Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Часть 1. Учебное пособие для вузов
.pdf
=−+
(
)
(
)
(
)
0
=−+
zyx
(
)
−
0233
2
=−+
−
zyx
(
)
−
3
211
+=−
0
5
=−+
+
zyx
(
)
=+−
−
,
P
(
)
−
023
=−+
zyx
−
=
12143
−=−=−
11211
+=+=+
−
=
(
)
−
3
211
−=+
(
)
−
=−+
−
(
)
−
−
431613
+=−=−
431313
+=−=−
3)
прямой
3.109. Прямая
yx
yz
проходит через точки
,012
с
плоскостью
−−=
33
и
4;0;0A
.
4;0;0A
.
Найти точку
0;2;2B
пересечения этой прямой с плоскостью
3.110. Найти
3.111. Найти
3.112. Составить
проекцию точки
проекцию точки
уравнение проекции прямой
M
M
.
3.113. Найти
мой
3.114. Найти
скости
3.115. Показать
точку
zyx
zyx
точку
,
что прямые
M,
симметричную точке
,0124
.
=+−+
.0322
симметричную точке
.
zx
ся
, и
написать уравнение плоскости
, в
3
3.116. Показать
ся, и найти точку их пересечения
3.117. Написать
,
что прямые
.
уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
на
1;2;5
плоскость
и
угол между ними
3;1;2
на
прямую
1
Q
2
=
относительно пря
6;1;4N
относительно пло
4;3;1
zyx
и
+=
12,2zy
которой они расположены
и
+=
zyx
=
,3
tx
−=
,75
ty
+=
.22
tz
zyx
на плоскость
пересекают
,43zyzx
пересекают
2
.
.
-
-
-
.
-
1;0;1
1
на прямую
3.118. Составить
перпендикулярно к прямой
M
3.119. Найти
1;2;1
проекцию точки
=
уравнение
через параллельные прямые
3.120. Составить
уравнение
zyx
.
−
плоскости
плоскости
M
5
,
проходящей
на
2;4;3
zyx
и
−
,
проходящей
zyx
zyx
=+−+
плоскость
2
через
,032
.02
через
,
проходящую
zyx
−
прямую
точку
.
+=
=−+
−
22322
−
+=−
052
3
=−−
+
zyx
234437−
+=+=+
12456
−
+=−
−
=
21253
−=+=+
(
)
−
x
y
−
=
(
)
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
,13
tx
+=
ty
−−=
tz
параллельно прямой
,32
,2
3.121. Составить
уравнение плоскости
zyx
zyx
,
проходящей через прямую
,032
=−−+
.052
1
zyx
=
−
3.122. Вычислить
щих трёх случаев
1)
,42
tx
+−=
,4
2)
ty
и
−−=
12
tz
5
3)
перпендикулярно к плоскости
расстояние между двумя прямыми в каждом из следую
:
zyx
и
zyx
и
−
21
zyx
=
−
−=
,54
tx
+−=
,53
ty
+−=
;55
tz
+=
,96
tx
−=
tz
,2
ty
+−=
.2
−
;
.
-
Глава 4
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1 Окружность
4.1.
Дана точка
рой служит отрезок
4.2. Написать
дящей через точку
4.3.
Составить уравнение окружности, зная, что точки
являются концами одного из её диаметров
4.4.
Написать уравнение окружности, проходящей через точки
и .
2;0B
4.5.
Определить область расположения кривой
A
уравнение окружности, касающейся осей координат и прохо
C
6;4
.
OA.
.
1;1
1;2A
Написать уравнение окружности, диаметром кото
.
.
-
-
и
2;3A
xxy 42−−−=
B
,
Построить
A
6;1
3;1
кривую
4.6.
окружности
.
Написать уравнение окружности, проходящей через точки пересечения
с
22
=−++ yxyx
044
прямой
и
через точку
.
4;4A
012
4
=++
−
y
x
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
OY
OX
(
)
(
)
A
012
=−−
y
x
(
)
13
82=⋅c
(
)
(
)
−
4.7.
