Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Часть 1. Учебное пособие для вузов
.pdf
xdxsin
3∫xdx2
cos
5
3
cos5x
xdxsin
1
++x
xdxcos
sin
1
x
−
(
)
xx1
xx1
2
2=x
(
)
+
(
)
(
)
−
(
)
−+4
x
91x
9
22x
7.128. . 7.129. . 7.130. .
7.131. . 7.132. . 7.133. .
∫
∫
cos
4
dx
xdx
+
∫
∫
+
∫
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
В задачах
7.134. . 7.135. . 7.136. .
7.137. . 7.138. . 7.139. .
7.140. . 7.141. . 7.142. .
7.143. . 7.144. . 7.145. .
7.146. . 7.147. . 7.148. .
7.149. . 7.150. .
∫
∫
1
∫
∫
4
∫
∫
x
+dxx
xx12
1
+dxxx
1
7.134
+⋅ dxxx 5
1
−
+⋅ dxxx
1
2
−⋅
dx
23
dx
−−−−
7.150
вычислить интегралы
1
∫
+dxx1
1
∫
++dxx 11
1
∫
∫
∫
∫
−⋅dxxx 1
1
3
+dxxx
2
+⋅ dxxx31
1
dx
2
+⋅
.
1
∫
−dxx 1
+
x 2
∫
dx
2
∫
−dxxx1
1
∫
−+dxx321
2
− dxx
9
∫
§ 7. Смешанные задания
1
7.151.
Найти ту первообразную от функции
x
,
которая принимает зна
-
чение
7.152
через точку
7.153. . 7.154. . 7.155. .
7.156. . 7.157. . 7.158. .
3
при
.
.
График первообразной
.
В задачах
( )
∫
∫
2
7.153
32
dxx
2
0;5A
−−−−
+⋅+ dxxxx 21
Найти
7.196
для функции
xF
8F
.
вычислить интегралы
4
∫
54
−⋅ dxxx
61
dx
∫
2
+
3
x
( )
.
∫
∫
проходит
44
−⋅−
xx
42
dx
−
xx17
dx
+
7.159. . 7.160. . 7.161.
−
−
14x
+
4
e
e
e
1
x
x
ln
3
(
)
x
−
x
x
x
x
−
x
2
cos
5
⋅
⋅
x
x
cos
+
4
1
x
x
cos
2
2
+dxxx5
cos
5
(
)
∫
+
xdx
dx
7.162. . 7.163. . 7.164. .
∫
−−⋅xx
2
x
dxe
∫
2
x
dx
∫
2
−⋅
∫
ln
∫
xx
−⋅ dxee
1
dxx
2
−⋅ xx
ln1
.
7.165. . 7.166. . 7.167. .
7.168. . 7.169. . 7.170. .
∫
x
1
∫
dx
x
−−1
∫
∫
( )
−⋅ xxdx1
arccos
x
−21
x
dx
−xdxx1
5
∫
1
sin
∫
43
−⋅ dxxx
51
dx
2
x
3
arctgxdxx
7.171. . 7.172. . 7.173. .
7.174. . 7.175. . 7.176.
7.177. . 7.178. . 7.179. .
7.180. . 7.181. . 7.182. .
7.183. . 7.184. . 7.185. .
7.186. . 7.187. . 7.188. .
7.189. . 7.190. . 7.191. .
7.192. . 7.193. . 7.194. .
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
sin
x
ln
⋅ xdxx2sin
2
x
3
2
+
x
+
dx
x
21
2
x
3
( )
1
dx
23
dxxx 3cossin
dx
x
dx
+
278
+⋅ xxdx1
xx
22
⋅ dx
cos
⋅ xdxx2tg
∫
4
x
∫
∫
tg
∫
cos
+
tg1
∫
∫
( )
+dxx
2
x
∫
2
∫
∫
+
1
dx
23
⋅ dxxx54cossin
x
dx
x
3
x
dx
2
x
3
2
∫
∫
∫
∫
∫
−
ln
2
2
2
x
2sin
dx
.
dxxx cos5cos
x
dx
2
x
x
dx
x
+
x 2ln
dx
dx
dx
22
∫
xcos
x
5sin
xdx4tg
∫
dx
7.195. . 7.196. . 7.198.
7.199.
∫
−
xx
+⋅
eedx3
dx
∫
. 7.200.
