Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Отношение отрезков и площадей геометрических фигур. Учебное пособие для студентов
.pdf
- 51 -
Рис. 109
Решение. Воспользуемся формулами, полученными в задаче 28:
Очевидно, что наименьшую площадь имеет S
2
, тогда
, следовательно S = 605.
Теперь найдем площади остальных частей:
Проверка: S = 140 + 80 + 140 + 245 = 605.
Задача 32. Длины оснований трапеции АВСD относятся как 3 : 7. В трапеции проведены
диагонали АС и ВD, пересекающиеся в точке Р. Через точку Р проведена прямая (МN)
параллельная основаниям. Найдите какую часть от площади трапеции занимают
получившиеся фигуры (рис. 110).
Рис. 110
Решение: Будем использовать подобие и результаты задач 27 и 28.
Т.к. (МN)‖(ВС), то треугольники АМР и АВС будут подобными (рис. 111) с
коэффициентом подобия
- 52 -
Рис. 111
Аналогично подобными будут треугольники DNP и DСВ (рис. 111)
Т.к. ВС : АD = 3 : 7, то
В силу равенства площадей треугольников АВС и DВС и равенства коэффициентов
подобия, площади треугольников АМР и DNP тоже будут равными (рис. 111).
В силу равенства площадей треугольников АРВ и DРС и равенства площадей
треугольников АМР и DNP , равными будут площади треугольников ВМР и СNР (рис. 111).
Проверка:
Задача 33. Длины оснований трапеции АВСD относятся как 4 : 7. В трапеции проведена прямая
(МN) параллельная основаниям. Найдите какую часть от площади трапеции занимают
получившиеся фигуры, если AМ : МВ= 2 : 3 (рис. 112).
Рис. 112
Решение: Проведем высоту СН и перейдем к длинам отрезков (рис. 113).
Если AD : BC = 7 : 4 , тогда AD = 7 х, BC = 4 х .
Если AМ : МВ= 2 : 3, тогда ND : CN= 2 : 3 и ND = 2 у, CN = 3 у , CD = 5 y.
Рис. 113
Из подобия треугольников CLN и CHD (рис. 113) с коэффициентом подобия
- 53 -
Тогда
По формулам задачи 15, где а = 7, b = 4, : λ =
Тогда
Тогда
Попробуйте решить эту задачу другим способом (рисунок 114). Разрежьте и соберите
трапецию MBCN из параллелограмма и треугольника.
Рис. 114
Задача 34. Длины оснований трапеции АВСD относятся как a : b . В трапеции проведена
прямая (МN) параллельная основаниям. Найдите какую часть от площади трапеции занимают
получившиеся фигуры, если AМ : МВ= 1 : λ (рис. 115).
Рис. 115 Рис. 116
Решение: Проведем высоту СН и перейдем к длинам отрезков (рис. 116).
Если AD : BC = a : b , тогда AD = ах, BC = bх .
- 54 -
Если DN : NC= 1 : λ, тогда ND = у, CN = λ у , CD = ( 1 + λ ) y .
Из подобия треугольников CLN и CHD с коэффициентом подобия
Тогда
По формулам задачи 15,
Тогда
Тогда
Конечно запоминать эти достаточно громоздкие формулы не обязательно, главное понять
идею решения задачи. Но если они есть «перед глазами», почему бы ими не воспользоваться.
Задача 35. Длины оснований трапеции АВСD относятся как a : b . В трапеции проведена
прямая (МN) параллельная основаниям. Найдите в каком отношении прямая (МN) делит
боковые стороны трапеции, если площади частей трапеции равны между собой (рис. 115).
Решение: Это как раз тот случай, когда можно воспользоваться формулами задачи 34.
Надо найти отношение AМ : МВ= 1 : λ при условии, что AD : BC = a : b и S
AMND
= S
MBCN
.
Приравняем площади:
- 55 -
Так как отношение оснований задано, надо решить данное квадратное уравнение
относительно λ.
(Докажите самостоятельно, что ).
Т.к. AМ : МВ= 1 : λ , то
Замечание: На самом деле отрицательный корень уравнения λ2 тоже имеет смысл если
вспомнить про простое отношение трёх точек (п. 1.1) – в этом случае точки М и N будут
расположены на продолжениях боковых сторон.
Рассмотрим еще один разрез трапеции прямой, пересекающей основания.
Задача 36. Длины оснований трапеции АВСD относятся как 4 : 7. На основаниях трапеции
взяты точки K и L , делящие основания в отношениях АL : LD =1 : 9 и ВM : MС = 3 : 8. Найдите
какую часть от площади трапеции занимают четырехугольники ABLM и MLCD (рис. 117).
Рис. 117
Решение: Пусть высота трапеции h . Перейдем к длинам отрезков.
Если AD : BC = 4 : 7 , тогда AD = 4х, BC = 7х .