Составить уравнение окружности, зная, что она касается оси
в
нача
-
ле координат и пересекает ось
4.8.
Построить кривые
1) , 2) , 3) ,
4)
4.9.
22
Показать
0422=++ yyx 068
,
что точка
, и
полам
4.10.
мой
.
Написать уравнения окружностей радиуса
:
=−+−+ yxyx 0542
, 5) , 6) .
написать уравнение хорды, делящейся в точке
в точке
в
0364
22
0;3A
.
точке
22
.
0;6
=+−+ yxyx
=++−+ yxyx 0822=−+ xyx
лежит внутри окружности
,
1;3M
касающихся пря
5=R
22
022
=+−+ xyx
−+22yx
по-
§ 2 Эллипс
4.11. Пользуясь
известно, что точки
большой оси равна
4.12. Пользуясь
известно, что точки
большой оси равна
4.13. Составить
симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны
пяти и двум
4.14. Составить
симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны
семи и двум
4.15.
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс
определением эллипса, составить его уравнение, если
F
1
0;2
и
F
0;2
2
являются фокусами эллипса, а длина
6.
определением эллипса, составить его уравнение, если
F
1
1;0
и
F
1;0
2
являются фокусами эллипса, а длина
4.
уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс
.
уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат
.
симметрично относительно начала координат, зная, что его малая ось равна
12
=
10, а
эксцентриситет
ε
.
-
4.16.
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат
симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось
равна
4.17.
2)
4.18. Эллипс
параллельны координатным осям
10, а
Дан эллипс
фокусы
.
4;0
расстояние между фокусами
.
; 3)
эксцентриситет
касается оси абсцисс в точке
22
225259
=+ yx
.
.
Построить его и найти
и
0;3
оси ординат в точке
: 1)
его полуоси
Написать уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии
.
;
(
)
4
−
(
)
(
)
0
4
=
−
y
M
(
)
9=x
16
25
16
25
4
3
3
7
4.19.
Эллипс с центром в начале координат и симметричный относительно
осей координат, проходит через точку
3
.
Составить уравнение эллипса
=
ε
4.20.
Составить уравнение эллипса, если точки
ются его фокусами, а длина большой оси равна
4.21.
Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между фокусами равно
и
.
2;2M
F )0;1(2F
1
4.
расстоянию между концами большой и малой полуосей
4.22.
Написать простейшее уравнение эллипса, у которого расстояния от од
ного из фокусов до концов большой оси равны
4.23.
Определить траекторию точек
в два раза меньше расстояний до прямой
1;0A
4.24.
Определить траекторию точки
ётся втрое ближе к точке
4.25.
Найти расстояние от левого фокуса эллипса
,
0;1A
,
,
чем к прямой
5 и 1.
расстояния которых до точки
yxM ;
.
которая при своем движении оста
.
до
имеет эксцентриситет
и
)0;1(
явля
.
-
22
yx
1
=+
центра
-
-
окружности
4.26.
Найти общие точки эллипса
.
через фокусы эллипса и имеющей центр в его «верхней» вершине
4.27.
Написать уравнение окружности, центр которой находится в правом
фокусе эллипса
фокусами этого эллипса
4.28.
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями
1) , 2) , 3) ,
3
16
1
49
4) .
−=
4.29. Построить
1) , 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
22
22
22
yx
1
, а
=+
.
2
xy −=
2
yx
Кривые построить.
кривые
:
15522=+ yx 1259
=++−+ yxyx 0284100322516
084
=+−+ yxyx
и
22
=+ yx
окружности, проходящей
44
.
радиус окружности равен расстоянию между
5
2
9
xy
−−=
2
2
9
yx
−−=
22
=+ yx 252522=+ yx
09183095
22
=−−++ yxyx
:
§ 3 Гипербола
4.30. Пользуясь
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
(
)
4
16
(
)
3
2
=
ε
4,1
=
ε
16
9
OX
(
)
−
3
16
25
9
25
известно, что точки
определением гиперболы, составить её уравнение, если
F
1
длина большой оси равна
4.31. Пользуясь
известно, что точки
определением гиперболы, составить её уравнение, если
F
1
длина большой оси равна
4.32.