−−221 xx
∫
x
2
∫
−
xx
2
2
−−
962 xx
dx
. 7.201.
2
Глава 8
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1
∫
−
xx12
7
dxx
tg
∫
.
dx
6
π
(
)
1xe
В задачах
§ 1. Непосредственное вычисление определённого интеграла
и подведение функции под знак дифференциала
8.1−8.12
вычислить интегралы
.
4
3
8.1. . 8.2. . 8.3. . 8.4. .
8.5. . 8.6. . 8.7. . 8.8. .
8.9. . 8.10. . 8.11. . 8.12. .
2
5 dxx
∫
2
7
dt
∫
+
dx
43t
++
45xx
−
1
2
∫
2
1
4
∫
π
5
∫
1
2
∫
0
dx
cos
dx
x
2
x
2
x
−
23x
+
3
dx
+
4
∫
0
1
∫
( )
0
e
ln
∫
1
x
4
+
1
dxe
dx
3
+
12x
2
dxx
x
4
∫
0
2
∫
1
e
2
−
x
dxxe
dx
2
+
xx
3
dx
∫
+⋅
ln1
1
xx
§ 2. Замена переменной в определённом интеграле
В задачах
4
8.13. . 8.14. . 8.15. .
8.16. . 8.17. . 8.18. .
∫
0
13
+
1
x
∫
3
0
8.13−8.24
1
dx
x
+
1
dx
+
12
x
вычислить интегралы
4
∫
0
0
∫
−
1
dx
3
1
dx
++
121
x
++
11 x
.
1
dxx
∫
−
−
4 dxx
45 x
2
−
1
1
∫
0
32
8.19. . 8.20. . 8.21. .
8.22. . 8.23.
∫
2
e
4
∫
1
dx
22
+⋅
4xx
x
+
ln1
dx
x
2ln
x
∫
0
π
4
( )
∫
0
8ln
−
1dxe
−
7tg2
dxx
. 8.24. .
−
22
sin9cos
xx
∫
3
∫
0
3ln
dx
+
x
−
6dxx
§ 3. Интегрирование по частям в определённом интеграле
В задачах
1
8.25. . 8.26.
8.28. . 8.29. . 8.30.
∫
0
1
arctg
∫
0
8.25
−−−−
8.36
−
x
dxex
dxx
вычислить интегралы
π
2
( )
−
∫
0
e
ln
∫
1
cos1 dxxx
dxx
3
x
. 8.27.
π
( )
−
sinπ
dxxx
∫
0
π
4
∫
cos x
0
dxx
2
.
.
8.31.
6
4
∞
∞
∞
∞
∞
1
∞
∞
∞
∞
∞
∞
0
∞
∞
9
x
π
8.34.
π
4
dxx
∫
π
π
2
cosxxdxx
∫
sin
π
. 8.32. . 8.33. .
2
3sin x
. 8.35. . 8.36. .
3
1
−
22
x
∫
0
2
2
∫
1
dxex
−
x
2 dxx
1
2
arctg xdxx
∫
0
e
( )
+
ln1
∫
1
2
dxx
§ 4. Несобственные интегралы
В задачах
интегрирования
dx
8.37. . 8.38. . 8.39. .
8.40. . 8.41. . 8.42. .
8.43. . 8.44. . 8.45. .
8.46. . 8.47. 8.48. .
8.49. . 8.50. . 8.51.
8.52. . 8.53. . 8.54. .
∫
2
x
1
∫
( )
2
∫
x
∞−
−
∫
0
∞
−02
∫
∫
2
( )
dx
−
dx
2
4
3
x
8.37−8.54
5
1x
+1
x
dxxe
xdx
2
−
3x
( 1
3
вычислить интегралы с бесконечными пределами
рода
)
или установить их расходимость
dx
∫
x
1
∞
∫
2
x
+
1
dx
5
x
dx
∫
2
∫
0
∞
∫
∞
∫
( )
0
2
−
arctgxdxx
dx
+
++
32xx
2
x
dxxe
2
+
1
2
1x
:
dx
∫
1
xdx
∫
2
0
lnxxdx
∫
2
∞
e
∫
1
∫
e
∫
∞−
x
−
+
x
dx
ln
1x
x
dx
.
3
xx
dx
++ 222xx
В задачах
(2
рода
)
3
8.55. . 8.56. . 8.57. .
