Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач и упражнений по математике. Часть 1. Учебное пособие для вузов
.pdf
OX
OY
(
)
−
(
)
(
)
−
OA
(
)
2
−
=
y
4=y
054
3
=−−
y
x
AB
1−=
x
3=x
1
2
+
=
x
y
AB
x
y
−
<
2
2−>
x
2
−
>
y
x
y
−
>
2
4<x
0<y
12/4/
≤
+
y
x
2
+
≥
x
y
4−≥
x
xyx
+<<−−
2
2
42<<−
x
0294
3
=−−
y
x
0195
2
=++
y
x
ABC
AB
053
4
=−+
y
x
BC
0103
=+−
y
x
AC:02=−x
043
2
=++
y
x
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
(
)
(
)
(
)
−
(
)
(
)
−
−
(
)
3.4.
Составить уравнение прямой, отсекающей на оси
3 ед., а на
3.5. Написать
через точку
3.6. Даны
оси
отрезок длиной
уравнение прямой, которая проходит через начало координат и
точки
.
Прямую построить
3;2
и
0;0O
A
4 ед.
. На
0;3
Выполнить построение
.
отрезке
отрезок длиной
.
построен параллело
-
грамм, диагонали которого пересекаются в точке
нения сторон и диагоналей параллелограмма
3.7. Прямые
венно в точках
екции на оси координат
3.8.
Прямые
в точках
динат
.
3.9. Изобразить
воряют неравенствам
1)
3)
3.10.
Найти точку пересечения двух прямых
3.11.
Стороны треугольника
:
A и B.
A и B.
,
и
пересекают прямую
Построить вектор
.
и
пересекают прямую
Определить длину вектора
геометрическое место точек, координаты которых удовлет
:
,
,
,
; 2)
,
:
; 4)
заданы соответственно уравнениями
,
.
,
определить его длину и про
и его проекции на оси коор
2;0B
.
Написать урав
соответст
-
-
-
соответственно
-
-
,
,
,
,
;
.
.
Определить коорди
-
наты его вершин
.
Примечание. Здесь и в дальнейшем под уравнением сторон мы будем
понимать уравнения прямых, на которых лежат стороны
3.12. Дана
ходит через точку
1)
параллельно данной прямой
3.13.
ка
A
ронам
3.14.
Составить уравнения его сторон
3.15. Даны
уравнения его высот
прямая
:
1;2M
.
Составить уравнение прямой, которая про
; 2)
перпендикулярно к данной прямой
Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольни
,
4;5
B
и
3;1
C
параллельно противоположным сто
2;3
.
Даны середины сторон треугольника
M
1;2
1
.
вершины треугольника
,
1;2A
B
.
.
,
M
2
,
1;1
,
3;5
M
.
2;3C
.
-
3
4;3
Составить
-
-
.
3.16. Даны
(
)
−
(
)
−
(
)
072
5
=−+
y
x
0362
5
=−+
y
x
0107
3
=−+
y
x
053
2
=+−
y
x
072
3
=−+
y
x
(
)
−
(
)
−
035
4
=+−
y
x
(
)
−
033
2
=−−
y
x
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
(
)
(
)
−
−
053
=+−
y
x
013
=−+
y
x
014
3
=+−
y
x
073
4
=+−
y
x
0715
6
=+−
y
x
034
10
=−+
y
x
0512
9
=+−
y
x
0136
8
=−+
y
x
012
=−−
y
ax
046
=−−
byx
032
=+−
y
x
+
+
y
x
0
3
=
+
0
13
=−+
y
ax
0124
3
=−−
y
x
(
)
(
)
−
072
=−−
y
x
вершины треугольника
A
,
1;1
B
и
1;2
5;3C
.
Соста
-
вить уравнение перпендикуляра
проведенную из вершины
3.17. Даны
уравнения двух сторон прямоугольника
и
уравнение одной из его диагоналей
B.
