Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Отношение отрезков и площадей геометрических фигур. Учебное пособие для студентов
.pdf
- 1 -
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е. В. КРУМ
ОТНОШЕНИЕ ОТРЕЗКОВ И ПЛОЩАДЕЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Учебное пособие
КЫЗЫЛ – 2022
- 2 -
УДК 514.144
ББК 22.151.32
К 84
Печатается по решению Учебно-методического совета
Тувинского государственного университета.
Рецензенты: Троякова Г.А., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
математики и МПМ ФГБОУ ВО «Тувинский государственный университет»
Яговдик Н.В., учитель математики высшей категории, МАОУ «Лицей № 15
им. Героя Советского Союза Н.Н. Макаренко», почетный работник общего
образования РФ, заслуженный работник образования РТ, г. Кызыл
К 84 Крум, Е.В. Отношение отрезков и площадей геометрических фигур : учебное
пособие для студентов / Е.В. Крум. – Кызыл : Издательство ТувГУ, 2022. – 73 с. – Текст :
непосредственный.
ISBN 978-5-6048414-1-9
Пособие предназначено для организации аудиторной и самостоятельной работы
студентов, изучающих геометрию. В нем приведен авторский курс лекций по одному из
разделов элементарной геометрии – сравнение отрезков и площадей геометрических фигур.
Данное пособие окажет несомненную помощь начинающим преподавателям и студентам –
будущим учителям математики. Также будет интересен школьникам, увлекающимся
математикой.
© Крум Е.В.
© Тувинский государственный университет
- 3 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................................................... - 4 -
1. Отношения отрезков ..................................................................................................... - 5 -
1.1. Простое отношение трех точек, лежащих на одной прямой ................................. - 6 -
Задания для самостоятельной работы ....................................................................... - 9 -
1.2. Отношение отрезков в треугольнике .................................................................... - 11 -
Задания для самостоятельной работы ..................................................................... - 21 -
1.3. Отрезки в трапеции ................................................................................................. - 23 -
Задания для самостоятельной работы ..................................................................... - 28 -
1.4. Отрезки в параллелограмме ................................................................................... - 29 -
Задания для самостоятельной работы ..................................................................... - 33 -
2. Отношения площадей ................................................................................................. - 34 -
2.1. Подобные треугольники ......................................................................................... - 34 -
Задания для самостоятельной работы ..................................................................... - 39 -
2.2. Отношения площадей треугольников ................................................................... - 40 -
Задания для самостоятельной работы ..................................................................... - 45 -
2.3. Отношение площадей в трапеции .......................................................................... - 46 -
Задания для самостоятельной работы ..................................................................... - 57 -
2.4. Отношение площадей в параллелограмме ............................................................... - 59 -
Задания для самостоятельной работы ..................................................................... - 63 -
3. Еще о площади четырехугольника ............................................................................ - 67 -
4. Дополнительная литература ............................................................................................. - 72 -
- 4 -
Введение
Очень часто встречаются задачи, в том числе на ОГЭ и ЕГЭ, в которых необходимо найти
не сами конкретные геометрические величины - длины отрезков или площади фигур, а
сравнить эту длину или площадь с длиной или площадью уже известного объекта, то есть
найти отношение величин – во сколько раз искомая длина или площадь больше, или меньше.
И так как разговор идет об отношениях величин, то они не зависят от единиц измерения
и размеров фигур – ведь при подобном сжатии-расширении рисунка все длины, как известно,
умножаются на коэффициент подобия, площади – соответственно на его квадрат, и как
следствие, отношения длин или площадей остаются неизменными.
Для более «красивого» решения бывает целесообразнее не прибегать к
непосредственным вычислениям геометрических величин (длины, площади), а сравнивать
искомые с уже известными, даже если в задаче дана информация о форме фигуры, о длинах и
углах. То есть – выгоднее вести расчет не непосредственно, а определяя, какая доля длины или
площади исходной фигуры приходится на тот или иной её кусок.