8.58. . 8.59. . 8.60. .
∫
0
1
4
dx
∫
ln xx
0
8.55−8.63
вычислить интегралы от разрывных функций
или установить их расходимость
2
dx
−
2
xdx
∫
−
1
4
∫
0
1x
dx
−
2cos1
x
:
1
ln xdx
∫
0
2
dx
∫
( )
0
2
−
1x
(
)
=
2π2
x
(
)
0
ρ
>
1
2
8.61. . 8.62. . 8.63.
∫
3
0
dx
( )
−
1x
2
∫
−01
x
dxe
3
x
§ 5. Приложения определённого интеграла
1
1
x
dxe
∫
0
.
2
x
8.64.
8.67.
8.70.
8.73.
В задачах
2
+=
xy
2
=
π
2
=.2,
xy
2
=
π
=
x
,
3
=
.0
y
8.64−8.81
+=
,
xxy
вычислить площади фигур, ограниченных линиями
8.65.
.1
=−
,0sinxyxy
8.68.
.
8.71.
=+
xxy
,tg
xy
8.74.
:
xy
xy
2
−=
,4
xxy
8.66.
=−
.0
2
−=
xy
,1
8.69.
+=
.1
=
=
x
=
y
,cosyxxy
π
=+
3
,
xy
8.72.
.
x
y
y
8.75.
,2
1
.
x
2
+=
xy
=
xy
,1
2
−=
.3
xy
2
,
=
=
=
=
=
.22
xy
3
,
xy
,3
.0
−
x
,2
=−
,02
yx
=+−
.022
=
,
xy
−=
,34
8.76.
=
y
=
xy
xy
8.77.
.0
2
,
=+
,0lglg
8.79.
=
y
=
x
В задачах
yx
8.80.
,0
.2
8.82−8.93 вычислить
в полярных координатах
(
):
2
=+
,3
xxy
=
,0
x
−=
xy
−=
xy
.26
2
,1
8.78.
=
,0
x
=
,0
y
=
.5
x
площади фигур, ограниченных линиями
8.81.
2
x
=
x
=
,
ey
=
,3
−
2
x
.
ey
−=
=
,0
x
=
,1
y
=
.3
y
2
,4
xxy
8.82.
π2φ0φ
,
3
ρ
≤≤=
φ
cos
2
ρ
=
φ
sin
2
ρ
=
φ
2
cos
2
ρ
=
φ
2
sin
2
ρ
=
φ
3
cos
4
ρ
=
φ
sin
1
ρ
+
=
φ
)
sin1(
2
ρ
−
=
=
+
=
=
+
=
[
]
∈
−
=
−
=
2
π
20<<x
=
(
)
≥
(
)
≥
Ox
. 8.83.
. 8.84.
.
8.85.
8.88.
8.91.
ρ
В задачах
ями
:
8.94.
=
8.97.
8.99. Одной
. 8.86.
. 8.89.
φ
+=
8.94−8.102 вычислить
tx
)sin1(2
. 8.92.
,cos3
8.95.
.sin3
ty
,cos32
tx
8.98. Астроидой
+=
.sin23
ty
аркой циклоиды
. 8.87.
. 8.90.
2
ρ
=
−=
φ
cos2
площади фигур, ограниченных лини
. 8.93.
,cos22
tx
8.96.
+=
cos
.sin23
ty
ttx
,sin
и
осью Ох.
3
=
=
,cos
tx
3
,sin
ty
tty
ρ
2
ρ
sin2
=
=
π
t
2;0
.
φ
+=
φ
)cos1(2
.
.
-
,cos2
tx
.
.sin4
ty
.
8.100. Первой
8.101.
=
В задачах
вокруг оси
8.103.
=−=.0
y
аркой циклоиды
,cos2
tx
3
y
,sin6
ty
8.103−8.111
. 8.102.
вычислить объемы тел, образованных вращением
−=
cos
=
=
фигур, ограниченных линиями
2
,2
xxy
8.104.
2
=
,
xy
π
ty
ttx
,sin
и
прямой
tty
3
tx
3
ty
:
8.105.
=−
.0sin
,cos8
,sin8
1
x
(
=y
)
.
.
1
9
=
=
2
,
xy
2
π2
.cos
xy
8.106.
