Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Отношение отрезков и площадей геометрических фигур. Учебное пособие для студентов
.pdf
- 21 -
Рис. 44 Рис. 45
Перейдем к длинам отрезков, введя коэффициенты пропорциональности.
ВК : КС = 1 : 20 , тогда ВК = 1х и КС = 20х .
КТ : ТС = АМ : МС = 1 : 7 , тогда КТ = 1у и ТС = 7у.
КС = 20х = КТ + ТС = у + 7у = 8у
, значит BK = x =
.
По теореме Фалеса для угла получим: ВР : РМ = ВК : КТ =
.
Задания для самостоятельной работы
Рис. 46 Рис. 47
13. Чевианы АК и ВМ треугольника АВС пересекаются в точке Р. Найдите отношения
, если АМ : МС = 3 : 4 и СК : КВ = 5 : 2. (рис. 46).
14. В треугольнике АВС проведены две чевианы АК и ВМ, пересекающиеся в точке Р.
Известны АР : РК = 6 : 5 и МР : РВ = 3 : 5, найдите отношения
( рис. 47).
15. В треугольнике АВС проведены две чевианы ВК, BT и третья чевиана СN, пересекающая
их в точках Р и R соответственно. Известны отношения АK : KT : TС = 3 : 4 : 2 и AN : NВ =5: 2,
найдите отношения ВР : РК , ВR : RТ и CR : RP : PN.
16. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D, такая что ВD : DС =2 : 5, а на стороне
АС – точка Е так, что АЕ =
АС. Найдите, в каком отношении отрезки ВЕ и АD делятся их
точкой пересечения.
17. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, которая делит эту сторону в отношении
ВD : DА = 4 : 5, а на стороне АС – точка Т такая, что АТ : ТС = 2 : 9. Найдите, в каком отношении
отрезки ВТ и СD делятся их точкой пересечения.
18. В треугольнике АВС из вершин А и В к сторонам ВС и АС, соответственно, проведены
отрезки АК и ВМ, делящие эти стороны в заданных отношениях АМ : МС = 1 : 4 и
- 22 -
ВК : КС = 5 : 6. Определите, в каком отношении делятся чевианы точкой Р – точкой их
пересечения, найдите отношения АР : HR и ВР : РМ.
19. В треугольнике АВС длины сторон АВ, ВС и АС относятся как 2:4:5, соответственно.
Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов треугольника точкой их
пересечения.
20. В треугольнике АВС длины сторон АВ, ВС и АС относятся как 7 : 8 : 9, соответственно,
точка О - центр вписанной окружности. Найдите, в каком отношении точка О делит
биссектрисы треугольника.
21. В треугольнике АВС со сторонами АВ= с, ВС= а, АС= b, О - центр вписанной окружности.
Найдите, в каком отношении точка О делит биссектрисы треугольника.
22. Внутри треугольника АВС взята точка М так что прямая (АМ) делит сторону ВС в
отношении ВК : КС = 4 : 5, а прямая (ВМ) делит сторону АС в отношении AF : FC = 5 : 2.
Найдите, в каком отношении прямая (СМ) делит сторону треугольника АВ.
23. Внутри треугольника АВС взята точка М так что прямая (АМ) делит сторону ВС в
отношении ВК : КС = 6 : 5, а прямая (ВМ) делит сторону АС в отношении AF : FC = 3 : 4.
Найдите, в каком отношении точка М делит ту часть прямой (СМ), которая лежит внутри
треугольника.
24. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, такая что АD : DВ = 3 : 2, а на стороне ВС
– точка Т так, что ВС = 8∙СТ. Найдите, в каком отношении отрезки АТ и СD делятся их точкой
пересечения.
25. В треугольнике АВС к сторонам проведены отрезки АК, ВМ и СN, пересекающиеся в точке
Р. Определите, в каком отношении чевианы делятся точкой их пересечения, если известно,
что СМ : МА = 4 : 3 и СК : КВ = 7 : 2.
ОТВЕТЫ.
13.
14.
.
15.
, CR : RP : PN = 4 : 3 : 1 .
16.
.
17.
.
18.
19.
.
20.
21.
.
22.
.
23.
24.
.
25.
.
- 23 -
1.3. Отрезки в трапеции
Определение: Четырехугольник, имеющий только одну пару параллельных сторон,
называется трапеция.
Определение: Две параллельные стороны называются - основания, а две другие стороны (не
параллельные) называются - боковыми сторонами.
Как правило - АD║BC и AB CD (рис. 48).
Рис. 48
Определение: Отрезок соединяющий середины боковых сторон (рис. 48) называется средней
линией.
