Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Отношение отрезков и площадей геометрических фигур. Учебное пособие для студентов
.pdf
- 31 -
Из подобия треугольников МТР и FNP получим
.
NF
.
NL= NF + LF =
KN = KL – NL =
Тогда KN : NL =
.
Задача 18. В параллелограмме АВСD точки М, К, N и Р лежат на сторонах AB, BC, CD и AD
соответственно. Известны отношения, в которых эти точки делят стороны АМ : МВ = 1 : 3 ,
ВК : КС = 1 : 5, СN : ND = 1 : 4, AP : PD = 3 : 2. Отрезки МN и КP пересекаются в точке L .
Найдите отношения в которых точка L делит отрезки МN и КP, т.е. надо найти отношения
KL : LP и ML : LN (рис. 72).
Рис. 72
Решение: Так как количество «кусочков» на противоположных сторонах параллелограмма АD
и ВС разное, а сами стороны равны, для начала перейдем к одним единицам измерения.
AP : PD = 3 : 2 , АP = 3a и PD = 2a , AD =AP + PD = 5a .
ВК : КС = 1 : 5, BK = 1b и KC= 5b , BC = BK + KC = 6b .
Тогда
АP = 3a =
и PD = 2a
,
AP : PD : ВК : КС =
Если перейти к длинам (ввести коэффициенты пропорциональности), тогда
АP = 18 x и PD = 12 x , BK = 5 x и KC= 25 x , BC = AD = 30 x .
Проделаем тоже самое и для двух других сторон параллелограмма – АВ и СD.
AM : MB = 1 : 3 , АM = a и MB = 3a , AB =AM +MB = 4a .
CN : ND = 1 : 4, CN = 1b и ND= 4b , CD = CN + ND = 5b .
Тогда
АM = a =
и MB = 3a
AM : MB : CN : ND =
Если перейти к длинам (ввести коэффициенты пропорциональности), тогда
АM = 5 y и MB = 15 y , CN = 4 y и ND= 16 y , AB = CD = 20 y .
Напомним, что прийти к такому же результату можно «уравновешивая кусочки» равных
сторон параллелограмма.
Для пары равных сторон ВС и AD количество «кусочков» на одной - 6 (ВК : КС = 1 : 5),
на другой – 5 (AP : PD = 3 : 2), наименьшее общее кратное – 30. Т.о. сторону ВС «умножим»
на 5 и получим ВК : КС = 5 : 25 , а сторону AD «умножим» на 6 и получим AP : PD = 18 : 12.
Т.о. на равных сторонах AD и ВС равное количество» кусочков» - по 30 (рис. 73).
Для пары равных сторон АВ и СD количество «кусочков» на одной - 4 (АМ : МВ = 1 : 3),
на другой – 5 (СN : ND = 1 : 4), наименьшее общее кратное – 20. Сторону АВ «умножим» на 5
и получим АМ : МВ = 5 : 15, а сторону СD «умножим» на 4 и получим СN : ND = 4 : 16.
Т.о. на равных сторонах СD и АВ равное количество» кусочков» - по 20 (рис. 73).
- 32 -
У нас получился такой же результат, что и первым способом.
Рис. 73
Обозначим точки пересечения продолжений сторон AD и BC с прямой (MN) – T и F (рис. 74).
Рис. 74
Треугольники CFN и ATM подобны (рис. 74) с коэффициентом подобия
Тогда
Треугольники CFN и DTN подобны (рис. 74) с коэффициентом подобия
Тогда DT = 4∙CF , DT = AT + AP + PD = 4∙CF , DT = AT + 18 x + 12 x = 4∙
,
Тогда
Треугольники KLF и PLT подобны (рис. 74) с коэффициентом подобия
Для нахождения другого отношения поступим аналогично (рис. 75).
Обозначим точки пересечения продолжений сторон AB и CD с прямой (KL) – H и O .
Треугольники BHK и DOP подобны (рис. 75) с коэффициентом подобия
Тогда
Треугольники BKH и CKO подобны (рис. 75) с коэффициентом подобия
- 33 -
Рис. 75
Тогда CO = 5∙BH , CO = CN + ND + DO = 5∙BH ,
Тогда
Треугольники MLH и NLO подобны (рис. 75) с коэффициентом подобия
Заметьте, что количество «кусочков» на отрезках КР и МN одинаковое.
Задания для самостоятельной работы
32. В параллелограмме АВСD точки М, К и Р лежат на сторонах AB, BC и CD, соответственно.
Известны отношения, в которых эти точки делят стороны АМ : МВ = 2 : 7 , ВК : КС = 2 : 3,
СР : РD = 1 : 2. Прямая (КL) параллельна сторонам АВ и CD. Отрезки МР и КL пересекаются
в точке N. Найдите отношения, в котором точка N делит отрезки МР и КL.