Построить гиперболу
0;2
и
F
0;2
2
2.
3;0
и
F
3;0
2
4.
.
22
144916
=− yx
являются фокусами гиперболы, а
являются фокусами гиперболы, а
Найти
: 1)
действительную и
мнимую полуоси
асимптот
4.33.
.
Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет гиперболы
22
yx
1
=−
.
4.34. Составить
; 2)
координаты фокусов
уравнение гиперболы, проходящей через точку
; 3)
если асимптоты гиперболы имеют уравнения
4.35.
Эксцентриситет гиперболы
проходящей через точку
4.36. Действительная
полуось гиперболы равна
Найти уравнение гиперболы
4.37.
Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние
между фокусами равно
4.38.
Найти эксцентриситет гиперболы
14, а
.
.
.
2;3M
расстояние между вершинами равно
.
эксцентриситет
; 4)
уравнения
,
8;9M
22
.
±=
xy
Составить уравнение гиперболы
5,
эксцентриситет
22
yx
1
=−
.
12.
,
4.39.
Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат
на оси
M
4.40.
симметрично относительно начала координат, если дана точка
гиперболы и уравнения асимптот
1;5,4
Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса
.
вить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет
4.41. Составить
фокусах эллипса
4.42. Определить
уравнение гиперболы, вершины которой находятся в
22
yx
1
, а
область расположения кривых и построить их
=+
фокусы
– в
вершинах данного эллипса
2
xy
±=
ε=1,5.
22
.
yx
1
=+
:
Соста
.
-
3
3
5
M
(
)
−
2−=
x
x
y
±
=
28
64
OX
(
)
−
−
015=
+
x
OY
(
)
−
0123
5
=+−
y
x
2
2
9
−=
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
4.43. Написать
xy
каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния от
одной из ее вершин до фокусов равны
2
13
+−= xy
9 и 1.
4
2
9
+−=
yx
2
2
25
+=
yx
4.44. Найти
точки пересечения асимптот гиперболы
с ок-
12322=− yx
ружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей че
рез начало координат
4.45. Определить
вдвое дальше от точки
4.46. Найти
каноническое уравнение гиперболы
являются прямые
22
yx
1
=+
.
4.47. Найти
расстояния от центра окружности
асимптот гиперболы
4.48. Найти
эксцентриситет равнобочной гиперболы
.
траекторию точки
,
F
, а
.
0;8
фокусы совпадают с фокусами эллипса
922=− yx
,
которая движется так, что остается
чем от прямой
.
,
асимптотами которой
до
22
046
=+−+ yxyx
.
§ 4 Парабола
-
4.49. Составить
уравнение параболы, симметричной относительно оси
вершиной в начале координат и проходящей через точку
4.50. Составить
ло координат, если ее директриса имеет уравнение
4.51. Найти
2
−=
.
xy 12
4.52. Найти
построить кривую
4.53. Составить
каноническое уравнение параболы, проходящей через нача
.
координаты фокуса и уравнение директрисы параболы
вершину, фокус и директрису параболы
и
.
уравнение параболы, симметричной относительно оси
вершиной в начале координат и проходящей через точку
4.54. Через
фокус параболы
её оси. Найти длину хорды
4.55. Составить
уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус
которой находится в точке пересечения прямой
2
=
проведена хорда, перпендикулярная к
xy 12
.
с
.
A
.
A
3;3
2
4;2
осью
, с
582
−+−= xxy
, с
:
-
1)
ординат
; 2)
абсцисс
.
4.56. Составить
(
)
2=y
4−=
x
4
5,0
O
OX
75,0
O
(
)
05=
−
x
(
)
0
1
=
+
y
x
y
=
и от
0;2F
уравнение множества точек, одинаково удалённых от точки
прямой
.
Найти точки пересечения этой кривой с осями
координат и построить её
4.57.
Составить уравнение множества точек, одинаково удалённых от начала
координат и от прямой
ми координат и построить её
4.58. Камень
упал на расстоянии
,
брошенный под углом к горизонту, описал дугу параболы и
16 м. от
.
