Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Часть 1. Учебное пособие для вузов
.pdf
4.165.
=
=
+
(
)
4.168.
4.171.
4.174.
4.177.
4.180.
2
−=
,4
xz
=+
,44
yx
=
,0
x
=
,0
y
=
.0
z
=
y
=
z
4.166.
,2
xy
22
zx
=+
,1
94
4.169.
,0
.0
z
,6
yx
=
,3
xy
4.172.
=
,4
yz
=
.0
z
2
=
,
yx
−=
,1
xz
=
.0
z
4.175.
x
z
=
,
yz
=
,3
x
z
xy
4.178.
=
,2
=
.0
2
+=
,4
yx
=
,3
x
z
zy
4.181.
=
,6
=
.0
z
y
=
x
z
2
y
=
,
2
=+
yx
=
,0
x
=
,0
y
=
.0
z
2
=
,
xy
+=
,1232
4.167.
22
,
yxz
4.170.
=
,1
y
=
.0
z
22
+=
,
yxz
=+
yx
=
,0
x
=
,0
y
=
.0
z
x
2
=
y
,
2
=
.0
z
22
++=
yxz
,124
,3
zyx
=++
,1
424
22
−−=
,4
yxz
=
,
xy
−=
,
xy
=
,1
=
.0
z
4.173.
zyx
=++
,1
848
2
=
,
xy
=
.0
4.176.
y
y
z
=
,
xy
=
,2
xy
4.179
=+
,1
zx
=
.0
22
+=
,2
yxz
x
z
=+
,2
xy
=
,0
y
=
,0
x
=
.0
z
2
−=
xz
,1
x
=
,
2
=
,0
=
.0
−=
=+
xy
=
,
xy
=
,0
=
.0
−=
2
,4
yz
,2
2
,4
xz
=+
,2
xy
=
,0
4.182.
,0
=
.0
=+
,2
xy
=
,2
xy
=
,0
x
=
.0
z
()(
)
2
3
+
−=x
x
x
xy−
(
)
(
)
1
+
x
(
)
x
2
cos
−
(
)
+
=
xyln
arcsin
=
2
−
24
10
+
−
−
x
x
x
(
)
(
)
3
x
−−=
21+=x
5.1.
В задачах
9xy−=
Глава 5
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Общие свойства функций
5.1
−−−−
5.20
найти область определения функций
2
. 5.2. . 5.3. .
3
2
4xy−=
:
1
y
2
1
5.4. . 5.5. . 5.6. .
=
3
1
5.7. . 5.8. . 5.9. .
=
xy −= 1
2
44log
xxy
2
−−=
y
xxy+
x
5.10. . 5.11. . 5.12. .
xxy
−+−= 64lg
=
y
3
y +=
sin
1
2
2
arcsin321
−−−−
5.26
++
165lg1lg
+−−=
xxy
. 5.17. . 5.18. .
13
x
найти, при каких целых
y
arccos
= x
5.13. . 5.14. . 5.15. .
y
( )
1lg
−
x
5.16.
+−=
5.19. . 5.20. .
В задачах
xy
5.21
x
−= 1
2
=
arccos
y
5
ln +−
= x
y
определены функции
x
2
1
=
xxy−
1ln
x
=
−
1
3
sin
x
x
1arctg
xy
−
21
x
4
4
5
:
x
xy
5.21. . 5.22. .
5.23. . 5.24. .
+−=
x
+
2
5ln216 −⋅−=
xxy
5,0
x
−−
162
xy
−+=
93
1026log
−−−+= xxy
4
5.25. . 5.26. .
=
y
В задачах
5.27.
5.30. . 5.31. . 5.32. .
34
−
xy
22
2
−+
xx
5.27
−−−−
5.37
найти множество значений функций
. 5.28. . 5.29. .
