Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Часть 1. Учебное пособие для вузов
.pdf
1.59. Дано:
−
−
(
)
−
(
)
−
(
)
CBACX−⋅+=
−
2
ACBAX−⋅+=
−
2
BACBX−⋅+=
−
7
7−+−=BACX
ACBX+−=
−
2
(
)
−
−
−−−
−
−
−
−
λ
λ
A
21
=
−
,
01
B
=
12
,
31
C
=
12
.
10
Найти матрицу X, если:
1)
4)
7)
12
2)
⋅−= CBAX
1
;2
; 5)
12
; 8)
1
12
3)
⋅−= ACBX
12
;2
; 6)
; 9)
1
1
2
Методом окаймляющих миноров в задачах 1.60—1.66 вычислить ранг
матрицы:
12
;
7−⋅−= BACX
;
.
BACCX ⋅⋅+=
321
642
. 1.63.
415
4
3
. 1.66.
−
5
3
7
11
15
1.60.
1.64.
21
−13
. 1.61.
21
. 1.62.
63
−
3
0
1
3
2
3
1
6
2
−
3
1
. 1.65.
−
8
1
0
0
1
2
3
3
−
2
0
В задачах 1.67—1.69 найти ранг матрицы методом элементарных
преобразований:
1001
2010
. 1.68.
3100
14321
23311
−−
41122
. 1.69.
23311
1
1
−
−
1
1
−
−
1
1
1.67.
231
462
.
2
5
8
11
.
1
−− 231
2
3
5
7
1
1
1
2
.
2
1.70. При каких значениях λ матрица
1.71. При каких значениях λ ранг матрицы
1
имеет ранг, равный 1?
21
10
− 211
143
равен 2?
21
λ
=−−
=++
=++
=++
=++
=−+
=+−
=++
=+−
412
при различных значениях пара-
824
1.72. Найти ранг матрицы
метра λ.
§ 4. Решение систем линейных уравнений
По правилу Крамера решить системы уравнений 1.73—1.81 и сделать
проверку:
,342
1.73.
zyx
−=++
zyx
,34
1.74.
=+−
.5523
zyx
,82
zyx
=++
,62
zyx
zyx
=−+
1.75.
.1133
,22
zyx
=−+
,532
zyx
zyx
=++
.1073
,222
1.76.
1.79.
zyx
−=+−
zyx
zyx
zyx
zyx
,132
1.77.
−=−+
.82
=−+
,423
1.80.
−=−+
zyx
=+−
,2352
.625
zyx
,222
zyx
=++
,104
1.78.
=+−
.023
zyx
=+−
,323
zyx
1.81.
=+−
,332
zyx
=−+
.745
zyx
yx
В задачах 1.82—1.90 решить системы уравнений матричным способом и
сделать проверку:
,523
1.82.
zyx
=−+
,7332
zyx
zyx
−=−−
1.83.
.24
=+
yx
,532
zyx
,332
1.84.
=+−
.453
zyx
zyx
,22
zyx
=+−
,353
zyx
zyx
=−−
zyx
zyx
=+
zyx
zyx
=+−
=−+
.434
,1
=−−
,22
.5,032
,133
−=+−
,1342
.953
1.85.
=+
,52
yx
1.86.
=+
,23
zx
=−
.525
zy
=++
,422
zyx
,65
−=−+
.143
1.87.
=+−
zyx
zyx
=−
yx
−=−+
zyx
zyx
.54
,84
=+−
,52
−=−−
,322
1.89.
,02
=−+
.523
=++
,4423
zyx
1.90.
−=−+
zyx
,132
=++
.4445
zyx
1.88.
zyx
=++
zyx
zyx
Методом Гаусса решить системы уравнений 1.91—1.99 и сделать про-
верку:
=−+
,5
1.91.
1.94.
zyx
,1
=−−
.104
=++
,02
=+−
,53
=+−
zyx
1.92.
1.95.