Данное пособие - авторский курс дисциплины «Теория отношений отрезков и
площадей», содержит теоретический и практический материал для получения знаний и
умений решать задачи такого типа.
Материал пособия будет интересен не только студентам физико-математических
направлений подготовки и учителям-предметникам, но и школьникам, увлекающимся
геометрией. Автор благодарит рецензентов за ценные замечания.
- 5 -
1. Отношения отрезков
Как известно, отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя различными точками.
Если обозначить точки A и B, которые будем называть концами этого отрезка, то отрезок
обозначается AB, при этом не важно, в каком порядке мы указываем его концы. Отрезок BA и
отрезок AB — это один и тот же отрезок.
Рис 1
Направление отрезка становится важным, когда рассматриваются векторы, а это
отдельный раздел математики. Хотя в некоторых наших рассуждениях мы будем использовать
понятие вектора.
Каждый отрезок имеет определённую длину, которая является положительным числом
и не зависит от направления отрезка (первое свойство длины).
Единица измерения длины обычно не указывается, но предполагается выбранной. Так,
например, под записью AB = 5 понимается, что длина отрезка AB равна 5 единицам, каким
именно — сантиметрам, миллиметрам, футам или дюймам — несущественно, и по первому
свойству АВ = ВА.
Отрезки называются равными, если их длины равны. Равные отрезки можно наложить
друг на друга так, что они полностью совпадут. Если точка M лежит между точками A и B, то
отрезок AB разбивается на два отрезка AM и MB. Длина отрезка AB при этом равна сумме длин
отрезков AM и MB - второе свойство длины (рис. 2).
AB = AM + MB
Рис. 2 Рис. 3
Здесь важно не забывать, что это справедливо только для трёх точек, лежащих на одной
прямой. В случае, когда точки на одной прямой не лежат, мы получим треугольник, для
сторон которого справедливо неравенство, называемое неравенством треугольника (рис. 3).
AB < AM + MB
Отношение длин двух отрезков не зависит от выбранной единицы измерения длины.
Поэтому говорят просто об отношении отрезков.
Если, например, в задаче сказано, что AB : BC = 2 : 3, это вовсе не означает, что АВ=2, а
ВС=3, это может быть и АВ=20, а ВС=30, и АВ= 12, а ВС=18 и т.д.
Для AB : BC = 2 : 3 это означает что длина отрезка АВ составляет
от длины отрезка ВС
или длина отрезка ВС составляет
от длины отрезка АВ. Можно сказать и другими словами:
АВ в
раза короче ВС, или ВС в полтора раза длиннее АВ (рис. 4).
Рис. 4
Т.е. речь идет о пропорциональности отрезков. Поэтому при решении задач, если будут
нужны именно длины, то нужно будет вводить этот самый коэффициент пропорциональности
(или единицу измерения) отрезков. Например, если АВ : ВС = 2 : 3, то в длинах это будет
АВ = 2х , а ВС = 3х (или любая другая буква – а, у, t, b, z и т.п.)
Так же можно делать и в случае тройного отношения отрезков.
Например, для отношения AB : BC : CD = 2 : 3 : 7 (рис. 5), можно обозначить:
AB = 2x, BC = 3x, CD = 7x.
- 6 -
Рис 5
Понятия площади и объема как правило вводятся через единицу длины. Если выбрана
некоторая единица длины, тогда единицей площади является площадь квадрата, сторона
которого равна единице длины (рис. 6), а единицей объема – объем куба, ребро которого также
равно единице длины (рис. 7).
Рис. 6 Рис. 7
1.1. Простое отношение трех точек, лежащих на одной прямой
Рассмотрим три различные точки А, В и С, лежащие на одной прямой.
Определение: Простым отношением трех различных точек А, В, Сl называется число λ
такое, что
.
При этом говорят, что точка С делит отрезок АВ в отношении λ.
Обозначение: λ=(АВ,С).
Так как точка С может располагаться внутри отрезка АВ (лежать между А и В), так и вне
отрезка (лежать на прямой, но за пределами отрезка), то векторы и
могут быть как
сонаправленными, так и противоположно направленными (рис.8).
