Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Часть 1. Учебное пособие для вузов
.pdf
5.291.
−
±
=
2,,2,3
0→x
0→x
xxtg22
tg
−
0→x
2
x
xytg
=
11xy−
+
x
Какой из функций
нечно малая
5.292.
Какой из функций
3
?
1ln x+
33
2
,
x
xx
2
x
3
x
при
3232
xxxxx 3,2,,,2
при
эквивалентна беско
эквивалентна
-
бесконечно малая
5.293.
Исходя из эквивалентности при
вычислить приближённо
?
105
.
§ 5. Непрерывность функции. Точки разрыва
Найти точки разрыва и построить графики функций
5.294.
5.297. . 5.298.
5.300. . 5.301. .
y3=
y
y
. 5.295. . 5.296. .
x
=
11+
x
3
xx
=
+
y
x
2
=
+=
xy
4xxx
4
x
11−
x
2
−
3
−
функций
и
11 −+ x
:
1
=
2
x
. 5.299. .
y −= 2
x
В задачах
5.302. . 5.303. . 5.304.
y
В задачах
5.302—5.304
1
x
21−=
5.305—5.306
найти точки разрыва функций
1
2
x
2−=
y
:
x
y
33+=x
.
построить графики функций и указать точки раз
рыва. Какие из условий непрерывности в них выполнены и какие не выпол
нены
?
5.305.
2
при
2
−=44
xy
при
при
x
>
x
,2;0
5.
,20
<<
x
306.
.2
x
=
y
2
≠
,2при
x
x
=
.2при0
5.307.
Исследовать функцию на непрерывность
-
-
2
≤
−
a
5
3
+
=
x
y
x
x
xysin=xyln
=
xycos
=
3
x
x
x
x
3
1
3
+
+=t
t
x
7
(
)
(
)
−⋅=
x
e
lnln+
x
ln
−
π
ctg
−
arctg
x
1
ln1
x
( )
xf
=
При каком значении
5.308.
( )
xf
=
2
при
+
π
2
x
x
π
при
2
при
2
x
функции непрерывны на всей числовой оси
π
−<
,
2
≤≤−
,0
xe
<
.0
≠+−
,2при65
xxx
5.309.
=
.2при
xa
Глава 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная функция
В задачах
водные следующих функций
6.1.
.
6.4.
.
6.7. . 6.8.
В задачах
вания, найти производные следующих функций
6.10.
y
6.13.
6.16.
6.19.
6.22.
s
.
.
y
=
6.1
−−−−
6.9,
пользуясь определением производной, найти произ
:
6.2. . 6.3. .
xy =
6.5. . 6.6. .
y1=
6.10
−−−−
6.27,
2
2
x
4
2
t
2
2
x
log10 ⋅=
x
−
x
. 6.11. . 6.12. .
3
+−=
6.14. . 6.15. .
xxxy tg
+= 3ctg33+⋅=xxy xey
xy
6.20. . 6.21. .
7
xe
. 6.23. . 6.24. .
пользуясь формулами и правилами дифференциро
y
5
y +=
sin
. 6.17. . 6.18. .
arctg
y
=
arcctg
xxy 22−=
. 6.9. .
3
x
5
3
3
2
ln
x
x
2
xxy
5
x
x
:
,1
xx
>−
.1
xax
( )
xf
1
=
2
при
при
2
-
3
xy =
1
y =
2
-
:
3
23
5
x
+−=
y−=
x
y −
=
−
y
1log
=
y
=
1
x
cos3
x
x
arcsin⋅=
2
+
1
−
arccos
3
x
ctg3
xx
3
x
x
x
x
arcsin
e
3
+
xy4
sin
=
(
)
12x
x
(
)
x
4
cos
ln
e
cos
x
3
sinln1
+
x
3
x
cos
e
xy2
arccos
(
)
1
x
e
−
6.25. . 6.26. . 6.27. .
y
=
В задачах
6.28
−−−−
6.69
найти производные сложных функций
22 −
y
arccos
=
x
xx
y
arcctg
=
:
log
x
x
2
6.28.
6.31.
y++=
y
3
=
6.34.
6.37. . 6.38. . 6.39. .
6.40.
arcctg
y
6.43.
6.46.
6.49.
=
xy
y =
. 6.29. . 6.30. .
5
1−
9
3
cos
9⋅=
x
ln
. 6.32. . 6.33. .