.5423
=+−
zyx
zyx
zyx
zyx
=−
yx
zx
=++
,4432
zyx
1.93.
−=−+
zyx
,2
=+
,123
=++
.4454
zyx
=+−
,622
zyx
1.96.
.1353
=−+
,5
zyx
−=+−
zxy
zyx
yx
zyx
,1
=−−
.74
zxy
=++
,52
=+−
,4353
zyx
=−+
zyx
zyx
−=+
=+−
.1072
=+−
,543
,332
.24
=++
,022
1.97.
zyx
1.98.
=+−
,533
zyx
=+−
.543
zyx
=+−
,133
zyx
1.99.
−=+−
zyx
=+−
zyx
,1243
.935
В задачах 1.100—1.110 исследовать системы линейных уравнений и в
случае их совместности найти решения:
=−+
,142
1.100.
1.103.
zyx
1.101.
−=−+
zyx
zyx
zyx
=−+
zyx
,152
−=−−
.2
=++
,432
1.104.
,32
=++
.7233
zyx
−=+−
zyx
zyx
,22
1.102.
−=++
zyx
zyx
zyx
=−+
,132
=−−
.323
=++
,432
1.105.
,32
=++
zyx
.10233
=+−
,4532
zyx
−=−+
zyx
zyx
=−−
zyx
=+−
zyx
zyx
=+−
zyx
,24
=+−
.3223
zyx
=+−
,523
,22
−=−−
zyx
.3224
,42
=−+
,332
.114
1.106.
=−+
xxx
,52
321
xxx
321
1.107.
=++
.334
xxx
321
=−−+
xxxx
−=+−
.6
,423
4321
=+−+
4=x
12
−
=
y
=
=+
,1
21
1.109.
=+
xx
xx
,532
21
=+
.754
21
=++
xxx
xxx
xxx
321
,632
321
=+−
,032
321
xxx
321
=+−
=+−
,5423
.33
1.108.
1.110.
xx
1.111. При каких значениях a и b система уравнений
xxxx
xxxx
,532
4321
=++−
,123
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
azyx
=+++
,6432
=+++
.16446
=+−
,23
bzyx
=+−
,3985
zyx
−=++
.12
1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечно
много решений ?
В задачах 1.112−−−−1.117 решить однородные системы уравнений:
=++
,0
321
1.113.
=−−
xxx
xxx
,03
321
=++
xxx
421
.032
321
=++
xxx
xxx
,0223
321
321
=−+
1.115.
=++
.0325
=++−
xxxx
xxxx
4321
,023
4321
=−−+
. 1.117.
,0
.05
1.112.
1.114.
1.116.
xxx
Глава 2
=++
xxx
,032
321
=++
xxx
xxx
,0432
321
=++
.0543
321
=−++
xxxx
=−++
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
,02322
4321
.02
=−−+
,0623
=−−−
,044
=−++
.0234
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Векторы и действия над ними
2.1. Вычислить длину вектора
2.2. Даны две координаты вектора
координату z при условии, что
a
13
.
kjia 623 +−=
и
. Определить третью
.
2.3. Определить координаты точки
,
N
{
}
−
=
(
)
−
(
)
−
(
)
−
AB
.
b
2
α
(
)
baDA⋅+
=
α
BC
DA
ABCDEK
aAB=
bBC=
CD
DE
EK
KA
AC
AD
AE
BC
CD
ABCD
BC
DC
AK
AL
=
{
}
−−=
a
r
M
OX
OY
60
=
z
r
OM
=
(
)
(
)
−
u
AB
=
u
с которой совпадает концевая точка
вектора
M
a
.
3;2;1
2.4. Даны точки
и BA.
, если его начальная точка совпадает с точкой
4;1;3
и
A
2;1;3
B
. Найти координаты векторов
1;2;1
2.5. Даны неколлинеарные векторы a и
bac 32−=
и
?
bad 63 +⋅−=
2.6. Пусть векторы a и b неколлинеарны и
,
bCD ⋅−=β4
векторов
2.7.