33. В параллелограмме АВСD точки М, К и Р лежат на сторонах AB, BC и АD, соответственно.
Известны отношения, в которых эти точки делят стороны АМ : МВ = 3 : 5 , ВК : КС = 2 : 1,
АР : РD = 1 : 4. Прямая (МL) параллельна сторонам ВС и АD. Отрезки КР и МL пересекаются
в точке N. Найдите отношения, в котором точка N делит отрезки КР и МL.
34. В параллелограмме АВСD точки М, К, N и Р лежат на сторонах AB, BC, CD и AD
соответственно. Известны отношения, в которых эти точки делят стороны АМ : МВ = 2 : 5 ,
ВК : КС = 3 : 2, СN : ND = 1 : 3, AP : PD = 1 : 5. Отрезки МN и КP пересекаются в точке L .
Найдите отношения, в которых точка L делит отрезки МN и КP, т.е. надо найти отношения
KL : LP и ML : LN.
ОТВЕТЫ.
32. МN : NP = 2 : 3 ; KN : NL = 3 : 2;
33. МN : NP = 3 : 5 ; KN : NP = 5 : 3;
34. KL : LP = 6 : 5 ; МL : LN = 4 : 7
- 34 -
2. Отношения площадей
2.1. Подобные треугольники
Определение: Два треугольника называются подобными, если их соответственные углы
равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого
треугольника (рис. 76).
Рис. 76
А = А′ В = В′ С = С′
Вспомним признаки подобия:
• по трём сторонам:
o Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам
другого треугольника, то треугольники подобны (рис. 76)
• по двум сторонам и углу между ними:
o Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам
другого треугольника и угол между ними одного треугольника равен соответствующему
углу другого, то треугольники подобны (рис. 76)
• по двум углам сторонам:
o Если два угла одного треугольника равны соответственным углам другого треугольника, то
треугольники подобны (рис. 76)
А = А′, В = В′
Частный случай: Если прямая параллельна стороне треугольника и пересекает его в точках,
принадлежащих двум другим сторонам, то она отсекает от него треугольник подобный
данному (рис. 77).
Рис. 77
Если (МК) || (ВС), тогда треугольники АВС и АКМ подобные (рис. 77).
Это легко доказывается или в силу равенства соответственных углов при параллельных
прямых (третий признак подобия), или с применением теоремы Фалеса (второй признак
подобия).
Определение: Отношение соответствующих сторон называется коэффициентом подобия.
- 35 -
Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату
коэффициентов подобия.
Доказательство: Пусть ΔАВС и ΔА1В1С1 подобны и коэффициент подобия равен k. Тогда
соответственные стороны пропорциональны и все соответственные углы равны.
Нам достаточно, что:
Применим эту теорему.
Рассмотрим Δ СА1В1. Пусть его площадь равна – х (рис. 78).
Рис. 78 Рис. 79
Увеличим стороны СА1 и СВ1 в два раза (рис. 79), получим точки А2 и В2.
Сравним площади треугольников СА1В1 и СА2В2 .
Так как Δ СА1В1 ~ Δ СА2В2 с коэффициентом подобия k =2, тогда
т.е площадь одного в 4 раза больше площади другого, значит
.
Увеличим стороны СА1 и СВ1 в три раза (рис. 80), получим точки А3 и В3.
Сравним площади треугольников СА1В1 и СА3В3.
Так как Δ СА1В1 ~ Δ СА3В3 с коэффициентом подобия k =3, тогда
т.е площадь одного в 9 раз больше площади другого, значит
.
Продолжая увеличивать стороны СА1 и СВ1 в четыре, пять, шесть и т.д. раз. Будем
получать точки А4 и В4 , А5 и В5 , А6 и В6 и т.д. Ап и Вп. (рис. 81).
Рассуждая аналогично получим
и т.д.
и
- 36 -
Рис. 80 Рис. 81
Покажем, как использовать полученную схему на примере.
Примеры решения задач
Задача 19. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС разделены точками М и N так, что
АМ : МВ = СN : NB = 4 : 3. Найдите какую часть от площади треугольника АВС занимает
четырехугольник АМNС (рис. 82).
Рис. 82
Решение: Сторону АВ нужно разделить на 7 (4+3) равных частей, четыре части будет
составлять отрезок АМ (СN) и три части отрезок МВ (NB).
Применим рассмотренную раннее схему (рис. 83):
- 37 -
Рис. 83
S
CAB
= x + 3x + 5x + 7x + 9x + 11x + 13x = 49x ,
S
MBN
= x + 3x + 5x = 9x ,
S
AMNC
= 7x + 9x + 11x + 13x = 40x или S
AMNC
= S
ABC
– S
MBN
= 49x - 9x= 40x.