Если АL : LD =1 : 9, тогда АL = у, LD = 9 у , АD = АL + LD =10 y .
Если ВM : MС = 3 : 8, тогда ВM = 3 z , MС = 8z , ВС = ВM + MС = 11 z.
AD = 4х = 10 y , тогда
;
BC = 7х = 11 z , тогда
Тогда
- 56 -
Задача 37. Длины оснований трапеции АВСD относятся как a : b. На основаниях трапеции
взяты точки K и L , делящие основания в отношениях АК : КD =1 : λ и ВL : LС = 1 : . Найдите
какую часть от площади трапеции занимают четырехугольники ABLM и MLCD (рис. 118).
Рис. 118
Решение: Пусть высота трапеции h . Перейдем к длинам отрезков.
Если AD : BC = a : b , тогда AD = aх, BC = bх .
Если АL : LD =1 : λ, тогда АL = у, LD = λ у , АD = АL + LD = ( 1 + λ ) y .
Если ВM : MС = 1 : тогда ВM = 1 z , MС = z , ВС = ВM + MС = ( 1 + ) z.
AD = aх = ( 1 + λ ) y , тогда
;
BC = bх = ( 1 +
) z , тогда
Тогда
- 57 -
Задания для самостоятельной работы
49. Длины оснований трапеции относятся как 3 : 7. В трапеции проведены диагонали, делящие
фигуру на четыре треугольника. Найдите площадь трапеции и площади этих треугольников,
если площадь большего из них равна 98.
50. Длины оснований трапеции относятся как 1 : 7. В трапеции проведены диагонали, делящие
фигуру на четыре треугольника. Найдите площади этих треугольников и трапеции, если
площадь бокового треугольника части равна 49.
51. Длины оснований трапеции относятся как 2 : 9, и в трапеции проведены диагонали,
делящие фигуру на четыре треугольника. Найдите площади этих треугольников, если площадь
меньшего треугольника равна 40.
52. ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, ВC : AD = 2 : 3. Точки M, N, K, L – середины
сторон AB, ВC, CD, AD соответственно. Найдите площади треугольников MNB, NKC, KLD,
LMA, и четырехугольника MNKL, если площадь всей трапеции равна 100.
53. ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, ВC : AD = 1 : 3. Точки M, N, K, L – середины
сторон AB, ВC, CD, AD соответственно. Проведены отрезки МК и NL , пересекающиеся в
точке Р. Найдите площади получившихся четырёхугольников, если площадь всей трапеции
равна 1200.
54. ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, ВC : AD = 1 : 2, MK – средняя линия трапеции.
Найдите, какую часть от площади всей трапеции занимают части, получающиеся при
разрезании трапеции диагоналями и средней линией.
55. ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, ВC : AD = 1 : 3, MK – средняя линия трапеции.
Найдите площадь треугольника, образованного средней линией и диагоналями трапеции, если
площадь трапеции равна 64.
56. ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, ВC : AD = 1 : 5. Прямая (MK) проходит через
точку пересечения диагоналей параллельно основаниям. Найдите площади получившихся
частей трапеций, если площадь всей трапеции равна 2160.
57. ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, ВC : AD = 2 : 5. В трапеции проведены диагонали
и средняя линия. Найдите площади получившихся частей, если площадь трапеции равна 784.
58. ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, ВC : AD = 3 : 4. В трапеции проведены диагонали
и средняя линия. Найдите площади получившихся частей и всей трапеции, если площадь
наименьшей части равна 128.
59. Длины оснований трапеции АВСD относятся как a : b. В трапеции проведена средняя линия
МN. Найдите какую часть от площади трапеции занимают получившиеся фигуры.
60. Длины оснований трапеции АВСD относятся как a : b. В трапеции проведена прямая (МN)
параллельная основаниям. Найдите какую часть от площади трапеции занимают
получившиеся фигуры, если AМ : МВ= 3 : 4.
61. Длины оснований трапеции АВСD относятся как 2 : 7. В трапеции проведена прямая (МN)
параллельная основаниям. Найдите какую часть от площади трапеции занимают
получившиеся фигуры, если AМ : МВ= 1 : λ .
62. Длины оснований трапеции АВСD относятся как a : b . В трапеции проведена прямая (МN)
параллельная основаниям. Найдите в каком отношении прямая (МN) делит боковые стороны
трапеции считая от верхнего основания, если площадь нижней части в два раза больше
верхней.
- 58 -
63. Длины оснований трапеции АВСD относятся как a : b . В трапеции проведена прямая (МN)
параллельная основаниям. Найдите в каком отношении прямая (МN) делит боковые стороны
трапеции, если площадь верхней части в два раза больше нижней.
(Попробуйте решить последние пять задач, не прибегая к формулам).