,
опущенного из вершины
A на
медиану
. Со-
ставить уравнения двух других сторон этого прямоугольника и второй
диагонали
3.18.
Даны уравнения двух сторон прямоугольника
других сторон этого прямоугольника и его диагоналей
3.19.
Найти проекцию точки
3.20. Найти
тельно прямой
3.21.
наковых расстояниях от точек
3.22
.
.
и
одна из его вершин
координаты точки
M
Q,
.
A
.
Составить уравнения двух
3;2
.
на
4;6
прямую
симметричной точке
P
Составить уравнение прямой, проходящей через точку
Найти проекцию точки
A
P
3;7
12;8
и
на
.
B
15;11
прямую, проходящую через
.
относи
13;5
на
5;3P
оди
,
,
,
-
-
точки
3.23.
мой
3.24.
1)
3)
3.25.
A
Найти точку
,
проходящей через точки
Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны
и
3;2
B
M
1
,
,
Определить, при каких значениях
:
1)
имеют одну общую точку
3.26.
Определить
,
при каком значении
,
3.27. Вычислить
площадь треугольника, отсекаемого прямой
от координатного угла
3.28.
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку
.
1;5
,
симметричную точке
4;3A
и
B
M
2
; 2)
; 4)
a и b
; 2)
параллельны
a
три прямые
будут пересекаться в одной точке
две прямые
; 3)
совпадают
.
относительно пря
3;5
.
2;1
,
,
.
.
,
:
6;8P
-
;
.
и
и
отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной
3.29.
Точка
лежит на прямой
A
является вершиной квадрата, одна из сторон которого
5;2
.
Вычислить площадь этого квадрата
12 кв. ед.
.
3.30.
052
3
=−−
y
x
073
2
=++
y
x
(
)
−
032
=++
y
x
(
)
−
(
)
063
2
=+−
y
x
(
)
−
−
(
)
−
0104
3
=−−
y
x
058
6
=+−
y
x
02612
5
=+−
y
x
01312
5
=−−
y
x
0153
4
=+−
y
x, 0256
8
=+−
y
x
03910
24
=+−
y
x, 0265
12
=−−
y
x
012
5
=−−
y
x
+
−
yx2
5
0
7
=
+
092
5
=−−
y
x
052
3
=+−
y
x
013
4
=−+
y
x
3−=
b
022
=−+
y
x, 0235
=−−
y
x
(
)
−
(
)
−
−
024432
=−−
−
zyx
07532
=−+
−
zyx
034
=−+
zyx
632=+zx
1232
=
−
z
y
432
=
−
x
y
052
=−z
x
023
=
+
y
x
0
=
−
z
y
072=−
z
053
=
+
y
063=+
x
02=−z
0
3=y
0=x
063
2
=−−
+
zyx
(
)
−
−
Даны
уравнения
и
одна из его вершин
двух
сторон
прямоугольника
.
A
1;2
Вычислить площадь этого
,
прямоугольника
3.31.
Доказать, что прямая
точками
3.32.
M
Доказать
ченный точками
3.33.
Вычислить расстояние
.
1
,
что прямая
M
,
1;5
1
из следующих случаев
1)
,
3)
3.34.
Доказать
,
что прямая
и
3.35.
прямых
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
:
,
M
2
3;2
d
.
7;3
,
M
2
между параллельными прямыми в каждом
; 2)
пересекает отрезок, ограниченный
не
пересекает отрезок, ограни
.
2;1
,
; 4)
и
делит расстояние между ними пополам
и
параллельна прямым
отсекающей на оси ординат отре
-
;
.
.
-
зок
3.36.
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересече
ния прямых
ченный точками
.
M
6;5
3.37. Найти
точки пересечения плоскости
динат. Плоскость построить
3.38. Построить
1)
5)
10)
3.39. Дано
плоскости
; 2)
; 6)
; 11)
уравнение плоскости
и
N
4;1
§ 2. Плоскость
.
