Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Отношение отрезков и площадей геометрических фигур. Учебное пособие для студентов
.pdf
- 41 -
• Если точка О – точка пересечения медиан, тогда площади треугольников ΔАРО, ΔРВО,
ΔВКО, ΔКСО, ΔСМО, ΔАМО равны между собой и равны одной шестой части площади
треугольника ΔАВС (рис.89):
S
АРО
= S
РВО
= S
ВКО
= S
КСО
= S
СМО
= S
АМО
=
S
АВС
.
Выше указанные свойства, являются следствием задачи 24.
• Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента
подобия.
Дополним эти свойства новыми. Рассмотрим свойства площадей треугольников,
имеющих что-либо общее – основание или высоту.
Основные соотношения:
1. Рассмотрим два треугольника, у которых основания лежат на одной прямой, а
вершины лежат на прямой параллельной основанию (рис.90).
А, С, М, К , и (ВN) || l .
Рис. 90 Рис. 91
Если (ВN) || (АС), высоты треугольников АВС и МКN будут равными и равны расстоянию
между этими параллельными прямыми (рис.90), тогда
Вывод. Если треугольники имеют равные высоты, значит их площади будут относиться также
как длины оснований (рис.90):
Частный случай: У двух треугольников основания лежат на одной прямой и общая вершина,
тогда площади этих треугольников будут относиться как длины оснований (рис.91).
2. Рассмотрим два треугольника с одинаковыми основаниями (рис.92).
Рис 92
- 42 -
Вывод. Если треугольники имеют равные основания, значит их площади будут относиться
также как высоты:
Примеры решения задач
Рис. 93 Рис. 94
Задача 22. Точка М делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2 : 5. Определите в
каком отношении отрезок СМ делит площадь треугольника АВС (рис.93).
Решение: По условию задачи необходимо найдите отношение площадей треугольников АСМ
и ВСМ. Пусть СН – высота треугольника АВС. Тогда S
АСМ
=0,5АМ·СН и S
ВСМ
=0,5ВМ·СН,
следовательно,
Задача 23. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К, при этом образовался
треугольник АКС, его высота КN равна 3, а высота треугольника АВС ВН=5. Найдите, какую
часть от площади треугольника АВС составляет площадь треугольника АКС (рис.94).
Решение: Рассмотрим ΔАВС и ΔАКС. Эти треугольники имеют одинаковое основание АС.
Используя свойство площадей треугольников с одинаковым основанием, получим:
Задача 24. В треугольнике АВС проведены медианы СК, АМ и BN. Докажите, что медианы
разбивают треугольник АВС на 6 равновеликих треугольников (рис.95).
Доказательство: Пусть медианы пересекаются в точке Р.
Обозначим: S
СРМ
= S1, S
CNP
= S2, S
NPA
= S3, S
APK
= S4, S
KPB
= S5, S
BPM
= S6.
- 43 -
Рис. 95
Площадь ΔАВС равна сумме всех площадей полученных треугольников,
т.е. S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 .
Рассмотрим треугольники СМР и МВР (рис.95). У них: основания лежат на одной
прямой и общая вершина Р, тогда
1
МВ
МС
S
S
6
1
==
. Следовательно, S1 = S
6
.
Аналогично, S2 = S3 и S4 = S5 .
Рассмотрим треугольники СМА и МВА (рис.95). У них: основания лежат на одной
прямой и общая вершина А, тогда
== 1
МВ
МС
S
S
МВА
СМА
S
СМА
= S
ВМА
S
1
+ S2 + S3 = S4 + S5 +S
6
S
1
+ 2∙S2 = 2∙S4 + S6
2∙S
2
= 2∙S
4
S
2
= S4 .
Аналогично доказывается равновеликость других треугольников, т.о.
S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 .
Следствия:
Обозначим S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 = х.
1) Тогда S
АВС
= S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 = 6 х, а значит S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 составляют
одну шестую часть от площади треугольника АВС .
2) Если S
АВС
= 6 х, S
АСР
= S2 + S3 = 2 х , тогда S
АСР
составляет третью часть от площади
треугольника АВС .
3) S
АСМ
= S1 + S2 + S3 = 3 х , тогда S
АСМ
составляет половину от площади треугольника АВС.
4) Ещё одно доказательство теоремы о точке пересечения медиан:
.
С другой стороны
Задача 25. На стороне АВ треугольника АВС взяты точки М и N, причем
АМ : МN : NВ = 2 : 2 : 1, а на стороне АС – точка К, причем АК : КС = 1 : 2. Найдите площадь
треугольника MNK, если площадь треугольника АВС равна 30 (рис.96).
Рис. 96
- 44 -
Решение: Соединим точки M, N, В с точкой К (рис.96).