345 +⋅= xy
4
312 ++= xy
. 6.35.
3
3
. 6.41. . 6.42. .
x
2
e
=xy
y
=
x
. 6.44. . 6.45. .
x
x
. 6.47. . 6.48. .
=
y
1
. 6.50. . 6.51. .
x
6
2
=
xy4tg=
41 xxy −+=
2
. 6.36. .
2ln51 ++⋅= xxy
2
3
−
arctg2
4
x
y −=
3
6
x
3sinln
1
x
ln
ey
x
4
tg22⋅=
y
=
xy
xy ⋅=
1
y
4
=
2
3
xy arcsin=
2
1−= xy
492x
2
sin1 xy +=
x
x
23
1
x
10⋅=
ctg
x
sin1+−
cos1
5
2
5
2
2
x
6.52.
6.55.
6.58.
6.61.
6.64.
6.67.
y 2arcsin=
y
ln
2
x
ey
=
=
y
y1arctg
=
В задачах
x
. 6.53. . 6.54. .
2
x
ctg
3
3
x
+=
tg
1arccos xy −=
4
x
3
. 6.62. . 6.63. .
tgarcsin
. 6.56. . 6.57. .
2
2
. 6.59. . 6.60. .
y
y 2arctg
y
2
2
x
. 6.65. . 6.66. .
3
. 6.68. . 6.69. .
y+=
y
=
ln
=
arccos
x
6.70
−−−−
6.81
найти
производные неявно заданных функций
xxy +=
1
arctgln
x
3
12−=xx
2
tg1
+
ctg1
−
+=1
x
2
x
4
x
x
y
y
=
=
3
2
x
−
arcctg
log
5
2
x 2
tg5
−=1
6
5
12xxy ++⋅=
xy 593ln
−=
xy
sinarctg3=
xy
3
2
−
x
5
−
x
x
e
x
:
6.70.
3
(
)
−
=
bya
(
)
−+=
(
)
+
=
(
)
=
⋅
yyx
sin
+
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
6.73.
6.76.
6.79.
В задачах
2xyxy −=
y
xey +=1
22
yx =−
6.82
указанных точках
y arcsinln =
xy
2
1
=+
2
22
yex
=+
x
y
2cos
yxy
y
x
sin
22
cossin
y
x
e
y
=−+− xyyx
yxxy
03=−+
x
xyx
2
23
. 6.71. . 6.72. .
x
2
. 6.74. . 6.75. .
.yxeeyx +=+
6.77. . 6.78. .
xy
.2
6.80. . 6.81. .
−−−−
6.85
найти производные неявно заданных функций в
:
0145
2
2
3;0 −
6.82.
6.84.
В задачах
в точке
122=+ yx
6.86
322=++ yxyx
. 6.83.
в точке
−−−−
6.94
2
−
;
2
. 6.85.
найти производные функций, используя метод
логарифмического дифференцирования
x
6.86.
6.89.
6.92.
В задачах
параметрически
6.95.
6.98.
xy =
. 6.87. . 6.88. .
x
x
y
x
y
=
. 6.90. . 6.91. .
x
+=1
x
−
1
. 6.93. . 6.94. .
x
+
1
6.95
−−−−
6.106
найти
x
y
:
2
+=
tx
1
=
x
=
y
,2
3
+
t
6.96.
−=
.
tty
1
,
t
6.99.
−
1
t
.
=
=
=
=
t
:
x
cos
xy
sin=
2
xxysin
1+=
x
arcsin=
3
производные
−
t
,
ex
6.97.
23t
.
ey
3
,cos
tax
6.100.
3
.sin
tay
в точке
xy
в точке
xeyeyx −=−1
xxyln
=
x
arcsin
xy
=
3
=
y
функций, заданных
5
( )
x
( )
=
−=
t
t
=
.
0;0
.
1;1
4
−⋅+
xx
2
321−
,sin
ttax
.cos1
tay
,cos
tex
.sin
tey
6.101.
3
+
1
t
=
x
t
=
y
t
,
2
+
1
6.102.
2
3
at
.
2
+
1
=
x
=
sin
t
,
6.103.