(
)
=
=
=
=
=
+
=
+
0=x
Oy
(
)
−
(
)
0=x1=
x
(
)
2
1−=
x
22
3
=
.
xy
2
>=+
xyx
,01
8.107.
2
−=
,2
xxy
8.108.
2
−=
.24
xxy
y
2
>−=
,0
axaxy
=
.0
8.109.
y
x
В задачах
вокруг оси
8.112.
x
8.115.
y
x
=
=
2
=−=.0
( )
=
=
xy
,ln
xy
,2
8.110.
.2
8.112−8.123
вычислить объемы тел, образованных вращением
=
x
=
x
=
y
фигур, ограниченных линиями
=
xy
,4
xy
8.113.
2
−=
xy
,1
=
,0
y
=
.2
x
,0
.2
8.116.
=
.0
x
,4
,1
8.111.
,4
.0
:
3
,
8.114.
2
−=
,2
xxy
−=
,2
xy
8.117.
2
−=
,1
xy
−=
,2
yx
=
,1
x
=
.0
x
32
=
,
xy
( )
>=
x
yy
=
.1
,00
,arcsin
xy
=
=
.0
y
,arccos
xy
8.118.
8.121.
В задачах
8.124.
8.125.
8.126.
,sin
xy
=
,1
y
=
.0
x
x
=
,
ey
=
,0
y
x
x
8.122.
=
,0
=
.1
8.124−8.132
2xy−=
22−= xy
x
между точками, для которых
ey =
,2
yx
=
,
8.119.
xy
=
y
8.120.
.0
−=
,1
xy
=
,0
y
2
от
точки
=
,1
y
=
x
вычислить длины дуг кривых
до
B
1;1
8.123.
.5,0
точки
:
.
1;1A
между точками пересечения кривой с осью
и
.
=
=
x
2
=
y
=
y
=
ОХ.
,2
yx
,
xy
.
.0
−=
,2
xy
,0
,1
3
.
xy
8.127.
и
(
1
xx
−
eey
+=
.
цепная линия
)
между точками с абсциссами
8.128.
−
=
π2π
≤≤t
4
+
=
=
=
φ
)
cos1(
3
ρ
+
=
0
φ
=
4
xOy
+
x
2
(
)
(
)
(
)
++=
x
sin
(
)
(
)
=
x
Циклоиды
),sin(3
ttx
−=
),cos(3
tty
.
8.129. Астроиды
8.130. Эвольвенты
8.131.
8.132.
Кардиоиды
Окружности
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В задачах
9.1−9.12 найти
=
=
окружности
ρ
=
3
,cos4
tx
0 ≤≤ t
3
,sin4
ty
.
φ
cos32
между точками, для которых
π
.
),sin(cos
tttRx
−=
),cos(sin
ttRy
Глава 9
§ 1. Область определения функции
и
изобразить на координатной плоскости
от
0
t
до
1
π
t
.
2
π
φ
и
=
области определения функций
yx
z
9.1. . 9.2. . 9.3. .
=
2
yx
−
9.4. . 9.5. . 9.6. .
1
( )
z ⋅−
9.7. . 9.8. . 9.9. .
= ln
yx
−
9.10. . 9.11. . 9.12. .
2arcsin
xyz
§ 2. Линии уровня функции нескольких переменных
В задачах
9.13
−−−−
9.24 написать
:
=
yxyxz −−++= 1
ln
z
=
12+
z
=
22
yxz−
11 yxz −+−=
2
yx
⋅
xy
−
y
уравнения линий
z
22
z
=
уровня функции
1
1ln −−
2
1
22
44
−+=yx
yxz += ln
22
yx
y
84ln
+−= xyz
и
построить их
yxfz ;
9.13. . 9.14. . 9.15. . 9.16. .
2
xyz −=
:
z =
x
=
y
2
xyz−
2
2
yyxz +⋅=
ez=
x
y
yyx
z
+⋅=
x
x
yxz
−
=
uvv
⋅
(
)
+⋅=
x
sin
yyx
z
arcsin
ln
+⋅=
x
xz=
(
)
ez=
x
(
)
zyx
u
⋅⋅=
zxzyyxu
⋅+⋅+⋅
=
xu=
x
u
′
′
′
′
′
′
(
)
3
(
)
+
(
)
=
(
)
⋅
=
9.17. . 9.18. . 9.19. . 9.20. .
z =
1−⋅= yxz
yxz −=
2
9.21. . 9.22. . 9.23. . 9.24. .
