Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Отношение отрезков и площадей геометрических фигур. Учебное пособие для студентов
.pdf
- 11 -
1.2. Отношение отрезков в треугольнике
Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на прямой,
содержащей противоположную сторону треугольника, называется чевианой.
Рис. 18 Рис. 19
АР, ВК, СМ – чевианы (рис. 18).
Частными случаями чевиан являются биссектрисы, медианы и высоты треугольника.
Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной
стороны, называется медианой.
ВМ – медиана треугольника (рис. 19).
Любой треугольник имеет три медианы.
Основные свойства медианы
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центром
треугольника или центром масс (рис. 20).
Рис. 20
2. Центр треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины (рис. 20).:
3. Медиана делит треугольник на два треугольника одинаковой площади (рис. 20):
S
АВМ
= S
СВМ
= S
САК
= S
КАВ
= S
АСР
= S
РСВ
=
S
АВС
.
4. Если О – точка пересечения медиан, тогда площади треугольников ΔАОВ, ΔВОС, ΔАОС
равны между собой и равны одной третьей части площади треугольника ΔАВС (рис. 20):
S
АОВ
= S
ВОС
= S
АОС
=
S
АВС
.
5. Если точка О – точка пересечения медиан, тогда площади треугольников ΔАРО, ΔРВО,
ΔВКО, ΔКСО, ΔСМО, ΔАМО равны между собой и равны одной шестой части площади
треугольника ΔАВС (рис. 20):
S
АРО
= S
РВО
= S
ВКО
= S
КСО
= S
СМО
= S
АМО
=
S
АВС
.
Первое свойство является прямым следствием теоремы Чевы.
Свойства 2 - 5 будут доказаны позже (задачи 6 и 24).
Определение: Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника
с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
- 12 -
АК – биссектриса треугольника (рис. 21).
Рис. 21 Рис. 22
Любой треугольник имеет три биссектрисы.
Основные свойства биссектрисы
1. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей внутри
треугольника (рис. 22).
2. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности (рис. 22).
3. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, к которой она проведена, на
части, пропорциональные прилежащим сторонам (рис. 22):
Два первых свойства также изучаются в школе, последнее свойство будет доказано
позже (задача 26).
Определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей
противоположную сторону, называется высотой.
BН – высота треугольника (рис. 23).
Рис. 23 Рис. 24
Любой треугольник имеет три высоты.
Основные свойства высоты
1. Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке – называемой ортоцентром
треугольника (рис. 24).
2. Для остроугольного треугольника ортоцентр расположен внутри треугольника, для
тупоугольного треугольника – вне, для прямоугольного треугольника – ортоцентр совпадает
с вершиной прямого угла.
Определение: Прямая, перпендикулярная отрезку и проведенная через его середину,
называется серединным перпендикуляром (рис. 25).
Основные свойства серединного перпендикуляра:
1. Точки, лежащие на серединном перпендикуляре равноудалены от концов отрезка.
2. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
- 13 -
Рис. 25
3. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является
центром описанной окружности вокруг этого треугольника.
Замечание: Серединный перпендикуляр, проведенный к стороне треугольника не является
чевианой.
Рассмотрим несколько замечательных теорем для треугольника, в которых используется
понятие «отношение отрезков». Доказательства этих теорем опустим.
Теорема Чевы
Пусть дан треугольник АВС и на прямых (ВС), (АС) и (АВ) соответственно взяты точки
А1, В1 и С1 (А
1
(ВС), В1(АС), С1(АВ)), несовпадающие с вершинами треугольника, тогда для
того чтобы прямые (АА1), (ВВ1) и (СС1) пересекались в одной точке необходимо и достаточно
чтобы произведение простых отношений (АВ,С1)∙(ВС,А1)∙(СА,В1) = 1. (рис. 26 и 27).
(АА1)∩(ВВ1)∩(СС
1
)=Р (АВ,С
1
)∙(ВС,А1)∙(СА,В1)=1.
Рис. 26 Рис. 27
Теорема Менелая
Пусть дан треугольник АВС и на прямых (ВС), (АС) и (АВ) соответственно взяты точки
А1, В1 и С1 (А
1
(ВС), В1(АС), С1(АВ)), несовпадающие с вершинами треугольника, тогда для
того чтобы точки А1, В1 и С1 принадлежали одной прямой необходимо и достаточно чтобы
произведение простых отношений (АВ,С1)∙(ВС,А1)∙(СА,В1) = -1. (рис. 28 и 29).
А1,В1, С
1
(АВ,С
1
)∙(ВС,А1)∙(СА,В1) = -1.
- 14 -
Рис. 28 Рис. 29
Теорема Фалеса
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и
через их концы провести параллельные между собой прямые, пересекающие вторую прямую,
то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки (рис. 30).
Если А1А2= А2А3 и (А1В1)‖(А2В2)‖(А3В3), тогда В1В2= В2В3 .
Рис. 30 Рис. 31
Замечание: Теорему Фалеса удобнее применять в обобщенной форме:
Если на одной из двух прямых отложить несколько отрезков и через их концы провести
параллельные между собой прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй
прямой отрезки, состоящие в таком же отношении, что соответствующие отрезки первой
прямой (рис. 31).