:
; 7)
; 12)
и
делит пополам отрезок, ограни
.
; 3)
; 8)
; 13)
.
Написать для нее уравне
; 4)
; 9)
; 14)
с
осями коор
-
-
-
;
;
.
-
ние в отрезках
3.40. Составить
M
чины
.
Плоскость построить
4;3;2
.
Плоскость построить
уравнение
и
отсекает на координатных осях отрезки одинаковой вели
плоскости
.
,
которая
проходит
через
.
точку
-
(
)
−
−
(
)
−
−
(
)
−
3−=
a
2=c
(
)
−
OM
07532
=−+
−
zyx
03532
=++
−
zyx
05424
=+−
+
zyx
012
2
=−+
+
zyx
023=+−z
x
0762=−−zx
(
)
−
010232
=−+
−
zyx
03235
=−+
−
zyx
(
)
−
−
053
2
=+−zx
(
)
−
(
)
−
−
MN
(
)
−
{
}
−
=
{
}
−
=
(
)
−
(
)
{
}
−
=
(
)
0
=−−
zyx
.2x
y
=
(
)
−
(
)
−
−
(
)
3.41. Составить
M
1
уравнение
,
1;4;1
M
2
отрезки одинаковой длины
3.42. Плоскость
проходит через точку
плоскости
и
10;2;13
.
Плоскость построить
,
которая
отсекает на осях абсцисс и аппликат
M
проходит
.
и
1;10;6
через
точки
отсекает на оси абс
-
цисс отрезок
, а на
оси аппликат отрезок
плоскости уравнение в отрезках
3.43. Написать
перпендикулярной вектору
3.44. Установить
лельные плоскости
1)
2)
3)
3.45. Составить
параллельно плоскости
3.46.
Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало коор
динат параллельно плоскости
3.47.
Составить
M
3.48. Даны
уравнение плоскости, проходящей через точку
и
уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости
7;2;3
две точки
,
какие из следующих пар уравнений определяют парал
.
:
и
и
уравнение
M
плоскости
.
Плоскость построить
;
;
.
.
.
,
которая
и
2;1;3
N
.
Составить для этой
.
M
M
проходит
через
.
.
Составить уравнение
1;2;4
точку
и
3;2;1
-
5;4;3
-
плоскости, проходящей через точку
3.49. Составить
параллельно двум векторам
3.50. Составить
и
3.51.
2;1;3N
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярной к плоскостям
3.52. Составить
M
1
3.53. Установить
пендикулярные плоскости
уравнение плоскости, проходящей через точку
уравнение плоскости, проходящей через точки
параллельно вектору
уравнение
,
M
2;1;3
2
,
какие из следующих пар уравнений определяют пер
:
a
плоскости
и
1;1;4
M
a
M
3
перпендикулярно вектору
1;1;3
и
b
1;2;1
.
4;1;3
.
и
,
проходящей
.
2;0;2
через
три
M
M
.
2;0;0
точки
5;4;3
3;1;2
и
-
1)
052
3
=−−
−
zyx
023
9
=+−
+
zyx
033
2
=−−
+
zyx
0
5
=+−
−
zyx
052
=+−
zyx
032=−+z
x
1
=++
zyx
073
2
=−+
−
zyx
013
2
=−+
−
zyx
0
2
=++
zyx
(
)
−
012
=+−zx
{
}
072
=−+
−
zyx
022
=+−
+
zyx
0112
3
=−+
−
zyx
(
)
(
)
;
OX
(
)
(
)
;
OZ
(
)
(
)
.
OY
(
)
−
OX
OY
OZ
(
)
−
;
XOY
(
)
−
;
XOZ
(
)
−
−
.