32
2
xxy
−+=
5xy−=
44
y
2
xxy
++=
12
=
( )
3
2
2
−+
xx
2log
−
x
:
y
62−−= xxy
[
]
∈
+
2
(
)
−
=
xysin42
−
=
−
=
−−=
(
)
x
2
−
2
−
1
−
a
11−
a
x
−
1
(
)
=
+
()(
)
=
+
()(
)
=
−
xy2
sin
=
3
2
xxy
cos
sin
+
=
xy4
tg
=
5
=
xxy3cos2sin
+
=
3
xy2
cos
lg
=
(
)
0
>
ε
ε
=
−
()(
)
=
−
xy3=xy3
2
−
=
(
)
≥
(
)
≤
(
)
≥
x
−
5.33. . 5.34. . 5. 35. .
2−+=xxy
124
=24
=
5.36. . 5.37.
y
Определить, какие из функций
или функциями общего вида
2
5.38. . 5.39. . 5.40. .
5.41. . 5.42. . 5.43. .
5.44. . 5.45. . 5.46. .
5.47. . 5.48. . 5.49. .
y
=
y
=
3
xxy ⋅=
2
2
x
1
3
ee
+
xxxy cos
⋅+=
xx
:
x
5.50. . 5.51. . 5.52. .
5.53.
=
y
x
Какова будет функция
,
5.38
2
+=
xy 41
−
y
=
x
+
a
=
y
x
xf
если она определена на всей числовой
xxy+−
2
−−−−
5.52 будут
xxy 3cos
4
23
3ln
+⋅= xxy
xx
ee
xy
2
xx
,3;02
(
∈−+
xxx
чётными, нечётными
]
.8;31610
2
xy
sin
y
=
⋅+=
x
2
7xexy +=
x
y
1
=
ln
+
3log
xxxy 2sin
оси и для любых
няется равенство
В задачах
ции
:
5.54. . 5.55. . 5.56. .
и ,
x
1
: 1) ; 2) ?
5.54
−−−−
5.65 найти
удовлетворяющих условию
x 0
2
xfxf
0
21
наименьший положительный период функ
,
xfxf
21
x
cos
y =
xx
21
0
выпол
3
xy
sin=
2
5.57. . 5.58. . 5.59. .
5.60. . 5.61. . 5.62. .
xy 2cos
=
2
xy 3cos
ctg=
xy
4
sin xy
3
−= 2
5
5.63. . 5.64. 5.65. .
5.66.
Функция
xf
определена на всей числовой прямой. Что можно
сказать об этой функции, если для любых
,
что из условия
В задачах
5.67
−−−−
5.81 найти
xx
12
функцию, обратную данной
sin +=
x
и
будет следовать, что
xxy 2tg
x
1
найдется такое число
2
?
xfxf
21
0
:
-
-
5.67.
. 5.68. . 5.69. .
42−= xy
0
x
3
y
5.70. . 5.71. . 5.72. .
xxy 42−=
2
x
542+−= xxy
2
x
=
5.73. . 5.74. . 5.75. .
4π4
2
+
=
xy3
cos
4
=
x
2
(
)
≤
(
)
++=
2
12+
xy2
sin
3
=
=
−
=1+
=
++=
x
=
(
)
++=
x
x
−
x
+
x
12+=x
1
+
x
−
xysin
=
xy2
sin=xysin
1
+
=
=
=
3
y−=
1
3
2
xy =
0
x
3
4+= xy
5.76. . 5.77. . 5.78. .
5.79. . 5.80. ,
y
=
В задачах
5.82.
5.85. . 5.86. . 5.87. .
5.88. . 5.89. . 5.90. .
5.91. . 5.92. . 5.93. .
5.94. . 5.95. . 5.96. .
3
xy =
x
x
5.82
−−−−
5.126 построить
2
. 5.83. . 5.84. .
xy =
122++= xxy
4 xxy −= 132
2
xy −= 1−= xy 21 +−= xy
xy
2
5+=xy
π
графики функций
2
2xy −=
23 xxy −−= xxy −=22
2
xy 12
≤≤− x
. 5.81. .
y
:
1 xy −=
2
−+= xxy xy =
4log2
xy
3
2log
x
2
xy
x
5.97. . 5.98. . 5.99. .
y =
xxy
xxy
2
5.100. . 5.101. . 5.102. .
21 −−= xy
xy1
5.103. . 5.104. . 5.105. .
5.106. . 5.107. . 5.108. .
=
32
x
=
y
+
5.109. . 5.110. . 5.111. .
y 2=
5.112. . 5.113. . 5.114. .