.
.
начального положения. Определить параметр
Найти точки пересечения этой кривой с ося
параболической траектории, зная, что наибольшая высота, достигнутая
камнем, равна
4.59. Камень
16 м.
Описав параболическую траекторию, он упал в
бросания. На какой высоте находился камень на расстоянии
бросания
4.60. Зеркальная
вокруг её оси симметрии. Диаметр зеркала
?
12 м.
,
брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты
48 м. от
6 м от
поверхность прожектора образована вращением параболы
80 см, а
глубина его
10 см. На
точки
точки
каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света
если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть в фокусе
параболы
4.61. Струя
м от
?
воды фонтана достигает наибольшей высоты м на расстоянии
вертикали, проходящей через точку
выхода струи. Найти высоту
-
,
струи над горизонталью
4.62. Составить
риса
.
4.63. Составить
директриса
4.64. Написать
уравнение параболы, если даны её фокус
уравнение параболы, если даны её фокус
.
уравнение параболы и её директрисы, если парабола прохо
дит через точки пересечения прямой
на
расстоянии
и
м от
окружности
точки
.
и
2;7F
и
директ
3;4F
0622=++ xyx
и
симметрична относительно оси абсцисс. Построить прямую, окружность и
параболу
4.65. Написать
отсекаемый на оси абсцисс параболой
4.66.
4.67. Написать
2
.
уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок
.
Составить уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы
и
касающейся ее директрисы
xy 62−=
уравнение окружности с центром в фокусе параболы
и радиусом, равным фокусному расстоянию гиперболы
−=
xy 4
22
.
6397
=− yx
.
23 xxy −−=
2
Построить обе кривые
-
-
,
.
4.68. Построить
x
y
=
OY
0
=
+
y
x
OX
043
2
=+−
−
yxyx
432
=−+
yxyx
023
3
=−−
+
yxyx
координат
1) ; 2) ; 3) ; 4)
:
93 xy −= xy 392−= xy += 4
4.69. Установить
построить эти кривые
кривые, найдя дополнительные точки пересечения с осями
2
,
какие линии определяются следующими уравненими и
2
:
.
yx 242+=
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) ; 9)
4.70.
4.71. Написать
дит через точки пересечения прямой
симметрична относительно оси
болу
.
4.72. Написать
дит через точки пересечения прямой
и симметрична относительно оси
раболу
xy 2= xy −= xy 23 −−= xy 2−=
yx −= 4 yx 262 −−= 534 ++−= yx
yx 3−=
.
143 −−= xy
Составить уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы
и
касающейся ее директрисы
xy 62−=
уравнение параболы и ее директрисы, если парабола прохо
уравнение параболы и ее директрисы, если парабола прохо
.
.
.
и
окружности
и
Построить окружность, прямую и пара
и
окружности
Построить окружность, прямую и па
0422=++ yyx
.
§ 5. Приведение кривых второго порядка
к каноническому виду
В задачах
4.73
−−−−
4.103
построить кривые. Там, где необходимо
преобразовать уравнения кривых параллельным переносом осей координат
Построить новые и старые оси координат
4.73. . 4.74. .
4.75. . 4.76. .
4.77. . 4.78. .
4.79. . 4.80. .
2
22
2434
22
22
06034
=+− yx 01284
0842
=+++ xyx
01198
=+− yx 026102
4.81. . 4.82. .
.
22
2
22
2
076
=−−+ yyx
=−++ yxx
=++++ yxyx
032
=++ yxx
4.83. . 4.84. .
4.85. . 4.86. .
2
22
023
=++ xyx 0242
01052
=−++ yxx 02103
22
22
=−−− yyx
=++ yx
-
-
-
0422=++ yyx
-
,
.
4.87. . 4.88. .
022=+−− yxx
4.89. . 4.90. .