Если (АА1)‖(ВВ1)‖(СС1), тогда
Частный случай: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной
его стороне пропорциональные отрезки, то другой его стороне они отсекают отрезки в той же
пропорции (рис. 32):
Рис. 32
- 15 -
Очень часто в школьном курсе геометрии теорему Фалеса рассматривают «однобоко» -
для решения задачи деления данного отрезка на n равных частей.
Задача: С помощью циркуля и линейки без делений разделите отрезок АВ на п равных частей.
Решение: Проведем из точки А произвольную полупрямую а, не совпадающую с прямой (АВ).
Отложим с помощью циркуля на этой полупрямой п равных между собой отрезков:
АА1, А1А2, …, А
n-1Аn
.
Соединим последнюю точку Аn с точкой В. Проведем через точки А1, А2, А3,…, А
n-1
прямые,
параллельные прямой (АnВ) (рис. 33). Они пересекут отрезок АВ, в точках В1, В2, В3,…, В
n-1
,
которые разделят отрезок АВ на n равных между собой отрезков (по теореме Фалеса).
Рис. 33
Мы рассмотрим не менее интересное применение теоремы Фалеса.
Примеры решения задач
Задача 5. В треугольнике АВС проведены две чевианы АК и ВМ, пересекающиеся в точке Р,
причем АМ : МС = 2 : 5 и ВК : КС = 4 : 3. Определите, в каком отношении точка пересечения
делит чевианы, т.е. надо найти отношения АР : РК и ВР : РМ.
Решение: Найдем первое отношение. Для этого выполним вспомогательное построение
характерное для задач такого типа: через точку К проведем прямую (КL)||(ВМ) (рис. 34).
По теореме Фалеса для угла получим: МL : LС = ВК : КС.
Перейдем к длинам отрезков, введя коэффициенты пропорциональности (рис. 34).
Рис. 34
АМ : МС = 2 : 5 , тогда АМ = 2 у и МС = 5 у ;
МL : LС = ВК : КС = 4 : 3 , тогда МL = 4 х и LС = 3 х.
МС = 5 у = МL + LС = 4 х + 3 х = 7 х
=1,4 х.
AM = 2 y = 2·1,4 х = 2,8 х.
По теореме Фалеса для угла получим:
АР : РК = АМ : МL = 2,8 х : 4 х = 2,8 : 4 = 28 : 40 = 7 : 10.
- 16 -
Аналогично находится второе отношение.
Проведем через точку М прямую (MT) || (АК) (рис. 35).
По теореме Фалеса для угла получим КТ : ТС = АМ : МС.
Рис. 35
Перейдем к длинам отрезков, введя коэффициенты пропорциональности (рис. 35).
ВК : КС = 4 : 3 , тогда ВК = 4 х КС = 3 х .
КТ : ТС = АМ : МС = 2 : 5 , тогда КТ = 2 у ТС = 5 у.
КС = 3 х = КТ + ТС = 2 у + 5 у = 7 у
.
BK = 4 x =
.
По теореме Фалеса для угла получим:
ВР : РМ = ВК : КТ =
= 14 : 3.
Замечание: В качестве самопроверки, правильно ли решена задача, обратите внимание на то,
что количество «кусочков» на одной и другой чевиане должно быть одинаковым.
В нашем случае 10+7=14+3.
Задача 6. Найдите отношение, в котором делятся медианы треугольника точкой их
пересечения.
Решение: Переформулируем условие задачи - в треугольнике АВС проведены две чевианы
АМ и ВТ, пересекающиеся в точке О, причем АТ : ТС = 1 : 1 и ВМ : МС = 1 : 1, надо найти
отношения АО : ОМ и ВО : ОТ (рис. 36).
Рис. 36
Докажем для одной медианы, для остальных доказательство будет аналогичным.
Сделаем вспомогательное построение: проведем прямую (MК) || (ВТ) (рис. 37).
- 17 -
Рис. 37
По теореме Фалеса для угла получим: если ВМ = МС, тогда ТК=КС.
Перейдем к длинам отрезков, введя коэффициенты пропорциональности: СК = ТК = х .
АТ : ТС = 1 : 1 , тогда АТ = ТС = у.
ТС = у = ТК + КС = х + х = 2 х у = 2 х
АТ = у = 2 х.
По теореме Фалеса для угла получим: AO : OМ = AT : TK = 2 х : х = 2 : 1.
Т.о. мы доказали свойство точки пересечения медиан: каждая медиана точкой
пересечения делится в отношении 2 к 1 считая от вершины.
Решим подобные задачи в общем виде.
В треугольнике АВС проведены две чевианы АК и ВМ, пересекающиеся в точке Р,
причем АМ : МС = α1 : α2 и ВК : КС = β1 : β2. Надо определить, в каком отношении точка
пересечения делит чевианы, т.е надо найти отношения АР : РК и ВР : РМ.