5.115. . 5.116. . 5.117. .
x
1
−
1
=xy
3
=xay
2
y2=
y−=
y2=
y−= 2
y 21−=
x
1
x
x
1
4+=xy
x
y
=
y
y
y22−=
=
21−=x
x
2
xey−
x
3
sin2
5.118. . 5.119.
5.121. . 5.122.
xy sin
y =
. 5.120. .
. 5.123. .
xxy sinsin
−=2sinπxy
x
cos
5.124. . 5.125. . 5.126.
xy sin
y =
.
§ 2. Числовые последовательности и их пределы
В задачах
8
4
2
8
4
2
⋯
,6,4,
2
⋯
,4,3,2,
1
−
−
4
3
2
!
5
!
3
4
3
2
{
}
4
3
2
,...1,1,1,
1
−
−
,...9,7,5,
3
27
9
3
16
9
4
8
4
2
5
4
3
2
10
5
2
4
3
3
2
2
11⋅⋅⋅
,...4ln,3ln,2ln
!
7
!
5
!
3
!
6
!
4
!
2
1,1,1,1
−
−
1
sin2sin3sin
2
ln
3
ln
4
ln
27
9
3
8
4
2
13
9
5
4
3
2
3
3
2
2
4
3
2
⋅⋅⋅
,3,3,2,2,1,
1
4
ln
3
ln
2
ln
!
8
!
5
!
2
3
2
1
тельности
1
5.127. 5.128. 5.129.
,
1
5.130. 5.131. 5.132.
,
1
5.133. 5.134. 5.135.
5.136. 5.137.
1
5.139. 5.140. 5.141. .
выяснить
,
В задачах
,
5.127
по
a
n
1
1
1
,
,...
,
1
,
2
1
,...
3
,
,
−− ,...
1
,
5.142
−−−−
5.141 записать
вид общего члена
виду её первых трёх членов
1
1
4
,...
,...
sin
1
3
−−−−
5.150 записать
1
,1 ,...
1
,
π
,
,
,
1
1
,
π
sin,
2
5
sin,
,
общий член последовательностей и
последова
a
n
:
,...
3
,
,
7
5
1
,
π
⋯
,
5.138.
32
3
,...
7
tg
1
π
3
,
,
π
tg,
tg,
5
⋅⋅⋅
,
какие из данных ниже последовательностей являются
1
,...
π
⋯
,
ограниченными снизу, ограниченными сверху, просто ограниченными или
неограниченными
5.142.
:
5.143.
5.144.
1
,
⋯
,
,
3
2
-
5.145.
5.148.
последовательностей
убывающими, невозрастающими
5.151. 5.152. 5.153.
… 5.
3
2
1
,
,
В задачах
...,
5.149.
5.151
146.
, , ,… 5.
4
,2
−−−−
5.159 определить
являются
:
4
3
2
...,
,
,
,1 ...,
1
,
6
⋯
,
,
5.150.
возрастающими
3
2
,
147.
, , ,…
1
1
1
,
,
,
какие из данных ниже
,
неубывающими
1
1
1
,
,1,1
,
,
⋅⋅⋅,
1
,...
5
4
3
,...
,
,
5.154. 5.155. 5.156.
5.157.
,2
cos
π
π
cos,
π
⋯
cos,
,
5.158. 5.159.
1
,
,
⋅⋅⋅,
1
1
1
,
4
2
,
,
1
1
,
,
…
8
⋅⋅⋅,
,
5.160.
∞→n
3
2
n
∞→n
16
9
4
1
4
+
n
∞→n
{
}
∞→n
(
)
()(
)
2
n
ln
2
n
n
n
+
(
)
n
(
)
1
+
n
n
n
n
2
100
+
n
n
(
)
+
+
n
(
)
(
)
−++
+
…
(
)
n
3
2
3
2
n
3
2
+
при
5.161.
при
5.162. Пользуясь
число
a
5.163. Существует
да, то найти его
1)
4)
стей
5.164. . 5.165. . 5.166. .
5.167. . 5.168. . 5.169. .
5.170. . 5.171. .
5.172. . 5.173. .