2
xyz −=
z =
y
3
z =
x
2
y
yz2
=
§ 3. Частные производные
В задачах
9.25. . 9.26. . 9.27. .
z
9.28. . 9.29. . 9.30.
=
9.31. . 9.32. . 9.33.
9.34. . 9.35. . 9.36. .
=
9.25
−−−−
9.42 найти
yx
22
yx
+
xyzsin
частные производные первого порядка
3 yyxxz −⋅+=
1tg
yxz
32
z +=
z
=
y
z
arctg
=
423
15 +⋅= yxz
:
u
y
2
y
.
y
x
.
9.37. . 9.38. . 9.39. .
9.40. . 9.41. . 9.42.
В задачах
9.43. . 9.44. .
9.45. . 9.46. .
9.47. . 9.48. .
В задачах
рядка от заданных функций
xz ln⋅=
ln
yzln=
9.43−9.48 найти
5
22
yxxz ++=
x
9.49
−−−−
9.52 найти
ln
y
z
производные второго порядка
323
yxyxxz ⋅−⋅+=
смешанные производные указанного по
:
y
22
yxxz ++=
z
=1arctg
z
y
yy
.
z
xy
=
, , :
z
z
xx
1
3
22
yxz +=
yx
xy
−
xyz arcsin
-
3
9.49. от
∂
2
yxz∂∂
sin
yxz
.
3
9.50. от
∂
2
yxz∂∂
2
xy
.
2
eu=
x
∂
∂
−
(
)
(
)
−
=
(
)
(
)
=
′′+′′+′
′
′′=′′
x
(
)
+
∂
∂
′⋅′=′′⋅
dx
ayy
x
=−⋅
ln
(
)
x
∂
∂
czbya
(
)
⋅⋅=⋅+⋅+
⋅
(
)
9.51. от . 9.52. от .
∂
222
xzzyxu 2
−++=
yzu∂∂
В задачах
уравнению
9.53. , . 9.54. , .
9.55. , . 9.56. , .
ln
9.53−9.62 показать
,
что функция удовлетворяет заданному
:
xz
y
ln
⋅=
22
yxz +=
z
x =
⋅
x
∂
2
∂
z
2
∂
x
z
y
⋅+
∂
+
∂
z
y
∂
2
z
0
=
2
y
3
∂
xyz
zyxu∂∂∂
2
1
z
x
2sin2
⋅=
yxz 2sin
∂
yez
=
x
∂
2
1yz
z
∂
=
2
x
∂
z
∂
2
4
y
∂
2
∂
2
4
∂
9.57. , . 9.58. , .
yx
eez += ln
′′
′′
=
⋅
y
9.59. , . 9.60. , .
9.61. , . 9.62. , .
z−=
z
zz
9
22
9xy
22
yx
+
z
=
x
yx
−
∂
yyxx
z
2
=
+
y
∂
2
′′
zzz
xyyyxx
2
⋅=
yx
yx
−
1
=
uuu
yxu−
02
xyyyxx
11
′′
yxz
2sin
z
′
⋅+
z
x
2
x
2 yz
3
⋅=
′′
0
=
⋅+
z
yyxxx
2
zzzz
yxxy
§
4. Производные от функций, заданных неявно
dy
В задачах
9.63. . 9.64. . 9.65. .
9.66. . 9.67. . 9.68. .
9.63
−−−−
9.68 найти
433
axyyx =⋅−⋅
23
1cos
=⋅++ yxyx
производные
3
от
yxxy
=−⋅+⋅
eeyex
33
2
yyx =+
заданных функций
0
:
xy
yx =
z
В задачах
9.69.
−−−−
9.76. найти
частные производные
, от
∂
yz∂
ниже
-
следующих функций
2
9.69. . 9.70. .
x
2
2
2
9.71. . 9.72. .
9.73. . 9.74.
9.75. . 9.76. .
z
sin
:
2
1
=++
2
222
0=⋅⋅− zyxe
12
=⋅+++ zxzyx
zyxzyzxyx
3 azyxz =⋅⋅+
z
ln
222
33
yxe
coscos
⋅=
.
0422
=++− zzyx
zyxzx ⋅⋅=⋅
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]