YOZ
(
)
−
−
032
2
=++
−
zyx
(
)
−
−
01512
16
=+−
zyx
(
)
−
045
=
+
y
(
)
−
0134=−−zx
(
)
−
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
0122
2
=−−
−
zyx
062
2
=−−
−
zyx
2)
3)
4)
3.54.
,
Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало коор
,
,
,
;
;
динат перпендикулярно двум плоскостям
3.55. Составить
M
1;1;2
уравнение
перпендикулярно
плоскости
плоскости
;
.
:
,
которая
проходит
и
и
через
точку
параллельно
-
.
вектору
3.56. Установить
3.57. Составить
1)
через точки
2)
точки
3)
точки
3.58. Написать
M
3;4;2
3.59. Составить
1)
через точку
2)
3)
точку
точку
N
P
уравнение плоскости, которая проходит
M
1
M
1
уравнение плоскости
и
через
M
3.60. Вычислить
щих случаев
1)
M
3)
M
:
3;4;2
3;2;1
,
3.61. Вычислить
.
1;2;1 −=b
,
что три плоскости
имеют одну общую точку. Вычислить ее координаты
,
:
M
1
0;1;3
3;0;3
1)
уравнение плоскости
4;2;1
1;2;5
расстояние
,
расстояние
3;1;0
и
и
M
и
M
ось
3;3;2
параллельно плоскости
параллельно плоскости
d
M
2
0;3;1
2
2
; 2)
параллельно оси
0;0;5
параллельно оси
,
которая проходит через точку
ось
,
которая проходит
параллельно плоскости
точки
M от
; 2)
M
; 4)
d от
точки
P
5;4;2
параллельно оси
; 3)
ось
.
:
плоскости в каждом из следую
1;1;2
,
2;1;1
7;6;3
,
до
плоскости, прохо
M
и
.
-
;
.
-
дящей через три точки
3.62. В
каждом из следующих случаев вычислить расстояние между двумя
:
M
1
параллельными плоскостями
1)
и
:
,
1;1;1
M
2
,
3;1;2
M
3
.
2;5;4
;
014632
=−+
−
zyx
0211264
=++
−
zyx
OY
022
2
=−−
+
zyx
4=d
OZ
(
)
−
09623
=−+
−
zyx
OX
−
x
12
0115
16
=++
−
z
y
012
2
=−−
+
zyx
=
(
)
{
}
−
=
.
YOZ
+
=
13221
−=−=−
XOY
.
XOZ
(
)
−
{
}
−
=
11225
+=+=−
OX
;
OY
=−+
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
(
)
−
(
)
(
)
−
−
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
−
2)
3.63.
На
оси
и
найти точку, отстоящую от плоскости
.
на расстоянии
3.64. На
плоскости
3.65.
На
оси
оси
.
найти точку, равноудаленную от точки
найти точку
,
§ 3. Прямая в пространстве
3.66. Построить
прямые
: 1)
их направляющие векторы
3.67. Написать
параллельно вектору
3.68.
Построить прямые
ды на плоскостях
3.69.
Составить канонические уравнения прямых, проходящих через точку
M
1)
вектору
уравнения
3;0;2
параллельно
a
u
и
5;3;2
.
:
; 2)
M
.
,
равноудаленную от двух плоскостей
.
,3
y
==.3
z
прямой
1;1;1
,5
zx
−=
zy
2)
,
проходящей через точку
.
Найти след прямой на плоскости
и
.24
,2
y
3)
+=
.1
xz
3
x
==.,4yz
zyx
и
прямой
1
zyx
; 3)
−
0;2;1
и от
:
Определить
0;3;4A
найти их сле
оси
;
-
4)
оси
3.70.
Составить канонические уравнения прямых, проходящих через две
5)
данные точки
1)
3)
3.71.
Составить параметрические уравнения прямых, проходящих через две
1;2;1
3;1;2
данные точки
1)
2;1;3
:
и
и
:
и
прямой
; 2)
1;1;3
; 4)
51;2
; 2)
1;1;2
−=
,13
=+−+
,0352
6)
.022
прямой
zyx
zyx
tx
+−=
,32
ty
+=
.25
tz
0;1;3
и
4;4;4
и
;
3;0;1
.