Пользуясь определением предела последовательности, показать, что
Пользуясь определением предела последовательности, показать, что
2 не
n
=
n
a 11 −+=
n
a
=
n
В задачах
:
последовательность
последовательность
определением предела последовательности
является пределом последовательности с общим членом
12
при
+
ли
),
где
:
n
; 2)
n
π
cos
; 5)
5.164
−−−−
n
lim
2
+∞→n
2
1
+
n
lim
n
2
∞→
3
2
+
nn
lim
1
+
n
∞→
!
n
lim
n−+∞→
( )
!!1
nn
1
1
1,
1,2
1
1
1
,
,
,1
1
1,,
+
⋯
,
имеет пределом число
.
предел последовательностей
n
n
121 +−= na
; 3)
1
a
1+=
n
5.194 вычислить
lim
.
n
пределы числовых последовательно
992
n
∞→
∞→nn
2
−+
1lim
1
2
⋯⋯
,
имеет пределом число
,
доказать
a
при
n
π
sin
na
n
⋅=
lim
lim
∞→
3
3
12
−+
nn
lim
2
+
∞→
n
!!2
nn
lim
( )
n
∞→
n
!3
+
1.
0.
,
что
(
если
n
;
n
1
−
n
2
+
n
∞→
23
nn
110
+−
2
-
1
lim
∞→
nn
nnn
−+∞←3
nn
32
−
∞→
1
nn
n
5
−
n
5.174. . 5.175. .
5.176. . 5.177. .
5.178. . 5.179. . 5.180. .
5.181.
lim
n
lim
n
lim
n
lim
n
∞→
∞→
∞→
( )
2
n
n
32
−
n
+
α3sin
n
α
0α →
n
n
+++⋅
…
21
n
1231
−
+
3
. 5.182.
n
lim
n
lim
n
lim
n−+∞→
lim
1
n
32
−
1
∞→
n
+
α
n
tg
2
. 5.183. .
α
0α →
n
3
2
lim
n
0ε>
(
)
<
0ε>
(
)
<
−
(
)
>
0ε>
0δ>
<
−
(
)
<
−
0ε>
0δ>
<−<
(
)
<
−
0δ>
<−<
M
N
x
>
(
)
>
N
x
Nx<
M
N
x
Nx>
(
)
<
N
x
>
0>M
N
x
Nx>
a
x
M
x
(
)
<
n
2
5.184. . 5.185. . 5.186. .
lim
n
∞→
5.187. . 5.188. . 5.189. .
lim
n
5.190. . 5.191. . 5.192. .
lim
n
∞→
5.193. . 5.194.
lim
n
∞→
+
1
n
n
n
n
+∞→2
n
n
2
12
−
n
12
+
3
+
n
12
−
n
12
+
n
lim
n
lim
n
lim
n
lim
n
−
1
∞→
n
+
n
∞→
n
n
∞→
1
⋅
∞→
n
1
n
4
n
3
2
1
12
−
n
lim
n
12
+
1
+
42
⋅
1
+
⋅
64
86
⋯
++
lim
n
lim
n
n
∞→
∞→
1
( )
−∞→2
n
n
n
n
n
nn
n
n
−
12
+
12
2
n
12
−
12
+
.
+⋅
222
§ 3. Функции непрерывного аргумента. Предел функции
в точке
Пусть функция определена на всей числовой прямой. Какому условию
она удовлетворяет, если
5.195.
Для любого числа
:
найдётся такое число
,
что для любого
,
удовлетворяющего условию
5.196.
Для любого числа
удовлетворяющего условию
5.197.
Для любого числа
удовлетворяющего условию
5.198.
Для любого числа
удовлетворяющего условию
?
ε
axf
5.199.
Для любого числа
удовлетворяющего условию
5.200.
Для любого числа
следует неравенство
δ
ax
,
,
,
,
,
Nx
выполняется неравенство
найдётся такое число
выполняется неравенство
найдётся такое число
выполняется неравенство
найдётся такое число
Nx
найдётся такое число
выполняется неравенство
выполняется неравенство
и
для любого числа
?
ε
Axf
,
,
,
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
вывод можно сделать, если
5.201.
из неравенства
5.202.
