
72
2
3
−
1
dx
3
+
1
dx
3
dx
2
( )
+⋅ 1
xx
2
dx
4
.95−7.115
++ 32 xx
dxx
вычислить интегралы
2
x
∫
dx
−
dx
∫
( )( )
−+ 321 xx
dxx
∫
dx
∫
∫
( )
2
4
dx
2
+⋅
1xx
xx
++
1
dx
−
∫
x
2
∫
23
dx
++
4
x
∫
dx
2
dxx
∫
( ) ( )
2
∫
∫
3
x
2
3
+
dx
−⋅−
324xx
xx
−+
323
dx
x241
∫
dx
−
dxx
∫
2
+
4
∫
234
dx
+++
§ 5. Интегрирование тригонометрических функций
В задачах
7.116
−−−−
7.133
вычислить интегралы
.
xx
⋅ dx
7.116. . 7.117. . 7.118. .
∫
dxxx 7sin3sin
∫
dxxx 6cos2sin
∫
cos
cos
7.119. . 7.120. . 7.121. .
7.122. . 7.123. . 7.124. .
7.125. . 7.126. . 7.127. .
∫
∫
∫
sin
cos
tg
3
3
2
4
dxx
x
dx
xdx
∫
∫
∫
cos
sin
sin
5
dxx
3
dx
x
2
dx
∫
ctg
∫
∫
cos
3
xdx
2
⋅ dxxx32cossin
x
dx
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]