Рис .8
Значит величина λ может быть как положительной, так и отрицательной.
Величину λ можно найти как отношение длин отрезков АС и СВ, с учетом знака λ =
Если С
AB, тогда , а значит λ > 0.
Если С
AB, тогда , а значит λ < 0.
Свойства простого отношения
1. λ ≠ 0, λ ≠ -1.
Доказательство:
Предположим противное, т.е. λ = 0 или λ= -1.
Если λ=(АВ,С)=0 А = С;
если λ=(АВ,С)= -1 А = В.
Это противоречит тому, что точки А, В, С различные.
2. (АВ,С) и (ВА,С) взаимно обратны, т.е. (АВ,С) =
.
Доказательство: Запишем простые отношения отрезков:
- 7 -
Если С АВ, тогда С ВА, тогда оба простых отношения положительные и взаимно
обратные, так как .
Если С АВ, тогда С ВА, тогда оба числа отрицательные и взаимно обратные.
3. Для любых двух различных точек и любого числа λ отличного от 0 и -1 (λ≠0 и λ≠ - 1)
существует только одна точка, состоящая с двумя данными в данном простом отношении λ.
Доказательство: Пусть даны точки А и В и простое отношение λ. Найдем третью точку С.
Если ввести какую-либо аффинную систему координат на прямой тогда будут известны
координаты точек А и В - А(α) и В(β).
Пусть - С(х), тогда = (х – α) и
= (β - х).
По определению простого отношения
(х – α) = λ·(β - х) х + λ·х = α + λ·β
Т.о. третью точку найти можно, и она единственна, т.к. λ ≠ - 1.
Пусть даны точки А(α) и С(γ) и простое отношение λ. Найдем координаты второй
точки В.
Если обозначить - В(х), то тогда = (γ – α) и
= (х - γ).
По определению простого отношения
(γ – α) = λ·(х - γ) λ·х = γ - α + λ·γ
Т.о. вторую точку найти можно, и она единственна, т.к. λ ≠ 0.
Аналогичным образом можно доказать для первой точки.
Докажите самостоятельно, что координата первой точки равна
или .
4. (АВ,С)=1 С – середина АВ (Докажите самостоятельно).
5. Если точки имеют аффинные координаты А(α), В(β), С(γ), тогда λ =
−
−
Доказательство: Вектор
АС
= ( γ - α ), вектор
СВ
= ( β – γ ).
СВАС =
( γ - α ) = λ∙( β – γ ) λ =
−
−
- здесь уже учтен знак простого
отношения.
Схема для запоминания Формула для вычисления
Напомним ещё раз, что, когда мы говорим об отношении отрезков, имеется ввиду именно
отношение, а не конкретные длины этих отрезков, т.е. сравнивается один отрезок с другим –
во сколько раз один отрезок больше (или меньше) другого.
Примеры решения задач
Задача 1. Дано: А(2), В(-1), С(3). Найдите (АВ,С), (АС,В).
Решение: Изобразим точки на координатной прямой (рис. 9).
Рис. 9
По рисунку 9 видно, что точка С не принадлежит отрезку АВ, и длины отрезков
АС = 1 ед., ВС = 4 ед.
Тогда
.
- 8 -
Точка В не принадлежит отрезку АС, АВ = 3 ед., ВС = 4 ед., тогда
.
Задача 2. Найдите координаты точки С, если даны: А(4), В(9), (АВ,С)=
2
3
.
Решение: Пусть третья точка С имеет координату х. Так как простое отношение (АВ,С)>0, то
точка С лежит внутри отрезка АВ (рис. 10) и её можно найти следующим образом:
Рис. 10
|АС|= х – 4, |ВС|= 9 – х , тогда
х
х
САВ
−
−
==
9
4
2
3
),(
3·( 9 – х ) = 2·( х – 4 ), 27 – 3х = 2х – 8, 35 = 5х , х = 7 .