2;4;4
2;1;1
и
;
0;1;3
3)
(
)
−
−
(
)
−
(
)
−
−
(
)
(
)
(
)
−
(
)
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
=−+
−
(
)
−
=
−
=−+
−
=
=
−
=−−
+
=−−
+
1
213
−=+
=−+
=−+
=−−
+
=++
+
3.72.
и
3;1;2
Написать уравнения траектории точки
; 4)
51;2
и
1;1;2
zyxM ;;
,
.
1;1;2
которая, выйдя из
точки
3.73.
делить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями
3.74. Даны
.
ны
3.75. Написать
B
3.76. Составить
M
3.77.
раллельно прямой
3.78. Составить
1)
3.79. Составить
1)
3.80. Проверить
1)
2)
3)
A
Через точки
Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из верши
C.
2;6;2
5;3;2
Написать уравнения прямой, проходящей через точку
2
+=
tx
+−=
ty
−=
tz
1;3;4
,
движется со скоростью
M
1
вершины треугольника
уравнения прямой
.
Н
айти направляющие косинусы прямой
канонические уравнения прямой
5;6;6
и
M
A
,
проходящей через точки
параллельно прямой
,0432
=−−+
.04523
,0432
2)
.01253
yx
+=
2)
.12,2zy
,0
x
zyx
=−−−
zyx
zyx
zyx
=−−−
zyx
канонические уравнения следующих прямых
zyx
zyx
параметрические уравнения следующих прямых
zyx
=++−
zyx
,
будут ли данные прямые параллельны
zyx
=
и
−
,03
zyx
и
=+−
.0
zyx
,52
и
,2
.7
2
7;6;3
1;3;2V
1;6;12
проведена прямая. Опре
,
B
,
проходящей через точку
zyx
=+−+
zyx
3)
=++
zy
zyx
zyx
.085,0zyx
.0123
,062
=++−
.012
,0152
=−+−
.0932
,023
.023
.
3;2;5
,
C
A
.
3;2;1
,0723
.0323
M
:
y
:
=+
z
:
1;4;1
,03
.01
-
.
2;7;4
-
и
па-
3.81. Показать
321
+
=
3
211
−
=+−
+
=+−
+
=−−
+
=++
+
+=−
2
+=−=+
=−−
−
=+−
−
−
=
111
−=−
=−+
−
=−+
+
3.82. Доказать
1)
=
=
−
+=
tx
−=
ty
+−=
tz
zyx
2)
3)
3.83. Найти
zyx
,
что прямая
перпендикулярность прямых
zyx
и
==
перпендикулярна к прямой
zyx
,12
и
,23
.16
zyx
острый
=−−−
,013
и
.0292
угол
между
:
,0153
=+−+
zyx
zyx
=+−−
zyx
zyx
zyx
=+−−
прямыми
xy
−=
.1,1xz
.03832
,0242
.0454
,0522
.0222
:
3 zyx
1
2
=
1
−
и
2
2
1
3.84. Найти
3
zyx
1
тупой угол между прямыми
3.85. Определить
zyx
3.86.
Определить угол между прямыми
3.87. Найти
3.88. Доказать
zyx
угол между прямыми
,
5
.
косинус угла между прямыми
=−−+
,054
0422
и
zyx
=−++
zyx
:
:
что прямые
,
заданные
−=
tx
=
,0
y
+−=
tz
:
,0266
.01922
,12zyzx
и
+−=
12
zyx
zyx
уравнениями
,04
=+−+
0522
,23
и
.3
и
−=
,12
tx
=
y
tz
,0
−=
.3
zyx
=
zyx
.