64. Длины оснований трапеции АВСD относятся как 2 : 15. На основаниях трапеции взяты
точки N и L , делящие основания в отношениях АN : ND=3:7 и ВL : LС = 9 : 2. Найдите какую
часть от площади трапеции занимают четырехугольники ABLN и NLCD .
65. Основания трапеции АВСD относятся как 1 : 10. На основаниях трапеции взяты точки Т и
N, делящие основания в отношениях АТ : ТD =2 : 5 и СN : NВ = 3 : 4. Найдите отношение
площадей, получившихся частей трапеции.
66*. В трапеции АВСD с отношением оснований ВC : AD = 1 : 2 проведены –диагональ и
отрезок ТN (точки Т и N расположены на основаниях). Найдите какую часть от площади
всей трапеции занимают площади получившихся частей трапеции, если известны отношения
АТ : ТD =1 : 5 и СN : NВ = 3 : 1.
ОТВЕТЫ.
49. 18; 42; 42; 98; 200 .
50. 7; 49; 49; 343; 448 .
51. 40; 18; 18; 81; 1210 .
52. 10; 10; 15; 15; 50 .
53. 225; 225; 375; 375 .
54.
55. 4.
56. 250; 50; 60; 50; 250; 1500 .
57. 56 ; 104 ; 64 ; 104 ; 56 ; 36 ; 364.
58. 1050; 1350; 1800; 1350; 1050; 128; 3072; 9800 .
59.
60.
61.
62.
.
63.
.
64.
.
65.
.
66.
- 59 -
2.4. Отношение площадей в параллелограмме
Напомним определение параллелограмма.
Определение: Параллелограмм – это выпуклый четырехугольник, противоположные стороны
которого параллельны друг другу.
Вспомним школьные формулы для вычисления площади параллелограмма (рис. 119):
где a, b – смежные (соседние) стороны параллелограмма,
d1 , d2 – диагонали параллелограмма (AC и BD),
φ – угол между диагоналями параллелограмма.
Повторим рассмотренные ранее свойства параллелограмма, которые так или иначе
связаны с площадью.
Пусть О – точка пересечения диагоналей (рис. 119).
Рис. 119
• Каждая из диагоналей разрезает параллелограмм на два равных треугольника - ΔАDС =
ΔСВА и ΔАВD = ΔСDB , а значит их площади будут равными и равны половине площади
параллелограмма (рис. 119):
• Диагонали разрезают параллелограмм на две пары равных треугольников: ΔАОD = ΔСОВ
и ΔАОВ = ΔСОD, а значит их площади будут равными и равны четвертой части от площади
параллелограмма (рис. 119):
• Если два параллелограмма подобны с коэффициентом подобия k , тогда их площади будут
относиться как квадрат коэффициента подобия.
Замечание: Напомним, что в отличие от подобия треугольников для подобия
параллелограммов равенства углов недостаточно. Чтобы параллелограммы были подобными
необходимо чтобы соответственные стороны были пропорциональными.
В случае треугольников, если прямая параллельна стороне треугольника, то она отсекает
именно подобный треугольник.
Если разрезать параллелограмм прямой параллельной стороне параллелограмма, то
нельзя утверждать, что мы получили подобный параллелограмм (рис. 120).
Рис. 120
- 60 -
(МК)║(АВ), но параллелограммы АВСD и АВКМ (рис. 120) не обязательно подобны, хотя
имеют равные соответственные углы.
Но несмотря на отсутствие подобия сравнивать площади параллелограммов можно. Так
же как для треугольников будем искать что-то общее у параллелограммов – или основание
или высоту.
Параллелограммы АВСD и АВКМ (рис. 120) хоть и не подобны, но имеют одинаковую
высоту, тогда
Примеры решения задач
Задача 38. В параллелограмме АВСD точка М лежит на стороне АD, делит её в отношении
АМ : МD = 5 : 2 и прямая (МК)║(АВ). Найдите, какую часть от всего параллелограмм занимают
получившиеся параллелограммы (рис. 121).
Рис. 121
Решение: Перейдем к длинам отрезков.
Если AM : MD = 5 : 2 , тогда AM = 5y , MD = 2y , AD = AM + MD = 7y .
Решим задачу в общем виде.
Задача 39. В параллелограмме АВСD точка М лежит на стороне АD, делит её в отношении
АМ : МD = α : β и прямая (МК)║(АВ). Найдите, какую часть от всего параллелограмм занимают
получившиеся параллелограммы (рис. 122).
Рис. 122
Решение: Перейдем к длинам отрезков.
Если АМ : МD = α : β, тогда AM = αy, MD = βy , AD = AM + MD = (α+β) y.
Задача 40. В параллелограмме АВСD через точки М и N, лежащие на смежных сторонах
проходят прямые (МК) и (NL), параллельные сторонам параллелограмма. Эти прямые
разрезают параллелограмм на четыре параллелограмма. Найдите какую часть от площади
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]