Исходя из отношений АМ : МN : NВ = 2 : 2 : 1 и АК : КС = 1 : 2 и введя коэффициенты
пропорциональности получим:
АМ =2 х , МN = 2 х , NВ = х , AB= AМ + МN + NВ = 5 х ,
АК = у , КС = 2 у, AC = AK + КС = 3 у
Треугольники АКВ и АСВ имеют общую вершину В и основания АК и АС, лежащие на
одной прямой, тогда:
Треугольники АКВ и MKN имеют общую вершину K и основания АВ и MN, лежащие на
одной прямой, тогда:
Т.о. S
МNK
=
∙30 = 4.
Задача 26. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, к которой она
проведена, на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Решение. Пусть СК – биссектриса угла , докажем, что
.
Проведем из точки К перпендикуляры к сторонам АС и СВ (рис.95).
Рис. 97
Тогда S
AСK
= 0,5 АС·h и S
ВСK
= 0,5 СВ·h .
С одной стороны
с другой
Следовательно
Замечание: Вместо формул S
AСK
= 0,5 АС·h и S
ВСK
= 0,5 СВ·h , можно использовать другую
формулу площади треугольника: S
AСK
= 0,5 АС·CK∙sin
и S
ВСK
= 0,5 СB·CK∙sin
.
Эту задачу можно решить, используя теорему Фалеса.
Сделаем дополнительные построения:
продлим сторону АС и проведем прямую (MB)‖(CK) (рис. 98).
Рис. 98
- 45 -
(СК - биссектриса),
(соответственные углы при параллельных (СК) и (МВ), и секущей (АМ)),
(внутренние накрестлежащие углы при параллельных (СК) и (МВ), и секущей
(СВ)).
Т.о. , а значит ΔСВМ – равнобедренный и СВ = СМ.
По теореме Фалеса для угла получим, что
Задания для самостоятельной работы
40. Точки М и Р делят сторону АВ треугольника АВС на три равные части, точка К делит
сторону АС пополам. Найдите площади частей треугольника – АМК, МРК, РВСК, если
площадь треугольника АВС равна 270.
41. В треугольнике АВС стороны разделены точками М, К и L так, что
АМ : МВ = СК : КА = 2 : 5, СL : LB = 3 : 1. Найдите площади фигур, полученных при разрезании
треугольника отрезками МК, КL, МL, если площадь наименьшей из частей равна 70.
42. В треугольнике АВС стороны разделены точками М, К и L так, что АМ : МВ = 4 : 5,
СК : КА = 5 : 2, СL : LB = 1 : 6. Найдите площади фигур, полученных при разрезании
треугольника отрезками МК, КL, МL, если площадь наибольшей из частей равна 630.
43. В треугольнике АВС стороны разделены точками М и L так, что АМ : МВ = 2 : 3,
СL : LB = 2 : 5. Чевианы СМ и АL пересекаются в точке К Найдите площади, полученных
фигур, если площадь АВС равна 140.
44. В треугольнике АВС стороны разделены точками М и L так, что АМ : МВ = 3 : 2,
СL : LB = 4 : 3. Чевианы СМ и АL пересекаются в точке К Найдите площади, полученных
фигур, если площадь наименьшей из частей равна 320.
45. В треугольнике АВС стороны разделены точками М и L так, что АМ : МВ = 1 : 2,
СL : LB = 4 : 5. Чевианы СМ и АL пересекаются в точке К Найдите площади, полученных
фигур, если площадь МВLР равна 210.
46. В треугольнике АВС проведены три чевианы АМ, ВL и СР, пересекающиеся в одной точке
К. Найдите, какую часть от площади треугольника АВС занимают получившиеся
треугольники, если АР : РВ = 3 : 4, ВМ : МС = 2 : 3.
47. Медианы АМ, ВL и СР треугольника АВС разрезали его на меньшие треугольники. Найдите
площади получившихся треугольников, если АВ = 19, ВС = 15 , АС = 20.
48. Биссектрисы АМ, ВL и СР треугольника АВС разрезали его на меньшие треугольники.
Найдите площади получившихся частей, если АВ = 6, ВС = 7 , АС = 8.
ОТВЕТЫ.
40. 45 ; 45 ; 18.
41. 70 ; 80 ; 84 ; 158.
42. 135 ; 168 ; 390 ; 630.
43.
44.
.
45.
.
46.
47. .
48.
.
- 46 -
2.3. Отношение площадей в трапеции
Напомним определение трапеции.
Определение: Трапеция – это выпуклый четырехугольник, две стороны которого
параллельны друг другу (основания), а две другие стороны – не параллельны (боковые).
Рис. 99
Вспомним школьные формулы для вычисления площади трапеции (рис.99):
где a, b – основания трапеции,
d1 , d2 – диагонали трапеции (АС и ВD),
φ – угол между диагоналями трапеции.