2=x
4φcos
ρ
=
φ
sin
8
ρ
=
)φcos
(sin
φ6ρ
−
=
φ
)
cosφ(sin
2
ρ
+
=
φ
)
sin1(
2
ρ
+
=
φ
)
sin1(
3
ρ
−
=
325,0
−=−
xyxy
033
2
=−+
−
yxyx
4
=
+
y
x
3
=
y
4
9
4.91. . 4.92. .
2
22
yxy
023
=++
xyx
0722
=+−−
4.93. . 4.94. .
4.95. . 4.96. .
4.97. . 4.98. .
4.99. . 4.100. .
2
4.101. . 4.102. .
4.103. .
2
В задачах
22
04
=− yx
01628
=+−− yxx 0862
22
=+−− yxy
4.104
−−−−
4.107 преобразовать
0642
=++−+ yxyx 414072436
01628
уравнения кривых поворотом
системы координат. Построить новые и старые оси координат и кривые
4.104. . 4.105. .
4.106. . 4.107.
0322=−+− yxyx 08323
22
024245
=−+− yxyx
22
yxy
22
053
=+ yx
2
2
22
=+− yxy
=++ yx
22
22
056
=++−
042
049
08190916
=+++ yyx
=−−+− yxyx
=−−+ yxyx
:
22
=−+− yxyx
22
yxyx
.
02516249
=−++
§ 6. Кривые в полярной системе координат
В задачах
уравнения линий и построить их
4.108. . 4.109. . 4.110. .
4.111.
4.114. . 4.115. . 4.116. .
В задачах
координатам и построить их
4.117.
4.108−4.116
преобразовать к полярным координатам
:
22
4
=+ yx
922=− yx
. 4.112. . 4.113. .
22
yx
1
0822=−+ yyx xy 42=
4.117−4.134
преобразовать уравнения линий к декартовым
=+
:
. 4.118.
.
4.119.
4.121.
4.123.
π
φsinρ =
+
4
. 4.120.
2
ρ =
. 4.122.
. 4.124.
3
.
φsin
.
.
0622=−+ xyx
4.125.
φ
2
cos
4
ρ
=
φ
2
sin
4
ρ
=
φ
3
sin
4
ρ
=
φ
)
cos1(
2
ρ
+
=
φ
)
cos1(
2
ρ
−
=
φ
sin
2
ρ
−
=
φ
3
cos
3
ρ
=
cosφ4
ρ
=
2
=
−
x
xy
3
x
zzx
2
422−
=
4925
41636
92536
4.127.
4.129.
4.131.
4.133.
φcos4ρ2=
. 4.126.
. 4.128.
. 4.132.
π
φsinρ =
+
2
. 4.130.
. 4.134.
2
.
.
.
.
.
§ 7. Поверхности второго порядка
В задачах
4.135. . 4.136. . 4.137. .
4.138. . 4.139. . 4.140. .
4.141. . 4.142. . 4.143. .
4.144. . 4.145. . 4.146. .
4.135−4.161
1 xy −=
2
1 yx −=
назвать и построить поверхности
zzy 22−=
2
2
9 yz +−= xy 2−=
xxy 22−−=
4
1−=+
zzy 322−=+
y
:
xy −−= 9
2
9 yz +−=
2
783
−=+ xyx
4.147. . 4.148. . 4.149. .
4.150. . 4.151. . 4.152. .
4.153. . 4.154. . 4.155. .
4.156. . 4.157. .
4.158. . 4.159. .
4.160. . 4.161. .
В задачах
поверхностями
:
22
yx
4.162.
=
.0
z
22
53 yxz +=− 0422=++ zyx 03694
22
0936
=−− zyx
222
36432
=−− zyx 036494
222
zyx
222
zyx
4.162
=−+
01
=−−+
0
−−−−
4.182
построить тело, ограниченное следующими
=+
,1
=
=++
,3
zyx
4.163.
y
=
z
22
1243
=+ yz
32 zyx +=+
22
53 yxz +=−
2
−=
,4
yz
2
x
,
4.164.
2
.0
2 yyz +=
222
222
02
=+++ zyyx
22
=
=
z
22
22
zyx
=−+ xzy
222
0
=+−
=++− zyx
22
=+
yx
2
yz
,16
,2
.0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]