,04
=−−+
zyx
−=
,32
tx
−=
,23
ty
+−=
tz
.0632
и
64
+=
,5
tx
−−=
ty
−=
tz
пересекаются
,14
,4
.
3.89. Даны
413
2
−
−
+
274
−=−=−
l
(
)
−
{
}
−−=
532131−
−=+=−
(
)
;
OZ
OZ
=−+
−
=−+
+
[
]
(
)
−
OZ
(
)
(
)
−
OY
23211
+=+=−
21211
+=−=−
(
)
−
−
.0253
6
=+−
−
zyx
(
)
−
−
42312
+
−=+
(
)
−
−
=
−
=
042
=−+
+
zyx
прямые
2
=
=
zyx
и
x
13
zy
.
При каком
значении
3.90. Составить
M
l
они пересекаются
уравнения прямой
перпендикулярно к вектору
3;2;1
?
,
которая проходит через точку
a
3;2;6
и
zyx
прямую
3.91. Написать
1)
параллельно оси
3.92. Найти
как векторное произведение нормальных векторов плоскостей
3.93. Написать
на ось
3.94. Написать
угол между прямыми
Указание.
.
Указание.
.
уравнения прямой, проходящей через точку
Направляющий вектор каждой из прямых можно определить
уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
Искомая прямая проходит ещё через точку
уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
2)
перпендикулярно к оси
zyx
zyx
,04
=+−+
и
0522
.
пересекает
cba ;;
zyx
zyx
M
4;0;0
.
M
:
,04
=−−+
.0632
.
.
NNP
×=
1
4;8;2
5;3;2
на
ось
.
3.95. Найти
2
3.96.
Составить уравнения прямой
перпендикулярно плоскости
3.97. Составить
перпендикулярно прямой
3.98. Написать
перпендикулярно к прямой
расстояние между параллельными прямыми
zyx
и
§ 4. Прямая и плоскость в пространстве
уравнение плоскости, проходящей через точку
уравнение плоскости, проходящей через точку
3.99. Найти
угол прямой
1
,
3
zyx
.
проходящей через точку
zyx
=
.
M
M
5;3;2
1;1;1
−
M
,2
x
zy
=−
.1
3;2;1
,13xzxy
с
плоскостью
+−=
232
.
3.100. Доказать
−
=
−
−
yx3
4
056
=−−
z
53142
−=+=−
0
2
=−+
zyx
33112
+=+=+
=−+
−
07734
=−+
−
zyx
2323
+=−=+
m
076
3
=++
−
zyx
=++
−
022
=−+
−
Czyx
11231
+
−
−=−
(
)
22211
+=+=−
432
=−+
zyx
211
2
−==−
2
112
−=+
032
3
=−+
−
zyx
11112
+=−
0293
2
=−+
+
zyx
,
.
3.101. Показать
что прямая
,
что прямая
,23
tx
+−=
,14
ty
параллельна плоскости
−=
54
tz
1
zyx
параллельна
плоскости
, а
3.102. Доказать
3.103. При
плоскости
3.104. При
плоскости
каком значении
каком значении
3.105. Написать
2
zyx
=
3.106. Написать
прямая
,
что прямая
.
уравнение
и
уравнение
точку
1
m
С
прямая
?
прямая
?
плоскости
плоскости
zyx
−
zyx
,
проходящей
0;4;3
.
,
лежит в этой плоскости
zyx
=−−−
1
,05235
лежит
в
012
yx
z
параллельна
−
,0323
параллельна
=++−
01434
прямую
через
zyx
zyx
через
проходящей
.
плоскости
прямую
1
zyx
3.107. Написать
3
прямые
3.108. Найти
1)
прямой
2)
прямой
точку пересечения
=
перпендикулярно к плоскости
уравнение плоскости
zyx
1 zyx
и
,
проходящей
=
:
−=
tx
,12
с
+=
ty
,2
−=
tz
1
плоскостью
zyx
с
плоскостью
через
.
параллельные
.
;
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]