и
.
−правильный шестиугольник, причём
разить через a и bвекторы
. Найти числа α и β и доказать коллинеарность
,
,
,
2.8. Точки K и L служат серединами сторон
. Выразить векторы
2.9. Дан модуль вектора
и
2
a
через
и углы
Коллинеарны ли векторы
,
aAB
,
и
=
и
,
,
,
.
параллелограмма
.
120,60,45 ===
γβα
. Вы-
000
, кото-
baBC −⋅=β4
,
рые составляет вектор с осями координат. Вычислить проекции вектора на
координатные оси.
2.10. Вычислить направляющие косинусы вектора
a
.
16;15;12
2.11. Найти координаты вектора а, образующего с тремя векторами
равные острые углы, при условии, что 32=a .
kji ,,
2.12. Как должны быть связаны ненулевые векторы
место соотношение: 1)
2.13. Построить вектор
baba −=+
; 2)
kjiOMr 632 ++==
, определить его длину и напра-
вление (проверить по формуле
2.14. Радиус-вектор
− угол
координата
о
. Длина его
отрицательна, и выразить вектор
точки
r
составляет с осью
. Определить координаты точки M, если её
6
и b, чтобы имело
xx
).
1coscoscos
=++
угол
||/||/ bbaa
o
,45
а с осью
=
222
γβα
?
через орты
.
kji ,,
2.15. Даны точки
3;2;1A
и
. Построить вектор
B
6;4;3
его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора.
Построить углы вектора
2.16. Построить параллелограмм на векторах
с осями координат.
jiOA +=
и
jkOB 3−=
и
определить длины его диагоналей.
,
2.17. Даны три последовательные вершины параллелограмма:
(
)
−
(
)
−
−
(
)
−
(
)
−
(
)
(
)
−
A
(
)
−
(
)
−
−
(
)
−
BC
c
a
{
}
=
{
}
−
=
{
}
−−=
{
}
=
{
}
{
}
−
=
{
}
−
=
{
}
{
}
=
{
}
−
=
{
}
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
(
)
−
OY
M
(
)
−
(
)
−
OX
(
)
−
b
3
=
ba⋅
a
(
)
()(
)
cba32−=
60
,
A
7;4;3
и
B
2.18. Даны вершины треугольника:
Найти длину медианы, проведённой из вершины
2.19. Даны вершины треугольника
Найти длину средней линии треугольника, которая параллельна стороне
2.20. Установить, в каких случаях тройки векторов
зависимы, и в том случае, когда это возможно, представить вектор
нейную комбинацию векторов
1)
a
2)
a
3)
a
2.21. Даны:
2.22. Проверить
2;3;5
1;2;5
2;4;6
C
,
12;18;6
b
,
,
,
13=a
коллинеарность векторов
. Найти его четвертую вершину D.
3;2;1
,
A
A
и b:
2;4;1
,
,
3;6;9−=b
16;24;8 −−=b
19=b и 24=+ ba .
,
с
с
с
5;1;3
7;4;3
,
Вычислить
a
B
5;2;4−B
.
2;3;5
cba ,,
6;1;1
;
3;6;3
;
3;7;8
.
ba − .
3;1;2
и
и
C
и
C
будут линейно
как ли-
.
3;0;4
3;2;1
.
.
.
9;3;6 −−=b
Установить, какой из них длиннее и во сколько раз
одну или в противоположные стороны
2.23. Определить
2.24. Проверить
D
2.25
. На
B
2.26
. На
равно
2.27
.
пендикулярные направления
если известны величины этих сил
3;5;3
оси
5;6;5
.
оси
5.
Три силы
,
при каких значениях
коллинеарны
kjib 26α +−=
,
что четыре точки
служат вершинами трапеции
найти точку
найти точку
,, FFF
§ 2. Скалярное произведение
.