Эту задачу можно решить, используя подобие.
Если АМ : МВ = 4 : 3 , то ВМ : ВА = 3 : 7.
ΔМВN ~ ΔАВС, с коэффициентом подобия
.
Но. к сожалению, решая задачу таким способом очень часто допускают ошибку при
определении коэффициента подобия.
Задача 20. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС разделены точками М, Р, К и L так, что
АМ : МР : РВ = СК : КL : LB = 1 : 3 : 2. Найдите площади частей и всего треугольника, если
площадь меньшей части равна 40 (рис. 84).
Рис. 84
Решение: Площадь треугольника АВС состоит из S
ABC
= S
PBL
+ S
MPLK
+S
AMKC
.
Сторону АВ нужно разделить на 6 (1+3+2) равных частей, одну часть будет составлять
отрезок АМ (СК), три части отрезок МР (КL) и две части отрезок РВ (LВ).
- 38 -
Применим рассмотренную раннее схему (рис. 85):
Рис. 85
S
PBL
= x+3x = 4x ; S
MPLK
= 5x + 7x + 9x= 21x ; S
AMKC
= 11x ; S
ABC
= 36x.
Наименьшая по площади фигура – 4х , т.о. 4х = 40, значит х=10.
Тогда S
PBL
= 40; S
MPLK
= 21·10=210 ; S
AMKC
= 11·10=110 ; S
ABC
= 36·10=360.
Задача 21. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС разделены точками М, Р, К и L так, что
АМ : МР : РВ = СК : КN : NB = 1 : 2 : 2. Найдите площади, полученных фигур, если площадь
средней части равна 36.
Решение: Площадь треугольника АВС состоит из S
ABC
= S
PBL
+ S
MPLK
+S
AMKC
,
и для решения применим рассмотренную ранее схему.
Сторону АВ разделим на 2 + 2 + 1 = 5 равных частей (рис. 86).
Рис. 86
S
PBL
= x+3x = 4x ; S
MPLK
= 5x + 7x = 12x ; S
AMKC
= 9x ; S
ABC
= 25x.
Средняя часть – 12х , т.о. 12х = 36, значит х=3.
Тогда S
PBL
= 12; S
MPLK
= 36 ; S
AMKC
= 9·3=27 ; S
ABC
= 25·3=75.
- 39 -
Задания для самостоятельной работы
Рис. 87 ( для задач №№ 35-39)
35. Через точки М и Р, делящие сторону АВ треугольника АВС на три равные части, проведены
прямые, параллельные стороне АС. Найдите площадь части треугольника, заключенной между
этими прямыми, если площадь треугольника АВС равна 90 (рис.87).
36. В треугольнике АВС стороны разделены точками М, Р, К и L так, что
АМ : МР : РВ = СК : КL : LB = 3 : 1 : 4. Найдите площади, полученных фигур, если площадь
средней части треугольника равна 36 (рис.87).
37. В треугольнике АВС стороны разделены точками М, Р, К и L так, что
АМ : МР : РВ = СК : КL : LB = 2 : 2 : 5. Найдите площади, полученных фигур, если площадь
меньшей фигуры равна 36 (рис.87).
38. В треугольнике АВС стороны разделены точками М, Р, К и L так, что
АМ : МР : РВ = СК : КL : LB = 2 : 3 : 2. Найдите какую часть от треугольника АВС занимают
площади, полученных фигур (рис.87).
39. В треугольнике АВС стороны разделены точками М, Р, К и L так, что
АМ : МР : РВ = СК : КL : LB = 3 : 4 : 5. Найдите какую часть от площади меньшей фигуры
занимают площадь треугольника АВС и площади других фигур (рис.87).
ОТВЕТЫ.
35. 30 .
36. 64, 36, 156, 256 .
37. 37,5; 36; 48; 121,5 .
38.
.
39.
.
- 40 -
2.2. Отношения площадей треугольников
Вспомним школьные формулы для вычисления площади треугольника (рис.88):
где a, b, c –стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности,
r - радиус вписанной окружности,
p – полупериметр.
Рис. 88
Повторим рассмотренные ранее свойства треугольника, связанные с площадью:
Рис. 89
• Медиана делит треугольник на два треугольника одинаковой площади (рис.89):
S
АВМ
= S
СВМ
= S
САК
= S
КАВ
= S
АСР
= S
РСВ
=
S
АВС
.
• Если точка О – точка пересечения медиан, тогда площади треугольников ΔАОВ, ΔВОС,
ΔАОС равны между собой и равны одной третьей части площади треугольника ΔАВС (рис.89):
S
АОВ
= S
ВОС
= S
АОС
=
S
АВС
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]