2
.cos
ty
=
,arccos
tx
2
−=
.
tty
2
−
=
(
)
=
=
(
)
−
=
=
f
∆
=′′
′
xyln
=
(
)
(
)
(
)
=′′
′
(
)
=′′
(
)
=′′
=′′
(
)
+
=
=′′
dx
tes+=1
dt
dx
dx
dx
(
)
0=x
3,0
=
∆
x
(
)
1=x
01,0
=
∆
x
(
)
3=x
01,0
−=∆
x
′
=
4=x
41,0
=
∆
x
6.104.
В задачах
+=
tx
3
⋅=
ety
6.107−6.122
заданных функций
,1
6.105.
t
.
:
,sin
ttx
6.106.
−=
.cos
tty
−=
2
+=
,1ln
tx
.arctg
tty
найти производные указанного порядка от
6.107. , 6.108. ,
5
6.109. , 6.110. ,
6.111.
6.113.
6.115.
6.117.
6.119.
6.121.
,
,
,
, 6.
xy =
2
x
ey =
tg ?
y
2
yxy
s
,cos
tax
=
,sin
tby
ax
( )
−=
cos1
ay
xxxy 4223−+=
?
y
?5=y xy2sin=
?
⋅+=
6.
xxy arctg1
y
y
2
sd
?
=
2
3
yd
?
=
3
,sin
φφ
,
φ
2
6.
yd
2
6.114.
?
?
=
6.112.
6.116.
,
1ln xxy ++=
,
yx
,
118.
120.
exy+=
2
=
,
atx
3
=
,
bty
,ln
tx
2
−=
1
ty
122.
2
( )
−=
ty
?4=y
?6=y
2
33
03
=+− yxyx
dy
,arcsin
tx
,1ln
y
2
yd
?
=
2
2
xd
?
=
2
2
yd
?
=
2
2
xd
2
dy
§ 2. Дифференциал функции. Применение дифференциала в
приближённых вычислениях
?
y
?
?
=
циал
df (
6.123.
В задачах
используя определение дифференциала
6.123−6.125
3
в
xxf =
6.124.
6.125.
(
используя формулу
6.126.
В задачах
в
6.126−6.127
xy =
найти приращение функции
xxxf +=26
xxxf 22−=
в
в
точке
точке
точке
,
,
,
найти приращение функции и её дифференциал
) :
точке
dxydy
,
если
если
если
если
) :
.
.
.
и её
дифферен
-
.
6.127.
(
)
+⋅=
9=x
01,0
−=∆
x
xysin
2
=
2
11u
2
⋅
2
x
xy2
sin
e
−
5
2
−
x
x
sin
1
(
)
(
)
(
)
−
(
)
(
)
e
−
e
984
,0ln
55,1
sin54,0arcsin
96,0
arctg
y2=
в точке
,
если
.
x
В задачах
6.128. . 6.129. . 6.130.
6.131. . 6.132.
v−=
6.128−6.151
2
найти дифференциалы следующих функций
2
gt
s =
2
φ
ρ
a=
2cos
. 6.133. .
cos
:
tas
φω
.
o
1
2
xy
x
10⋅=
x
6.134. . 6.135. . 6.136. .
6.137. . 6.138. . 6.139. .
6.140. . 6.141.
6.143. . 6.144. . 6.145. .
y
=
y
=
6.146.
49
1
x
ln
ey
1
x
3 +=
1
3
sinln
6.149. . 6.150. . 6.151. .
2
x
−=
y
1
x
2
y
=
π
2
. 6.147. . 6.148. .
−= xy
y
2
1arctg
+= xy
x
sin
2=
1
x
cosln
xey
log⋅=
5
π
x
. 6.142. .
+=
24
y
10
=
9
xy
y1arctg
=
1
y
3
xy5arctg
x
4=
2sinln
log
1
ln
=
y
arcsin
ln
9⋅=
3
6
x
xx
x
x
x
e
−=1
x
5
+
x
2
⋅=
xxy sin
cos
y
=
−
6.152
6.153
1)
4
5)
9)
13)
.
Вычислить
.
Вычислить приближенно
;
2)
70 5 17
8,15
;
6)
03,0
;
10)
o
46tg
;
14)
,
05,1f
;
11,1
если
.
:
3)
9
;
7)
;
11)
;
15)
=
xx
11,0
exf
3
;
4)
8
;
o
′
0345tg
8)
;
12)
98,0
;
16)
98,7
;
1,0
;
o
44tg
;
.