M,
,
приложенные к одной точке, имеют взаимно пер
321
.
Найти величину равнодействующей силы
?
α и β
A
.
равноудалённую от точек
,
расстояние от которой до точки
:
2;1;3
,21=F
векторы
,
2
π2
2.28. Векторы
a и
образуют угол
.
Зная
?
Как они направлены
B
=F
,
что
1;2;1
,
C
A
,10
11
=F
3
a
.
и
4=b , вы-
3
− в
kjia β32 ++−=
и
3;1;1
,
7;4;1
и
A
3;3
F,
-
числить
2.29.
векторами
: 1)
Найти длину вектора
b и c
;
2)
равен
2
;
3)
о
.
ba +
,
2
;
если
4)
.
baba 223 +⋅−
,
2=b
5=c
и
угол между
2.30. Найти
{
}
=
{
}
+−=
(
)
−
(
)
(
)
{
}
−−=
{
}
ba32−
ba2
+
(
)
(
)
−
(
)
−
−
(
)
()(
)
nma−=
2
120
∧
∧
a
ba+
ba−
+
a
0=++c
b
0=⋅+⋅+⋅accbba
(
)
(
)
b
{
}
−
=
{
}
{
}
−
=
с
b
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
−
−
{
}
=
1
=⋅a
x
2=⋅bx
3
=⋅c
x
скалярное произведение векторов
2.31. Определить
2.32.
и
2.33.
Определить углы треугольника с вершинами
5;0;0C
.
Даны векторы
угол между векторами
a
4;2;4
и
a
jia
и
2;3;6 −=b
7;4;3
и
kjib 22 +−=
A
.
Вычислить скалярное
3;1;2
,
.
2;5;2 −=b
.
1;1;1B
произведение векторов
2.34. Найти
торах
2.35
.
Найти угол между диагоналями параллелограмма, если заданы три его
вершины
2.36. Вычислить
2.37.
Дан вектор
между ними
2.38. Какому
2.39. Даны
2.40. Дано
угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век
и
kjia +−= 6
:
3;1;2A
.
Найти
условию должны удовлетворять векторы
был перпендикулярен вектору
единичные векторы
.
Вычислить
:
,
3=a
,
и
.
-
.
kjib ++= 32
и
B
,
ma
.
5=b
1;2;5
где
m и n–
и
),(cos
a, b и с,
C
222 kikkjjji −+⋅−+⋅−
единичные векторы с углом
.
),(cos
na
?
удовлетворяющие условию
.
Определить, при каком значении
.
3;3;3
2
.
о
и
чтобы вектор
,b
α
векторы
α
2.41. Даны
.
b
пр
a
2.42. Даны
числить
пр
2.43. Найти
векторы
три вектора
+
проекцию вектора
α
.
a
и
ba ⋅+
ми координат равные острые углы
2.44. Даны
D
2.45.
вершины четырёхугольника
3;5;5
.
Доказать, что его диагонали перпендикулярны
Сила, определяемая вектором
будут взаимно перпендикулярны
ba ⋅−
:
a
и
kjia 2++=
4;3;1
,
kjia 232 +−=
.
:
A
правлениям, одно из которых задано вектором
ющую силы
2.46. Найти координаты вектора
R
в
направлении вектора
x,
a.
если
.
.
Определить
kjib 4+−=
2;4;3 −=b
и
c
на
ось, составляющую с ося
2;2;1
,
,
разложена по трём на
kjiR 78 −−=
a
,
0;4;1B
,
C
.
.
Найти составля
1;2;2
,
пр
4;1;1
и
a
.
Вы-
-
1;1;4
,
-
-
,
где
{
}
=
a
{
}
{
}
=
bac×=
+
=
+
=
(
)
(
)
(
)
−
kib2+
=
()()(
)
()()(
)
(
)
(
)
()(
)
()(
)
(
)
{
}
−
=
{
}
{
}
=
{
}
−−=
{
}
OY
OZ
{
}
−
=
OX
{
}
−
=
{
}
{
}
()()(
)
b
aс×
=
с
(
)
−
(
)
(
)
AC
2.47
.
