Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Отношение отрезков и площадей геометрических фигур. Учебное пособие для студентов
.pdf
- 61 -
параллелограмма АВСD составляют площади этих параллелограммов, если АМ : МD = α : β
и АN : NВ = λ : μ (рис. 123).
Рис. 123
Решение. Обозначим площадь параллелограмма S.
Аналогично выводятся площади других частей:
Задача 41. На стороне AD параллелограммa ABCD расположена точка М. Найдите, какую
часть от площади всего параллелограмма занимают ΔАВМ и четырехугольник МВСD , если
АМ : МD = 7 : 2 (рис. 124).
Рис. 124 Рис. 125
Решение: Для этого выполним вспомогательное построение, характерное для всех задач
подобного типа: проведем через точку М прямую (МК) параллельную прямым (АВ) и (СD),
(рис. 125).
Обозначим площадь параллелограмма S.
Сначала найдем отношение площадей
Площади треугольников ΔАВМ и ΔВКМ составляют ровно половину от площади
параллелограмма АВКМ (рис. 125).
Площадь четырехугольника BCDM можно найти как разность площадей (рис. 125):
А можно и как сумму площадей (рис. 125):
Задача 42. На стороне AD параллелограммa ABCD расположена точка М. Найдите, какую
часть от площади всего параллелограмма занимают ΔАВМ и четырехугольник МВСD , если
АМ : МD = α : β (рис. 126).
- 62 -
Рис. 126 Рис. 127
Решение: Проведем через точку М прямую (МК) параллельную (АВ) и (СD), (рис. 127).
Обозначим площадь параллелограмма S.
Сначала найдем отношение площадей параллелограммов.
Площади треугольников ΔАВМ и ΔВКМ составляют ровно половину от площади
параллелограмма АВКМ (рис. 127):
Эту задачу можно решить другим способом.
Перейдём к длинам отрезков.
Если АМ : МD = α : β , тогда АМ = αх , МD = βх , АD = (α + β ) х = ВС.
Обозначим высоту параллелограмма – h.
У треугольника АВМ и трапеции ВСDМ высота будет та же - h.
Тогда
Задача 43. В параллелограмме АВСD через точки М и К, лежащие на противоположных
сторонах, проходит прямая (МК). Эта прямая разрезает параллелограмм на две трапеции.
Найдите какую часть от площади параллелограмма АВСD составляют площади этих трапеций,
если АМ : МD = α : β и ВК : КС = λ : μ (рис. 128).
Рис 128
Решение. Обозначим площадь параллелограмма S.
Сделаем дополнительные построения: (КL)‖(МN)‖(АВ) (рис. 129).
- 63 -
Рис. 129
Сначала найдем отношение площадей:
Площадь LKNM (рис. 129) найдем как разность:
Площади треугольников ΔLKМ и ΔKNM (рис. 129) составляют ровно половину от
площади параллелограмма LKNM :
Попробуйте решить эту задачу другим способом и сравните ответ.
Можно делать более сложные разрезы, но так или иначе задачи будут сводиться к
рассмотренным выше.
Задания для самостоятельной работы
Рис. 130 Рис. 131
67. В параллелограмме АВСD через точки М и N, лежащие на смежных сторонах проходят
прямые (МК) и (NL), параллельные сторонам параллелограмма. Эти прямые разрезают
параллелограмм на четыре параллелограмма, (рис. 130). Найдите какую часть от площади
параллелограмма АВСD составляют площади этих фигур, если известны отношения:
а) АМ : МD = 1 : 3 и АN : NВ = 2 : 3 ;
б) DМ : МA = 4 : 5 и АВ : NВ = 7 : 2 ;
в) АМ : АD = 2 : 7 и DС : LC = 8 : 3 .
68. На стороне AD параллелограммa ABCD расположена точка М, (рис. 131). Найдите, какую
часть от площади всего параллелограмма занимают площади ΔАВМ и четырехугольника
МВСD , если:
а) АМ : МD = 4 : 7 ; б) АМ : АD = 1 : 6 ; в) DМ : МА =4 : 3 .
- 64 -
69. На стороне AВ параллелограммa ABCD расположена точка К и проведен отрезок СК.
Найдите, какую часть от площади всего параллелограмма занимают площади получившихся
фигур, если:
а) АК : КВ = 5 : 3 ; б) ВК : АВ = 2 : 5.
70. На стороне ВС параллелограммa ABCD расположена точка М и проведены отрезки AМ и
МD. Найдите, какую часть от площади всего параллелограмма занимают площади
получившихся фигур, если:
а) ВМ : МС = 6 : 5 ; б) СМ : СВ = 2 : 7.
71. На стороне СD параллелограммa ABCD расположена точка К и проведены отрезки ВК и
АК. Найдите, какую часть от площади всего параллелограмма занимают площади
получившихся фигур, если
а) DК : КС = 2 : 7 ; б) DС : КС = 5 : 3 ; в) DК : СD = 4 : 5.
72. В параллелограмме АВСD точки М и К лежат на противоположных сторонах. Прямая (МК)
разрезает параллелограмм на две трапеции (рис. 132). Найдите какую часть от площади
параллелограмма АВСD составляют площади этих трапеций, если:
а) АМ : МD = 1 : 3 и ВК : КС = 2 : 3 ;
б) DМ : МA = 4 : 7 и CВ : КB = 7 : 3 ;
в) АD : МD = 6 : 5 и CК : СB = 2 : 5 .