Выделяют равнобедренные (равнобочные) трапеции (рис. 49), прямоугольные трапеции
(рис. 50).
Рис. 49 Рис. 50
Важным соотношением в трапеции является отношение оснований.
Как правило пишут
или AD : BC = a : b
Пусть О – точка пересечения диагоналей и К – точка пересечения продолжений боковых
сторон.
Основные свойства трапеции
1. Сумма внутренних углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180º.
2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям (рис. 48) и равна полусумме длин
оснований -
.
3. Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин оснований на высоту, или
произведению средней линии на высоту.
4. В трапеции треугольники ΔАОD и ΔСОВ подобны (рис. 51) с коэффициентом подобия
Рис. 51
Это легко доказывается из равенства накрест лежащих углов при параллельных прямых
и подобия треугольников по двум углам.
5. В трапеции ΔСОD и ΔАОВ не подобные и не равные, но имеют равную площадь (рис. 52).
Определение: Фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.
- 24 -
Рис. 52 Рис. 53
Замечание: Эти треугольники будут равными только для равнобедренной трапеции (рис. 53).
6. Для трапеции ΔАKD и ΔВKC подобны (рис. 54) с коэффициентом подобия
Рис. 54 Рис. 55
Это легко доказывается из равенства соответственных углов при параллельных прямых
и подобия треугольников по двум углам.
7. Прямая (КО) делит основания трапеции пополам (рис. 55).
Это свойство в школьных учебниках носит название – теорема о четырех точках
трапеции. Доказательство этого свойства приведено в задаче 12.
8. Точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых
сторон лежит на прямой, соединяющей середины оснований (обратное свойству7).
Это легко доказывается из равенства соответственных оснований и высот трапеций.
9. Если АD : ВС = а : b, тогда пары треугольников СОМ и АОN, BОM и DОN, ВКМ и АКN,
МКС и NКD тоже будут подобными (рис. 56) с коэффициентом подобия
(следствие
свойств 4 и 6).
Рис. 56
Примеры решения задач
Задача 11. В трапеции через точку пересечения диагоналей О проведена прямая параллельная
основаниям. Докажите, что отрезок этой прямой, расположенный внутри трапеции, делится
точкой О пополам (рис. 57).
- 25 -
Рис. 57
Решение: Обозначим отрезок этой прямой NM (рис. 57).
Из подобия треугольников - по двум углам (рис. 58) с коэффициентом
подобия
, получим
(рис. 58).
Рис. 58
Аналогично, - по двум углам (рис. 58) с коэффициентом подобия
, тогда
.
Т.о. МО=NО.
Следствием из подобия этих треугольников или из теоремы Фалеса будет отношение отрезков:
Докажем теорему о четырех точках трапеции. В некоторых учебниках эта теорема может
звучать в другой формулировке: «В трапеции точка пересечений продолжений боковых
сторон, точка пересечения диагоналей и середины оснований трапеции лежат на одной
прямой».
Мы докажем её в формулировке свойства 7.
Задача 12. Прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции и точку
пересечения продолжений боковых сторон, делит основания трапеции пополам (рис. 59).
Решение: будем использовать подобие треугольников, теорему Фалеса и результаты задачи
11.
Проведем через точку пересечения диагоналей трапеции - О, прямую (NM) параллельную
основаниям. Точку пересечения продолжений боковых сторон обозначим – К. Точки
пересечения прямой (КО) с основаниями трапеции обозначим – Т и Р.
Так к прямая (NM) параллельна основаниям (рис. 59), то по теореме Фалеса для прямых
(КА), (КР) и (КD) получим:
Тогда пары треугольников ВКТ и NКО, ТКС и ОКМ (рис. 59) будут подобными с
одинаковым коэффициентом подобия
Из подобия треугольников ВКТ и NКО с
Из подобия треугольников ТКС и ОКМ (рис. 59)
Из решения задачи 11 следует, что МО=NО , а значит и ВТ = ТС .
- 26 -
Рис. 59
Для другого основания доказательство аналогичное.
Задача 13. В трапеции ABCD (AD>BC и AD : BC= a : b) проведена средняя линия MN, которая
пересекается диагоналями трапеции в точках K и L (рис. 60). Найдите отношения отрезков, на
которые разбивается средняя линия точками K и L .
Рис. 60
Решение: Обозначим отрезки AD = ах, BC = bх , тогда средняя линия NM
.
Отрезок NL - средняя линия треугольника АВС
.