неравенства
Для любого числа
0
Для любого числа
0
ax
:
ax
следует неравенство
δ
существует
следует неравенство
δ
существует
?
такое, что для любого
такое, что для любого
?
что для любого
xf
что для любого
?
что для любого
,
что для любого
из
неравенства
.
?
ε
Axf
Mxf
Mxf
,
?
ε
,
Mxf
,
?
Mxf
Какой
из
,
0ε>
0δ>
<−<
(
)
<
0δ>
<−<
(
)
x
M
x
(
)
>
2
+
x
x
5
−
x
x
x
x
2
+
x
2
2
0
+
−
x
x
x
2
3
2
+
−
−
x
x
x
3
2
3
−
−
x
x
x
2
x
1
1
−
x
x
8
2
+
x
x
1
1
+−−
xxx
x
x
0
x
5
x
x
(
)
(
)
x
0
x
x
5.203.
из неравенства
5.204.
неравенства
5.205. . 5.206. . 5.207. .
Для любого числа
0
Для любого числа
0
В задачах
lim
5.205
2
1
−
x
2
∞→
ax
δ
ax
−−−−
5.227 вычислить
существует
следует неравенство
δ
существует
следует неравенство
lim
x
∞→
пределы
3
xx
2
такое, что для любого
такое, что для любого
?
:
32
+−
?
xf
ε
из
Mxf
3
xx
32
+−
lim
4
∞→
2
1
+
5.208. . 5.209. . 5.210. .
lim
x
∞→
x
3
4
−
2
lim
→
2
1
−
x
2
lim
→
x
3
0
+−
xx
−
4
x
13
+
1
2
9
−
−→
lim
→
0
→
x
lim
x
2
2
3
86
++
xx
2
x
11
−+
lim
lim
x
2
11
−+
x
2
416
−+
x
1
−
x
3
1
∞→
1
−
x
22
2
5.211. . 5.212. . 5.213. .
5.214. . 5.215. . 5.216. .
5.217. . 5.218. . 5.219. .
5.220. . 5.221. . 5.222. .
5.223. . 5.224. . 5.225. .
lim
→
lim
→
lim
→
x
lim
→
lim
→
0
5.226.
x−+±∞→
5.228. Вычислить
x
2
4
1
−
x
3
1
−
1
x
1
x
3
−
1
21
−−
3
−
x
lim
→
lim
lim
5
−
x
3
2
xx−+
2
2
11
4lim
предел
. 5.227. .
xxx
.
lim
x
→
x
lim
x
sin
x
∞→
→
→
lim
→
lim
→
x
lim
x
2
−
xx
2
−
x
2
xx−+
0
1
xxxx
2
2
−
−
x
3712
+−−−−
2
−+
xx
23
11
xx
1
xx
−−∞→2
В задачах
тельный предел
5.229. . 5.230. . 5.231. .
lim
x
5.229—5.251 вычислить
пределы, используя первый замеча
:
2
3sin
x
4sin
lim
x
0→
x
x
2
lim
x
5sin
0→
→
x
2
-
5.232. . 5.233. . 5.234. .
2
−
2
(
)
0
2
0
0
x
x
−
0
x
x
(
)
9
−
−
x
(
)
−
1
−
x
(
)
x
0
(
)
x
0
x
0
(
)
x
+
0
(
)
−
+
()(){
}
−+⋅
−
lim
→
x
lim
x
xx4sin
5.235. . 5.236. . 5.237. .
5.238. . 5.239. . 5.240. .
5.241. . 5.242. . 5.243. .
lim
→
lim
x
→
lim
x
ctg
xx⋅
3
x
2tg
lim
→
lim
0
x
2arcsin
x−→
x
3sin
lim
x
5
0→
x
3
0xx→
sin
3
0
( )
arctg
x
0→
xx2tg
lim
x
0
→
x
2
lim
→
lim
→
x
sin
2
2
3tg
x
2
3
4sin
x
cos1
x
2
tg
x
cos1
2
x
x
lim
22
0
x
−+→x
x
5.244.
lim
x
3sin
2sin
π→
sin1
5.247.