Рис. 132 Рис. 133
73. В параллелограмме АВСD точки М и Р лежат на противоположных сторонах. Прямая (КL)
параллельна стороне ВС, (рис. 133). Найдите какую часть от площади всего параллелограмма
занимают площади получившихся фигур, если:
а) АМ : МD = 1 : 3 , АL : LВ = 2 : 3 и ВP : PС = 2 : 5 ;
б) DМ : МA = 3 : 4 , BL : AB= 2 : 5 и ВP : PС = 2 : 1 ;
в) АD : МD = 5 : 2 , DC : KC = 4 : 3 и CP : PB = 6 : 5 .
74. В параллелограмме АВСD известны отношения АD : AM = 4 : 3 и BK : КA = 2 : 3 . Найдите
какую часть от площади всего параллелограмма (рис. 134) занимают площади получившихся
фигур.
Рис. 134 Рис. 135
75. В параллелограмме АВСD известны отношения АМ : МD = 2 : 3 и АB : КВ = 7 : 3 . Найдите
какую часть от площади всего параллелограмма (рис. 135) занимают площади получившихся
фигур.
- 65 -
76. В параллелограмме АВСD известны отношения АМ : МD = 7 : 3 и АК : AВ = 3 : 8 . Найдите
какую часть от площади всего параллелограмма (рис. 136) занимают площади получившихся
фигур.
Рис. 136 Рис. 137
77. В параллелограмме АВСD известны отношения АB : КВ = 5 : 4 , АМ : МD = 5 : 3 и СN : ND
= 1 : 4 . Найдите какую часть от площади всего параллелограмма (рис. 137) занимают площади
получившихся фигур.
78. В параллелограмме АВСD известны отношения ВР : РС = 5 : 4 , АМ : МD = 1 : 4 и DC : КС
= 3 : 2 , (рис. 138). Найдите какую часть от площади всего параллелограмма занимают
площади получившихся фигур.
Рис. 138
79. Параллелограмм разрезан на части как показано на рисунках 139 - 144. Известны
отношения, в которых точки, лежащие на сторонах параллелограмма делят соответствующие
стороны. Найдите какую часть от площади всего параллелограмма S, занимают площади
получившихся фигур:
а) б)
Рис. 139 Рис. 140
в) г)
Рис. 141 Рис. 142
- 66 -
д) е)
Рис. 143 Рис. 144
ОТВЕТЫ.
67. а)
б)
в)
68. а)
б)
в)
69. а)
б)
70. а)
б)
71. а)
б)
в)
72. а)
б)
в)
73. а)
б)
в)
74.
75.
76.
77.
78.
79. Подсказки:
а) б) г)
Рис. 145 Рис. 146 Рис. 147
д) е)
Рис. 148 Рис. 149
- 67 -
3. Еще о площади четырехугольника
Определение: Фигура называется выпуклой, если для любых её двух точек она целиком
содержит отрезок, соединяющий эти точки. В противном случае, она называется невыпуклой.
На рисунке 150 приведены примеры выпуклых фигур, на рисунке 151 примеры
невыпуклых фигур.
Рис. 150
Рис. 151
Замечание: Любой треугольник, трапеция, параллелограмм, круг являются выпуклыми
фигурами.
Для выпуклых четырёхугольников есть ещё три красивых свойства, связанных с
площадью.
• Пусть ABCD выпуклый четырёхугольник и точки M, N, K, P середины сторон AB, BC, CD и
AD соответственно, тогда четырехугольник MNKP является параллелограммом и его площадь
ровно половина площади четырехугольника ABCD (рис. 152).
- 68 -
Рис. 152
Доказательство: Обозначим: S
AMP
= S1, S
BMN
= S2, S
CNK
= S3, S
DPK
= S4 .
Проведем диагональ BD (рис. 153).
Рис. 153 Рис. 154
Для треугольника АВD отрезок МР является средней линией, а значит:
МР‖ВD , длина МР равна половине ВD.
Треугольники АМР и АВD подобны с коэффициентом подобия ½, а значит
Для треугольника СВD отрезок NK является средней линией, тогда:
NK‖ВD и длина NK равна половине ВD.
Треугольники CNK и CВD подобны с коэффициентом подобия ½, а значит
Проведем диагональ AC (рис. 154).
Для треугольника АВС отрезок МN является средней линией, а значит:
МN‖AC , длина МN равна половине AC.
Треугольники MBN и АВC подобны с коэффициентом подобия ½, а значит
Для треугольника DAC отрезок PK является средней линией, тогда:
PK‖AC и длина PK равна половине AC.
- 69 -
Треугольники DPK и DAC подобны с коэффициентом подобия ½, а значит
Если МР‖ВD и NK‖ВD , значит МР‖NK .
Если МN‖АС и РK‖АС , значит МN‖РK .
Т.о. у четырёхугольника МNКР две пары параллельных сторон, а значит это
параллелограмм.
Так как
С другой стороны (рис. 155),
Рис. 155
• Пусть ABCD выпуклый четырёхугольник и точки M, N, K, P середины сторон AB, BC, CD и
AD соответственно, обозначим точку пересечения отрезков MK и NP – Т (рис. 156), тогда
Рис. 156
- 70 -
Доказательство: Будем использовать результат предыдущей задачи:
Обозначим: S
AMP
= S1, S
BMN
= S2, S
CNK
= S3, S
DPK
= S
4
, тогда
Так как МNКР – параллелограмм, а значит его диагонали МК и NР разрезают его на четыре
треугольника одинаковой площади.
Обозначим их площади - S5. (рис. 157).
Рис. 157
Тогда
• Пусть ABCD выпуклый четырёхугольник и L точка пересечения диагоналей АС и ВD
(рис. 158), тогда
Рис. 158
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]