Задача 3. Найдите координаты точки А, если даны: С(5), В(9), (АВ,С)=
2
3
.
Решение: Пусть точка А имеет координату х. Так как простое отношение (АВ,С)>0, то точка С
лежит внутри отрезка АВ (рис. 11) и её можно найти следующим образом:
Рис. 11
| АС | = 5 - х , | ВС | = 9 – 5 = 4 , тогда
3·4 = 2·( 5 – х ), 12 – 10 = - 2х , х = - 1 .
Задача 4. Найдите отношение отрезков МР : РВ : ВК, если
2
3
ВК
МВ
=
и
6
1
РК
МР
=
Решение: Сделаем схематичный рисунок (рис.12).
Рис. 12
Перейдем к длинам отрезков, для этого введем коэффициенты пропорциональности:
МВ : ВК = 3 : 2 , тогда МВ = 3х и ВК = 2х.
МР : РК = 1 : 6 , тогда МР = у и РК = 6у.
МК = МВ + ВК = 3х + 2х = 5х с другой стороны МК = МР + РК = у + 6у = 7у .
Приравняв два полученных выражения, получим 5х =7у, решая это уравнение, получаем
следующие соотношения х=
у
5
7
или у=
х
7
5
.
Теперь можно перейти к оной какой-либо единице х или у. Перейдем например к у ,
т.е. х = 1,4 у .
Тогда МВ = 3х =3·1,4 у = 4,2 у и ВК = 2х = 2·1,4 у = 2,8 у, (рис. 13).
РВ = МВ – МР = 4,2 у - у = 3,2 у или РВ = РК – ВК = 6 у – 2,8 у = 3,2 у.
Рис. 13
Т.о. МР : РВ : ВК = у : 3,2 у : 2,8 у | : у (сократим на у)
МР : РВ : ВК = 1 : 3,2 : 2,8 | ·5 (умножим на 5)
- 9 -
МР : РВ : ВК = 5 : 16 : 14.
Проверка:
МР = 5z, РК = РВ + ВК = 16z +14z =30z, значит МР : РК = 5 z : 30 z = 1 : 6.
МВ = МР + РВ = 5z +16z = 21z, ВК = 14z, значит МВ : ВК = 21 z : 14 z = 3 : 2.
Задания для самостоятельной работы
1. По рисунку 14 найдите простые отношения точек.
Рис. 14
(АВ,С), (СА,Т), (КС,В), (ТВ,А), (МА,К), (ВА,С), (АК,Р), (АР,Т), (ТС,М), (ВМ,Р), (КВ,С),
(МК,С), (СК,Т).
2. Даны точки: М(2), В(-1), К(3), Р(-5), С(7). Найдите простые отношения точек (РВ,С),
(СМ,Р), (КС,В), (РВ,К), (МС,К), (ВК,С), (КС,М), (ВМ,Р), (КВ,С), (МК,С).
3. Даны точки: М(4), В(-1), К(3), Р(-5), С(9). Найдите такие точки А, Т, Х, О, D, У, Н, N, V, F,
чтобы простые отношения были равны (РВ,А)=2, (ТМ,Р)=1, (КУ,В)= - 0,5, (РХ,К)= - 2,
(МС,Н)= - 3, (ВО,С)= - 1,6, (КС,D)= 5, (NМ,Р)= 0,5, (VВ,С)= 4, (МК,F)=
.
4. Даны точки: A(4), L(-1), F(3), С(-9). Найдите такие точки Н, О, D, V, чтобы простые
отношения были равны (AС,Н)= -3, (LО,С)= -1,6, (FС,D)=5, (VL,С)=4.
5. Напишите формулы, по которым можно найдите простые отношения трех точек: (АС,В),
(ВА,С), (ВD,А), (СD,В), (CВ,А).
6. Найдите простые отношения трех точек (АВ,С), (АС,В), (ВА,С), (ВС,А), (СА,В) и (СВ,А) если:
а) А(6), В(3), С(0); б) А(-3), В(4), С(10); в) А(9), В(5), С(3);
г) А(6), В(8), С(4); д) А(4), В(4), С(2).