щадь параллелограмма, построенного на векторах
1)
2.48. Вычислить
и
C
2.49.
1;1;2
,
Определить и построить вектор
;
kbia 2,3 ==
площадь треугольника с вершинами
2;5;4
.
Построить параллелограмм на векторах
2;4;0=b
,
c
§ 3. Векторное произведение
2)
jia
,
3;1;10
.
;
jib −=
.
Найти в каждом случае пло
3)
a и b,
,
kja += 2
если
jia 32
,
4;3;7A
:
,
и
вычис
-
.
kjb 23 +=
6;0;1B
-
лить его площадь и длины его высот
2.50. Раскрыть
1)
2)
3)
4)
2.51. Вычислить
6;3;2=b
2.52.
Найти единичный вектор
и оси абсцисс
2.53.
Вектор
образует с осью
2.54. Вектор
скобки и упростить выражения
синус
.
.
x,
перпендикулярный векторам
m,
перпендикулярный оси
угла
,
образованного
e,
тупой угол. Зная
.
:
;
kjikkjjkji ++×++×−+×
;
acbbcbaccba ×−+×+++×++
;
bacbacba +×++−×+2
.
jikkijkji ×⋅+×⋅+×⋅ 432
векторами
перпендикулярный вектору
a
,
что
и
,
найти его координаты
26=x
вектору
3;2;4
a
a
и
1;2;2
и
3;15;8
3;4;1
3;1;0=b
.
, об-
,
a
разует с осью
2.55.
Найти вектор
и
2.56. Доказать
значение этого тождества
2.57.
Построить векторы
модуль вектора
2.58. Дан
Вычислить длину его высоты, опущенной на сторону
острый угол. Зная, что
x,
зная, что он перпендикулярен векторам
и
удовлетворяет условию
3;2;1 −=b
,
что
.
и площадь треугольника, построенного на векторах
треугольник с вершинами
bababa ×=+×− 2
,
jka 23 −=
A
51=m
, и
8;2;1
,
,
найти его координаты
a
.
1072 =−+⋅ kjix
выяснить геометрическое
,
jib 23 −=
4;0;0B
.
.
Вычислить
и
a и b.
.
1;3;2
0;2;6C
.
2.59. Вычислить
+=m
a
n2+
nmb+=
2
30
(
)
{
}
−−=
{
}
()(
)
10||=a
(
)
ba+
ba−
(
)
(
)
−
{
}
−
=
(
)
−
(
)
{
}
=
{
}
−
=
{
}
−
=
(
)
−
(
)
−
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
−
(
)
(
)
(
)
+−=ic
3
ba+
cb+
ac−
длины диагоналей и площадь параллелограмма, построен
-
ного на векторах
2.60.
Найти площадь параллелограмма
и
2.61. Дано
2.62.
тора
2.63.
2.64.
ры
2.65
.
:
Даны векторы
Дано
:
Какому условию должны удовлетворять векторы
и
Сила
,
где
m и n–
, 26=b , 72=× ba .
3=a
a
.
baba +×− 22
,
были коллинеарны
и
jka −=
единичные векторы, образующие угол
2;1;3
,
2||=b
приложена к точке
kjiF 542 +−=
мент этой силы относительно точки
2.66
.
Дана сила
F
.
Точка её приложения
2;4;3
и
?
A
.
kjib ++=
,
построенного на векторах
Вычислить
12=⋅ba
.
Вычислить
.
Найти координаты век
1;2;1 −=b
ba ⋅
ba ×
a и b,
3;2;1
.
A
.
Определить мо
1;2;0O
.
.
чтобы векто
3;1;2
.
Найти мо
о
.
-
-
-
-
мент силы относительно точки
2.67
.
точке
Три силы
A
F
1
8;4;3
.