§ 3. Применение производной в геометрии и физике
(
)
(
)
(
)
(
)
−
(
)
=
=
xyln
=
=
xxyln2
−
=
=
2
−
xy3
arccos
=
(
)
=
(
)
(
)
(
)
8
9
(
)
−
−
xxy
ln
=
032
2
=+−
y
x
(
)
0=t
В задачах
6.154
−−−−
6.167
кривым в заданной точке
6.154.
6.155.
6.156.
6.157.
6.158.
6.159.
,
,
342−+= xxxf
23
522+−= xxxf
3
в
1−= xy
в
в
точке с абсциссой
1
6.160.
6.161.
6.162.
в
arcsin
=xy
в
в
xxf 2tg
написать уравнения касательной и нормали к
:
точка
342
−−+= xxxxf
в
точке с абсциссой
точке с
точке с абсциссой
точке пересечения кривой с осью
точке пересечения кривой
начале координат
точка
абсциссой
.
2;1
.
4;1
x
0
x
0
ex
0
1
x
0
.
.
9
.
.
с
.
2
осью
OX
OY
.
.
6.163.
.22xy =
6.164.
6.165.
6.166.
6.167.
6.168.
в
в
в
Написать уравнение касательной к кривой
34
3xy =
в
34
22
yx
1
=−
рой нормаль к этой
В задачах
6.169−6.172
в
точке пересечения этой кривой с параболой
1223−+= xxy
точке
0255=−+ xyyx
032
=−+ xyyx
.
3;3
точке
точке
точке
кривой параллельна прямой
написать уравнения касательной и нормали к
кривой, заданной параметрически
2
=
,
tx
в
3
=
ty
=
ex
−t
=
ey
точке с координатами
t
,2
в
точке
,
соответствующей значению параметра
6.169.
6.170.
M
.
1;1
.
1;1
.
8;9
в точке, в кото
-
.
:
.
8;4
.
6.171
=
−
=
2
t
xωcos
=
+
0=t
7
2
034
2
=−+
y
x
023
4
=+−
y
x
1
+=x
kx
y
=
2
2
=
+
y
x
1
3
−+=
tts
===
s
t
x
0=t
0
0
x
x
1
−
x
x
2
sin
6.172
6.
173.
tx ,sin
при
,sin
ty
в
точке
t
=
ay
ttx
−=
cos1
.
,
для которой
.
.
Написать уравнения касательных к кривой
π
=t
.
,
22
yx
которые пер
1
=−
-
пендикулярны прямой
6.174.
мой
В
какой точке касательная к кривой
?
.
32
перпендикулярна пря
xy =
1
6.175.
оси абсцисс
6.176.
биссектрисе первого координатного угла
6.177.
1) и ; 2) и ; 3) и
6.178.
рость и ускорение точки для моментов времени
дается в метрах
6.179.
время равно
6.180.
мента
На
линии
y
2
найти точку, в которой касательная параллельна
.
На
кривой
3
найти точку, в которой касательная параллельна
xy =
.
Найти углы, под которыми пересекаются данные линии
2
xy =
Точка движется прямолинейно по закону
3
xy =
2
xy =
2
:
422=+ yx
(
, −в
Точка совершает колебательное движение по оси абсцисс по закону
.
Найти момент времени, когда скорость равна нулю
секундах
).
?
Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с мо
,
определяется формулой
.
2
Найти силу тока в кон
132
++= ttQ
Найти ско
.
ttt
210
.
Чему в это
-
.
-
2,1,0
-
-
це десятой секунды
§ 4. Правило Лопиталя для вычисления пределов
вида
В задачах
:
6.181
xx3sin
6.181.
6.184.
lim
.
0→
1
−
→
x
3
1
1
−
x
lim
x
. 6.185.
.
−−−−
6.198
вычислить пределы, раскрыв неопределенности
xx2tg
6.182. .
lim
0→
cos1
lim
−
x
π
→
x
x
.
π
7
1
−
x
6.183. .
6.186. .
lim
→
x
lim
x
→
9
1
x
e
1
−
0
6
−
1
x
−
2
x
x
ln
x
x
x
x
sin
−
x
x
sin
x
ln
4
5
+
−
x
x
2
x
x
4
sin
∞
∞
x
x
x
8
3
+
+
x
x
x
2
sin
ln
(
)
x
e
xex+
(
)
−
[
]
⋅∞
[
]
∞− ∞
1
∞
0
0
0
∞
0
0
∞
∞
(
)
6.187. . 6.188. . 6.189. .