Отрезок МK - средняя линия треугольника DВС
Тогда
Задача 14. В трапеции ABCD с основаниями AD = 7 ед. и BC = 4 ед. на боковых сторонах AВ
и СD взяты точки M и N соответственно, так что прямая (MN) параллельна основаниям.
Найдите длину отрезка MN если AМ : МВ= 2 : 3 (рис. 61).
Рис. 61 Рис. 62
- 27 -
Решение: Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую (СК)
параллельно боковой стороне АВ (рис. 62). Точку пересечения прямых (MN) и (СК)
обозначим - L.
По теореме Фалеса DN : NC = AМ : МВ= 2 : 3.
Перейдем к длинам отрезков.
Если DN : NC = 2 : 3, тогда DN = 2у, NC = 3у .
Так как прямые (АВ)‖(СК) и (AD)‖(BC)‖(ML), тогда четырехугольники АВСК, AMLK
и MBCL– параллелограммы (рис. 62), а значит АК = ВС = ML = 4 , KD = AD – AK = 7 - 4 = 3.
Треугольники CLN и CКD подобны (рис. 62) с коэффициентом подобия
Тогда
Тогда
Решим эту задачу в общем виде.
Задача 15. В трапеции ABCD с основаниями AD : BC= a : b проведена прямая (MN)
параллельна основаниям (точки M и N взяты на боковых сторонах AВ и СD соответственно).
Найдите отношения оснований и отрезка MN , если AМ : МВ= 1 : λ (рис. 63).
Рис. 63 Рис. 64
Решение: Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую (СК)
параллельно боковой стороне АВ (рис. 64). Точку пересечения прямых (MN) и (СК)
обозначим - L.
Перейдем к длинам отрезков.
Если AD : BC = a : b , тогда AD = ах, BC = bх .
Если DN : NC = AМ : МВ= 1 : λ, тогда DN = у, NC = λ у .
Так как прямые (АВ)‖(СК) и (AD)‖(BC)‖(ML), тогда четырехугольники АВСК , AMLK
и MBCL– параллелограммы (рис. 64), а значит АК = ВС = ML = b х ,
KD = AD – AK = а х – b х = ( а – b ) х.
Треугольники CLN и CКD подобны с коэффициентом подобия
Тогда
Тогда
Тогда
- 28 -
Решим обратную задачу – зная какую часть от оснований составляет параллельный
основаниям отрезок, надо найти в каком отношении делились боковые стороны.
Задача 16. В трапеции ABCD с основаниями AD : BC = a : b проведена прямая (MN)
параллельна основаниям (точки M и N взяты на боковых сторонах AВ и СD соответственно).
Найдите отношение AМ : МВ , если основания и отрезок MN относятся как
AD : MN : BC = a : с : b
Решение: Используем результат задачи 15.
Если обозначить AМ : МВ= 1 : λ , тогда
, т.е.
Выразим отсюда λ .
Проверьте самостоятельно результат задачи 14 с помощью формул, полученных в
задачах 15 и 16.
Задания для самостоятельной работы
26. Дана трапеция АВСD с основаниями АD и ВС, AD:BC = 7 : 4 . Точки М и N лежат на боковых
сторонах трапеции и прямая (МN) параллельна основаниям, точка М делит боковую сторону в
отношении АМ : МВ = 3 : 2. Найдите, в каком отношении диагонали трапеции делят отрезок
МN.
27. Дана трапеция АВСD с основаниями АD и ВС, AD:BC = a : b . Точки М и N лежат на боковых
сторонах трапеции и прямая (МN) параллельна основаниям, точка М делит боковую сторону в
отношении АМ : МВ = 3 : 5. Найдите, в каком отношении диагонали трапеции делят отрезок
МN.
28. Дана трапеция АВСD с основаниями АD и ВС, AD:BC = 5 : 2 . Точки М и N лежат на боковых
сторонах трапеции и прямая (МN) параллельна основаниям. Найдите, в каком отношении
точка М делит боковую сторону если диагонали трапеции делят отрезок МN на три равные
части.
29. Дана трапеция АВСD с основаниями АD и ВС, AD:BC = a : b . Точки М и N лежат на боковых
сторонах трапеции и прямая (МN) параллельна основаниям, точка М делит боковую сторону в
отношении АМ : МВ = λ : 1. Найдите, в каком отношении диагонали трапеции делят отрезок
МN.
30. В трапеции ABCD с основаниями AD = 8 и BC = 5 на боковых сторонах AВ и СD взяты
точки M и N соответственно, так что прямая (MN) параллельна основаниям. Найдите длину
отрезка MN если AМ : МВ= 4 : 3 .