Найти величину и направляющие косинусы момента
,
6;4;2
F
2
и
0;0;0O
направление момента сил
,
3;2;1
равнодействующей этих сил относительно точки
§ 4. Смешанное произведение
2.68. Построить
и
kjc 52 +=
?
cba ,,
2.69. Построить
и
пирамиды, опущенную на эту грань
2.70.
Показать, что точки
параллелепипед на векторах
вычислить его объем
пирамиду с вершинами
и
4;2;1C
вычислить ее объем, площадь грани
A
.
Правой или левой будет связка векторов
.
,
2;1;2
.
F
приложены к
3
7;1;1
B
6;2;4
,
jia 43 +=
,
kjb +−= 3
,
0;0;0O
ABC и
,
1;2;1B
,
0;2;5A
высоту
и
0;3;2C
0;5;2B
6;0;5D
лежат в одной плоскости
2.71. Показать
kj 612 ++
,
что векторы
компланарны. Разложить вектор
2.72. Доказать
и
,
что для любых заданных векторов
компланарны
.
kjia 23 ++−=
,
с по
векторам
a, b и c
kjib 432 −−=
,
a и b.
векторы
,
.
{
}
{
}
=
=
=
(
)
{
}
−
=
{
}
{
}
−
=
(
)
(
)
(
)
−
(
)
(
)
−
−
+=i
a
5
=
V
(
)
−
(
)
(
)
−
D
OY
(
)
(
)
−
(
)
(
)
−
063
2
=−+
y
x
0243
4
=+−
y
x
025
3
=−−
y
x
012
5
=−+
y
x
1052
=
+
y
x
043
=
+
y
x
025=−
x
052
=
+
y
02=−x
OY
3=b
OX
30α=
632
=
+
y
x
423
=
−
y
x
1243
=
−
x
y
xy4
6
−
=
2.73. При
с
2.74.
лярны
2.75.
слить
2.76.
D
2.77.
2.78. Объем
точках
вершины
2.79
.
A
2
Найти
1)
длины рёбер
3)
угол между рёбрами
5)
длину высоты пирамиды на грань
каком
1;0;3
Векторы
.
Зная, что
Даны три вектора
cba
значении
компланарны
a, b и с,
a
,
4
:
a
.
α
?
образующие правую тройку, взаимно перпендику
=b
Даны вершины тетраэдра
8;4;5
.
Найти длину высоты, которая опущена из вершины
Найти объём треугольной призмы
kj 32 ++
,
:
A
Дана
тетраэдра
1;1;2
,
если известно, что она лежит на оси
пирамида
,
1;4;2
A
3
,
kjib ++= 42
и
с
,
3;6;7
вершинами
A
4
:
,
AA
21
,
AA
31
и
AA
21
2
,
:
векторы
c
3;1;1
,
вычислить
3
,
1;3;2A
,
B
kjia ⋅++= α
,
1;2;2−=b
,
.
cba
с
2;1;4
,
5;2;3
.
7;3;6C
D.
,
построенной на векторах
jic −= 2
.
.
Три его вершины находятся в следующих
и
AA
;
41
AA
31
C
.
1;3;4
2)
;
4)
1;0;3B
3;1;2
.
Найти координаты четвертой
в
следующих точках
.
площадь грани
объём пирамиды
.
AAA
321
:
;
AAA
321
A
1
;
AAAA
4321
0;1;0=b
Вычи
и
3;2;1
-
и
-
,
Глава 3
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
§ 1. Прямая линия на плоскости
3.1.
Построить прямые
1)
5)
3.2.
Составить уравнение прямой
; 2)
; 6)
и образующей с положительным направлением оси
3.3.
Уравнения прямых привести к виду в отрезках на осях. Прямые пост
роить
1)
.
; 2)
:
; 7)
,
; 3)
; 3)
; 8)
отсекающей на оси
; 4)
; 4)
угол
; 9)
отрезок
о
.
.
;
.
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]