На самом деле, отношения α1 : α2 и β1 : β2 не обязательно задавать четырьмя числами,
можно задать 1 : α и 1 : β, где
.
Задача 7. В треугольнике АВС проведены две чевианы АК и ВМ, пересекающиеся в точке Р ,
причем АМ : МС = 1 : α и СК : КВ = 1 : β. Определите, в каком отношении точка пересечения
делит чевианы - найдите отношения АР : РК и ВР : РМ (рис. 38).
Рис. 38
Решение: Через точку К проведем прямую (КL) || (ВМ) (рис. 39).
По теореме Фалеса для угла получим: МL : LС = ВК : КС.
Перейдем к длинам отрезков, введя коэффициенты пропорциональности.
АМ : МС = 1 : α , тогда АМ = у МС = α∙у ;
МL : LС = ВК : КС = β : 1 , тогда МL = β·х LС = х.
МС = α∙у = МL + LС = β·х + х = ( β + 1)·х
,
значит АМ = у
.
- 18 -
Рис. 39 Рис. 40
По теореме Фалеса для угла получим:
АР : РК = АМ : МL =
.
Проведем через точку М прямую (MT) || (АК) (рис. 40).
По теореме Фалеса для угла получим: КТ : ТС = АМ : МС.
Перейдем к длинам отрезков, введя коэффициенты пропорциональности.
ВК : КС = β : 1, тогда ВК = β·х КС = х .
КТ : ТС = АМ : МС = 1 : α , тогда КТ = у , ТС = α·у .
КС = х = КТ + ТС = у + α·у = ( 1 + α )·у .
BK = β·x = β·( 1 + α )·у .
По теореме Фалеса для угла получим:
ВР : РМ = ВК : КТ = β·( 1 + α )·у : y = β·( 1 + α ).
Таким образом, у нас получились формулы:
если
, тогда
Проверка (количество «кусочков»):
.
Задача 8. В треугольнике АВС проведены две чевианы АК и ВМ, пересекающиеся в точке Р,
причем АМ : МС = 3 : 5 и СК : КВ = 2 : 1. Определите, в каком отношении точка пересечения
делит чевианы, найдите отношения АР : РК и ВР : РМ (рис. 41).
Рис. 41
Решение: Применим результат задачи 7.
АМ : МС = 1 : α , значит α =
; СК : КВ = 1 : β , тогда β =
.
По формулам задачи 7:
АР : РК =
.
ВР : РМ = β·( 1 + α )=
.
- 19 -
Решим обратную задачу - зная отношение, в котором делятся чевианы, надо найти, в
каком отношении разделятся стороны.
Задача 9. В треугольнике АВС проведены две чевианы АК и ВМ, пересекающиеся в точке Р,
причем АР : РК = 1 : λ и ВР : РМ = 1 : μ . Определите, в каком отношении точки К и М
делят стороны ВС и АС - найдите отношения АМ : МС и СК : КВ (рис. 42).
Рис. 42
Решение: Используем формулы задачи 7.
Если АМ : МС = 1 : α и СК : КВ = 1 : β, тогда АР : РК =
и ВР : РМ = β·( 1 + α ).
Значит
, тогда получим систему:
Её необходимо решить относительно α и β.
Из первого уравнения системы выразим α и подставим во второе уравнение.
- 20 -
Таким образом, у нас получились формулы:
Задача 10. В треугольнике АВС проведены две чевианы АК и ВМ, пересекающиеся в точке Р.
Известно, что АР : РК = 3 : 1 и ВР : РМ = 2 : 5 . Определите, в каком отношении точки К и
М делят стороны ВС и АС - найдите отношения АМ : МС и СК : КВ (рис. 43).
Решение: Используем результат предыдущей задачи.
Рис. 43
АР : РК = 1 : λ , значит λ =
; ВР : РМ = 1 : μ , тогда μ =
.
По формулам задачи 9
Так как АМ : МС = 1 : α АМ : МС =
СК : КВ = 1 : β СК : КВ = 20 : 1.
Проверим наши вычисления: для случая АМ : МС =
и СК : КВ = 20:1, должны
получить АР : РК = 3 : 1 и ВР : РМ = 2 : 5.
Найдем первое отношение. Для этого выполним вспомогательное построение - через
точку К проведем прямую (КL) || (ВМ) (рис. 44).
По теореме Фалеса для угла получим: МL : LС = ВК : КС (рис. 44).
Перейдем к длинам отрезков, введя коэффициенты пропорциональности:
АМ : МС = 1 : 7 , тогда АМ = 1у и МС = 7у ;
МL : LС = ВК : КС = 1 : 20 , тогда МL = 1х и LС = 20х.
МС = 7у = МL + LС = 1х + 20х = 21 х , тогда AM = 1y = 3х.
По теореме Фалеса для угла получим (рис. 44): АР : РК = АМ : МL = 3х : 1х = 3 : 1.
Аналогично находится второе отношение. Выполним вспомогательное построение –
через точку М проведем прямую (MT) || (АК) (рис. 45).
По теореме Фалеса для угла получим (рис. 45): КТ : ТС = АМ : МС.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]