6.190. . 6.191. . 6.192.
lim
x
lim
x
→
1−→
xx
sintg
x−→
lim
lim
0
−
x−→
1
cos1
x
0
2
arctg
0
xx
3
lim
x−→
lim
x
→
sin
xx
0
3
sin21
x
π
3cos
x
.
4
lim
x
x−→
lim
−
1
2
0→
x
ctg
2
16
−
sin41
x
ln
x
π
tg
2
( )
1ln
2
ln
x
100
x
π
x
2
6
2
x
.
x
bxax
ee
0
2
−→
lim
∞→
0
−
4
16
−
x
+
6.199−6.209
x
e
, 2)
3
3
16
−
x
24
x
5sinln
x
2
⋅
x
6.210−6.224
lim
x −∞→
lim
x
вычислить пределы, раскрыв неопределенности
x
e
.
3
вычислить пределы, раскрыв неопределенности
6.193. . 6.194. . 6.195. .
6.196. . 6.197. . 6.198.
lim
x
→
lim
x
В задачах
вида
:
6.199.
6.202. . 6.203.
6.205. . 6.206. . 6.207. .
6.208. . 6.209. .
1)
lim
x
lim
x
lim
x
x +∞→
→
∞→
В задачах
3
x
1
lim
−
x
1
→
x
5
ex
51
−+
lim
x
→
π
2
lim
x
tg
ln
∞→
x
.
x
3tg
+∞→1ln
x
6.204.
x
e
0
→
6.200. . 6.201. .
lim
→
x
lim
x
→
1
lim
lim
x
x
1ctg
x +∞→
lim
x
→
1
( )
x
−
1ln
.
вида
, , , ,
0
,
путем алгебраических преобразований
x
6.210.
6.213. . 6.214. . 6.215. .
lim
→
x
( )
π
∞→
xx⋅−
1
x
ex
1
6.216. . 6.217. . 6.218. .
lim
→
x
0
sin
xx
. 6.211. . 6.212. .
tgπ
2
−⋅
1lim
1
−
2
x
x
lim
→
x
0⋅−→
2
lim
xx0
→
сведением их к неопределенностям
:
x
2
1
−
−
2
x
x
xe
ctg1lim
2
2
x
−
4
lim
→
x
lim
x
→
0⋅→
x
1
−
sin
x
0
xxxlnlim
1
ln
xx
−
1
x
(
)
2
x
(
)
(
)
3
2
xxy
ln
=
xxy
cos
+
=
4
x
x
−
x
xxy
arctg
−
=
xysin
=
1
−
x
(
)
(
)
x
1
+=x
(
)
2
1
x
x
3
x
6.219.
6.222. . 6.223. . 6.224. .
lim
x
→
lim
x
→
π
1
0
x
cos
x
2sin
x
tg
. 6.220. . 6.221. .
1lim
x
∞→
x
∞→
+
x
x
x1lnlim
1lim
+
x
∞→
ctglim
x
0
→
x
ln
1
x
x
sin
x
§ 5. Исследование функций и построение графиков
В задачах
следующих функций
6.225. . 6.226. . 6.227. .
6.228. . 6.229. . 6.230. .
xy = 523−+= xxy
3
6.225−6.233
определить интервалы монотонности
:
2
2
2
xxy
+=
1
=xy
4
21 xxy +−=
−
x
6.231. . 6.232. . 6.233.
В задачах
6.234. . 6.235. . 6.236. .
3
xy =
xxy ln22−=
6.234−6.242
исследовать функцию на экстремум
xyln1
6.237. . 6.238. . 6.239. .
6.240. . 6.241. . 6.242. .
=
2
3
xxy −=
2
exy−=
.
:
1
2 xxy −=
2
x
ln
y
=
24
32
+−=
xxy
2
x
y
=
=
12+
1
2
x
exy
В задачах
перегиба функций
6.243. . 6.244. . 6.245. .
6.246. . 6.247. . 6.248. .
6.243−6.251
:
13+= xy
3
24 +−= xy
найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки
3
2
xy =
y
y
1
x
=
2
xx
21
−⋅−
=
+
6.249. . 6.250. . 6.251. .
y
2
В задачах
6.252—6
.260
найти асимптоты линий
1
1
6.252. . 6.253. . 6.254. .
=xy
=
y
−
2
1ln xy +=
=
:
2
x
−
2
xey−
1
xy
+=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]