7. Дано простое отношение трех точек, найдите простое отношение в другой комбинации:
а) (MN,K)=
21
15
, найдите (NM,K); б) (ВС,А)=7 , найдите (СВ,А);
в) (CD,H)=8 , найдите (DC,H).
8. Найдите координаты третьей точки, если даны:
а) В(52), С(115) и (ВС, А) =
51
12
; б) С(5), А(24) и (СА,В) = -
12
31
;
в) А(-4), В(7) и (АВ,С)= -
12
23
.
9. По рисунку15 найдите простые отношения точек.
Рис. 15
(АF,G), (GА,H), (PF,L), (DH,R), (FR,A), (LD,А), (АP,F), (HА,Р), (HL,G), (RA,L), (DF,H),
(LP,A), (RG,F).
10. Даны простые отношения, найдите отношения в других комбинациях:
(BN,M)= 4,5, (LH,A)= - 6, (FK,D)= -5, (PL,С)= 2.
11. Найдите отношение отрезков АK : KE : EM, если
.
12. Найдите отношение отрезков АТ : ТМ : МС : СВ,
если АТ = 2·ТМ, СВ=3·СМ,
15
13
МВ
АМ
=
.
- 10 -
Подсказка
НЕВЕРНО ВЕРНО
Рис. 16 Рис. 17
ОТВЕТЫ.
1. -11/2, 8/3, 5, -1/3, -8, -2/11, -6/7, 1, 1, -3, -6, -1/3, 2.
2. -3/2 , -12/7, -1/2, -2, 1/4, -2, -1/5, -4/7, -1/2, -5/4.
3. А
; Т() ; У (-7); X=B (-1) ; H
; O
; D(8) ;
N
; V(49) ; F(3,3).
4. H(
) ; O=(-14) ; D(1) ; V(- 41).
5. (АС,В)=
СВ
АВ
, (ВА,С)=
АС
ВС
, (BD,A)=
DA
ВА
, (CD,В)=
DВ
CВ
, (СB,А)=
.
ВА
СА
6. а) (АВ,С)=-2 , (АС,В)=1, (ВА,С)=
2
1
−
, (ВС,А)=-
2
1
, (СА,В)=1;
б) (АВ,С)=-
6
13
, (АС,В)=
6
7
, (ВА,С)=-
13
6
, (ВС,А)=-
13
7
, (СА,В)=
7
6
, (СВ,А)=-
7
13
;
в) (АВ,С)=-3, (АС,В)=2, (ВА,С)=-
2
1
, (ВС,А)=-
3
2
, (СА,В)=
2
1
, (СВ,А)=-
2
3
;
г) (АВ,С)=-
2
1
, (АС,В)=-
2
1
, (ВА,С)=-2, (ВС,А)=1, (СА,В)=-2, (СВ,А)=1;
д) простое отношение трех точек не существует, так как точки А и В совпадают.
7. (NM,K)=
15
21
, (CB,A)=
7
1
, (DC,H)=8.
8. а) А(64); б) В(36); в) С(19).
9. (АF,G)=
, (GА,H)=
, (PF,L)=
, (DH,R)=
, (FR,A)=
,
(LD,A)=
, (АP,F)=
, (HA,Р)=
, (HL,G)=1, (RA,L)=4, (DF,H)=
,
(LP,A)=
, (RG,F)=
.
10. (BM,N)= - 5,5, (LА,Н)=
, (FD,K)= 4, (PC,L)=
.
(NВ,M)=
, (НL,A)=
, (KF,D)=
, (LС,P)=
.
(NM, В)=
, (НА,L)=
, (KD,F)=
, (LP,С)=
.
(МB,N)=
, (АL,H)=
, (DF,K)=
, (CL,P)=
.
(МN,В)=
, (AН,L)=
, (DK,F)=
, (CP,L)=
.
11. АK : KE : EM = 5 : 4 : 21
12. АТ : ТМ : МС : СВ = 104 : 52 : 45: 135)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]