5.250.
lim
→
x
lim
→
π
π
2
2
( )
1
−
xx⋅−
Вычислить пределы
1
. 5.245. . 5.246.
x
lim
→xxx
0
sin
x
. 5.248.
2
x
lim
x
→
3
π
6
sin
−
x
−
π
−
6
cos
π
x
tg1
. 5.251. .
2
lim
x
5.252—5.272,
cos1
∞→
−
применяя второй замечательный
tg
1
lim
→
π
π
⋅
−
2
cos1
. 5.249. .
x
lim
→
x
0
x
11
−+⋅
xx
x
xxxtg
предел:
x
1
−
1
−
x23
+
x
2
x
2
x
x
x
1
x
x
2
x
1
+
1
−
x
ctg
x
tg1lim +
. 5.265. . 5.266. .
axa
lnln
1
lim
x
∞→
1
lim
x
∞→
lim
x
x
lim
x
∞→
x
( )
lim
+
→
+
x
2
2
lim
x
x
∞→
5.252. . 5.253. . 5.254. .
5.255. . 5.256. . 5.257. .
lim
x
lim
→
∞→
1
5.258. . 5.259. . 5.260. .
lim
x
∞→
5.261. . 5.262. . 5.263. .
lim
x
∞→
5.264.
x
0
→
5.267. . 5.268. . 5.269. .
lim
x
→
0
1
1
x
−
x
x
+
1
1
x
x
+∞→12
x
x
+
1
−
1
2
tg1
1
x
2
x
xaxx
lnln
lim
x
lim
x
lim
x
lim
lim
→
→
∞→
∞→
∞→
1
1
x
x
x
x
1ln
lim
→
+
+
x
1
x
x
2
3
x
12
−
x
1
+
2
−
2
x
1
+
1
−
ax
x
x
1ln
ex
−
ex
.
∞→n
∞→n
(
)
(
)
−
=
(
)
(
)
+
⋅
(
)
−
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
x
0
x
x
0
x
%
p
t
t
n
∞→n
x
0→x
1→x
x
−
1
1→xx−
1
0→x
mxmx≈
sin
mx
mx≈tg
3
(
)
≈
+
x
x
2
5.270. . 5.271. . 5.272. .
5.273.
lim
→
Первоначальный вклад в банк
чивает ежегодно
рывном начислении процентов
e
Указание.
тов по вкладу
5.274.
Дан правильный треугольник со стороной
1
−
lim
x
Найти размер вклада
раз в году и перейти к пределу при
годовых. Найти размер вклада через
.
угольника строится новый правильный треугольник и так
дел суммы площадей всех треугольников при
5.275.
опять вписан квадрат и так
гов и площадей всех квадратов при
В круг радиуса
R
вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот круг
n
раз. Найти предел суммы площадей всех кру
2
→
—
через
A
n
2
ee
−
lim
x
2sin
денежных единиц. Банк выпла
A
0
лет при начислении процен
.
a. Из
трёх высот этого тре
.
.
0
x→
лет при непре
n
раз. Найти пре
cosln
x
2
§ 4. Сравнение бесконечно малых
-
-
-
-
-
-
В задачах
сительно
5.276.
5.279.
β
β
5.282.
5.285.
5.287.
5.288.
β
β
При
( )
x
5.276−5.287
при
:
=
xx
+
1
xx cos1
. 5.277.
1
. 5.280.
x
1β−=xex
. 5.283.
22sin
−+= xx
xx arcsin
.
функции
определить порядок малости функции
23
100βxxx +=
β
β
. 5.286.
y
=
и
sin
−=xex
β
x
1
. 5.278.
xxx tgsin
. 5.281.
1
. 5.284.
xy −= 1
β
β
β
3
coscos
бесконечно малые. Ка
( )
( )
xxx −=
3
.
x
β
2
sin3
2
x
отно
xxx −=
.
xxx −=
xex
cos
−=
+
кая из них более высокого порядка малости
5.289.
будут одного порядка малости
5.290.
Убедиться в том, что при
Доказать, что при
:
.
Будут ли они эквивалентны
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
?
бесконечно малые
3
1
11
xx
≈−+
и
1 x−
3
?
1ln
xx
-
43
.
.
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]