Если в трапецию можно вписать окружность, тогда:
где a, b , с, d – стороны трапеции,
r - радиус вписанной окружности,
p – полупериметр.
Повторим рассмотренные ранее свойства трапеции, которые так или иначе связаны с
площадью:
• Если точка О – точка пересечения диагоналей трапеции АВСD с основаниями
АD : ВС = а : b, тогда треугольники СОВ и АОD подобны (рис. 100) с коэффициентом подобия
k = b / a , а значит их площади относятся как квадрат коэффициента подобия:
• ΔСОD и ΔАОВ не подобные и не равные (рис. 100), но равновеликие (задача 28):
• ΔАKD и ΔВKC подобны (рис. 100) с коэффициентом подобия
, а значит их
площади относятся как квадрат коэффициента подобия:
• Прямая (КО) делит основания трапеции пополам (рис. 100) :
• Если две трапеции подобны с коэффициентом подобия k , тогда их площади будут
относиться как k2 - квадрат коэффициента подобия.
- 47 -
Рис. 100
Замечание: Напомним, что в отличие от подобия треугольников для подобия трапеций
равенства углов недостаточно. Чтобы трапеции были подобными необходимо чтобы и
соответственные углы были равными и соответственные стороны были пропорциональными.
В случае треугольников, если прямая параллельна стороне треугольника, то она отсекает
именно подобный треугольник. Для трапеций этого недостаточно.
Если (МК)║(АВ), то трапеции АВСD и КМСD (рис. 101) не подобны, хотя имеют равные
соответственные углы .
Рис. 101
Также не будут подобными трапеции АВСD и МВСК (рис. 102), хотя прямая (МК)║(АD).
Рис. 102
Подобными будут трапеции АВСD и АМКР изображенные на рисунке 103 (в силу
равенства соответственных углов и пропорциональности соответственных сторон).
- 48 -
Рис. 103
Но несмотря на отсутствие подобия сравнивать площади частей трапеции можно. Так же
как для треугольников будем искать что-то общее у трапеций – или основания, или высоту,
или отношения этих величин.
Примеры решения задач
Задача 27. В трапеции АВСD задано отношение оснований и проведена диагональ АС, найдите
какую часть от площади всей трапеции занимают площади полученных треугольников АВС и
АСD (рис. 104).
Рис. 104
Решение. Пусть АD = а х , ВС = b х.
Тогда
и
.
Теперь найдем отношения площади треугольников к площади трапеции:
Если провести другую диагональ ВD, то получим такой же результат:
Т.о. S
ABD
= S
ACD
и S
ABC
= S
BCD
.
Доказать равенство площадей можно и другим способом: у треугольников АВD и АСD
- одинаковые основания и равные высоты, а значит и площади тоже будут равными (рис. 105).
Рис. 105
- 49 -
Задача 28. Найдите отношения площадей треугольников к площади трапеции, если в трапеции
проведены обе диагонали АС и ВD (рис. 106).
Рис. 106
Решение. Обозначим площадь всей трапеции - S. Будем использовать результаты предыдущей
задачи.
Для нахождения S
ABO
рассмотрим ΔАВС.
Найдем отношения площадей этих треугольников:
Следовательно
Рассмотрим ΔВDС и ΔDОС .
Аналогично, найдем площади остальных треугольников.
Рассмотрим ΔАВС и ΔВОС .
Рассмотрим ΔАВD и ΔАОD .
Т.о.
Проверка:
Замечание: Напомним, что треугольники АОВ и СОD – равновеликие, но не обязательно
равные. Равными они будут только для равнобедренной трапеции.
Задача 29. Длины оснований трапеции относятся как 3 к 4. В трапеции проведены диагонали,
делящие фигуру на четыре треугольника. Найдите площади этих треугольников, если площадь
большего из них равна 48 (рис. 107) .
- 50 -
Рис. 107
Решение. Для того, чтобы найти площади треугольников воспользуемся формулами,
полученными в задаче 28:
Очевидно, что наибольшую площадь имеет S
4
, тогда
, следовательно S = 147.
Теперь найдем площади остальных частей
Проверка: S = 36 + 27 + 36 + 48 = 147.
Задача 30. Длины оснований трапеции относятся как 3 : 5. В трапеции проведены диагонали,
делящие фигуру на четыре треугольника. Найдите какую часть от площади всей трапеции
занимают площади этих треугольников (рис. 108).
Рис. 108
Решение. Воспользуемся формулами, полученными в задаче 28:
Проверка:
Задача 31. Длины оснований трапеции относятся как 4 : 7. В трапеции проведены диагонали,
делящие фигуру на четыре треугольника. Найдите площади этих треугольников, если площадь
меньшего из них равна 80 (рис. 109).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]