31. В трапеции ABCD с основаниями AD : BC = 8 : 3 проведена прямая (MN) параллельна
основаниям (точки M и N взяты на боковых сторонах AВ и СD соответственно). Найдите
отношение AМ : МВ , если основания и отрезок MN относятся как AD : MN = 16 : 7.
ОТВЕТЫ.
26. 6 : 1 : 6 .
27. 3b : (5a - 3b) : 3b .
28. АМ : МВ = 5 : 4 .
29. λb : (a - λb) : λb .
30.
.
31. АМ : МВ = 9 : 1 .
- 29 -
1.4. Отрезки в параллелограмме
Определение: Четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон, называется
параллелограммом.
Пусть О – точка пересечения диагоналей (рис. 65).
Рис. 65 Рис. 66
Основные свойства параллелограмма:
1. Сумма внутренних углов, прилежащих к каждой стороне параллелограмма, равна 180º.
2. Противоположные углы равны (рис. 65).
3. Противоположные стороны равны АВ=СD, AD=BC (рис. 65).
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам АО=ОС, ВО=ОD (рис. 65).
5. Диагональ разрезает параллелограмм на два равных треугольника (рис. 65),
ΔАDС = ΔСВА, ΔАВС = ΔСDА.
6. Диагонали разрезают параллелограмм на две пары равных треугольников (рис. 65), ΔАОD
= ΔСОВ , ΔАОВ = ΔСОD.
7. Диагонали разрезают параллелограмм на четыре равновеликих треугольника (рис. 65,
S
AOB
= S
BOC
= S
COD
= S
DOA
=
S
ABCD
.
8. Если биссектриса острого угла пересекает сторону параллелограмма, то она отсекает
равнобедренный треугольник, АВ=ВМ (рис. 66).
Это легко доказывается из равенства накрест лежащих углов при параллельных прямых
и свойства равнобедренного треугольника (углы при основании равны).
Примеры решения задач
Задача 17. В параллелограмме АВСD точки М, К и Р лежат на сторонах AB, BC и CD,
соответственно. Известны отношения в которых эти точки делят стороны АМ : МВ = 3 : 5 и
ВК : КС = 2 : 1, СР : РD = 4 : 1. Прямая (КL) параллельна сторонам АВ и CD. Отрезки МР и КL
пересекаются в точке N. Найдите отношения в которых точка N делит отрезки МР и КL. (рис.
67).
Рис. 67
Решение : Так как (KL)║(AB)║(CD) , тогда АL : LD = ВК : КС = МN : NР = 2 : 1.
Сделаем дополнительное построение: проведем прямую (РТ) параллельную сторонам ВС и
АD. Обозначим точку пересечения прямых (KL) и (РТ) - F (рис. 68).
- 30 -
Рис. 68 Рис. 69
По теореме Фалеса: ВТ : ТА = СР : РD = 4 : 1.
Перейдем к длинам отрезков, введем коэффициенты пропорциональности (рис. 69):
АМ = 3у и МВ = 5у , АТ = 1х и ТВ= 4х .
Тогда АВ = АМ + МВ = 8у = АТ + ТВ = 5х.
Отсюда
, тогда AT =
, TB =
.
TM = AM – AT =
или TM= TB – MB =
.
Т.о. АТ : ТМ : МВ =
8 : 7 : 25.
Если перейти к длинам (ввести коэффициенты пропорциональности), тогда
AT = 8a, MT = 7a, MB = 25a, КL = AB = 40a.
Из подобия треугольников МТР и FNP получим
.
NF
LF = DP = AT = 8a, NL= NF + LF =
KN = KL – NL =
Тогда KN : NL =
.
Рассмотрим еще один способ решения этой задачи.
Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны –
уравновесим «кусочки» на сторонах АВ и СD.
Для 8 «кусочков» стороны АВ и 5 других «кусочков» стороны СD наименьшее общее
кратное будет - 40. Тогда, отношение АМ : МВ = 3 : 5 можно записать как - АМ : МВ = 25 :
15 (умножили на 5), а отношение СР : РD = 4 : 1 = 32 : 8 (умножили на 8). (рис. 70).
Рис. 70
Таким образом уравняли кусочки противоположных сторон параллелограмма.
Тогда в длинах отрезков будет:
АМ = 15b и МВ = 25b , СР = 32b и РD = 8b , AB = KL = CD = 40b.
Проведем прямую (ТР) параллельную сторонам АD и В (рис. 71).
Тогда: РD = FL = AT = 8b , MT = AM – AT = 15b – 8b=7b.
Рис. 71
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]