Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы эконометрики. Учебное пособие
.pdf
Замечание. Зачастую не удается выявить гетероскедастичность с по-
х
мощью тестов, позволяющих приближенно оценить
Σ , тогда используют
0
МНК-оценки коэффициентов регрессии, а для статистических исследований
ˆ
Σ
используют оценку
, уточненную по формулам Уайта и Невье-Веста [3].
b
Проиллюстрируем вышеизложенное на примере.
Пример 3. По данным 20 семей (таблицы А3, Приложение А) построе-
на МНК - оценка уравнения регрессии, описывающая зависимость между
расходами на питание (
ˆ
.., едденy ) и доходами ( .., едден
2
ˆ
,44,084,20
)0022,0()5,4(
916,0
=+= Rxy
):
Проведем исследование регрессионных остатков на гетероскедастичность.
На рисунке 2.2 представлен график зависимости упорядоченных в порядке возрастания значений доходов (х) и абсолютных значений регрессионных остатков, значения которых получены на основе построенной регрессионной модели (таблицы А3, Приложение А). Как видно, прослеживается тенденция к росту абсолютных значений регрессионных остатков
с ростом объясняющей переменной, что позволяет предположить наличие гетероскедастичности. Используя критерии ранговой корреляции Спирмена, ГолдфелдаКвандта, проверим выдвинутое предположение.
30
25
20
15
/е/
10
5
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Х, ден.ед.
Рисунок 2.2 - Зависимость между упорядоченными в порядке возрастания значениями доходами (х) и абсолютными значеними регрессионных остатков
Рассчитаем коэффициент ранговой корреляции Спирмена
51
−
n
ρ
ρ
α
<
∑
=
i
2
D
i
1
−
1
nn
⋅
−=
5,7396
444,0
33
=
2020
(расчет
D представлен в таб-
i
6
−=
r
1
//
ex
лице А2).
0:
xe
xe
=
(нет гетероскедастичности)
0:
≠
(есть гетероскедастичность)
H
H
0
1
Для проверки гипотезы используется статистика. По таблице нормального распределения определяем критическое значение на уровне значимости
05,0=
96,1=
t , 92,1=
крит
t . Так как
набл
tt
// , то нулевая гипотеза об
критнабл
отсутствии гетероскедастичности принимается.
Для применения теста Голдфелда-Квандта необходимо сформировать
выборки, состоящие из n′ первых и n′′ последних объектов наблюдения, где
25.0=−
′′
′
=
=
nn .
nn
8
2
Оценим уравнения регрессии Y на Х, сформированных по выборкам
объемами n′ и n′′:
2
′
ˆ
ˆ
,629,0785,5
RXy и 814,0
924,0
=+=
′′
ˆ
2
ˆ
,364,0566,38
=+=
RXy , по
которым оцениваются регрессионные остатки и определяются суммы их
квадратов (таблица 2.2).
Таблица 2.2 – Расчет критерия Голдфелда-Квандта
№ п/п х
1 30 24,7 -2,7 7,29
2 36 28,4 -3,4 11,56
3 40 30,9 2,1 4,41
4 45 34,1 0,9 0,81
5 50 37,2 2,8 7,84
6 60 43,5 4,5 20,25
7 70 49,8 0,2 0,04
8 80 56,1 -4,1 16,81
Сумма 69,01
13 120 82,2 -4,1 16,81
14 130 85,9 -3,9 15,21
15 145 91,3 -3,3 10,89
16 150 93,2 16,8 282,24
17 200 111,4 13,6 184,96
18 250 129,6 -15,6 243,36
19 300 147,8 -22,8 519,84
20 360 169,8 19,4 376,36
Сумма 1649,7
ˆ
y
e
2
e
Для проверки нулевой гипотезы
дастичности);
H
:, :
1
jiH
22
σσ
≠∃ (есть гетероскедастичность) строится стати-
ji
10
2
2
:
22
σσσ
=== K (нет гетероске-
n
52
'///
=
ε
β
+
X
ρ
ε
ε
<
<
ρ
стика 9,23
F
=
'///
)1/(};{max
−−
knQQ
knQQ
)1/(};min{
−−
7,1649
==
01,69
. По таблице распределе-
ния Фишера определяется
F . Так как
крит
28,4)6;6;05,0(
FF > , то нуле-
крит
вая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отвергается.
Для устранения гетероскедастичности воспользуемся ОМНК (2.3), где
⎛
⎜
⎜
матрица
ˆ
=Σ
0
⎜
⎜
⎜
⎝
случае имеет вид:
2
2
⎞
0...030
⎟
⎟
0...360
. Оценка уравнения регрессии в этом
⎟
.............
⎟
2
⎟
3600...0
⎠
xy
32,046,19ˆ+= . Таким образом, учет гетероскедастич-
)0001,0()1,2(
ности позволил существенно скорректировать зависимость между доходами
и расходами, и, в частности, с ростом доходов на 1, расходы на питание возрастут в среднем на 0,32 ден.ед., а не на 0,44 ден. ед.
2.4 Обобщенная линейная модель множественной регрессии с ав-
токоррелированными остатками
2.4.1 Автокорреляционная зависимость первого порядка
Линейная модель множественной регрессии
=
Y
, (2.11)
для которой нарушено 5 условие Гаусса-Маркова называется
обобщенной линейной моделью множественной регрессии с автокоррелированными остатками
[1].
Рассмотрим частный случай автокорреляции регрессионных остатков –
автокорреляционную зависимость первого порядка, которая описывается соотношением [1]:
δρεε
+=
, (2.12)
iii
−1
где
δ
Анализируя выражение (2.12) при
личина
ε
i
изменения
- коэффициент корреляции между
- случайные величины, удовлетворяющие условиям
i
2
⎧
σ
MM
jii
],[,0][
δδδ
δ
==
⎨
,0
⎩
;,
=
jiпри
.
≠
jiпри
будет сохранять определенный знак на некоторых промежутках
i (рисунок 2.3). Подобную ситуацию будем характеризовать как
и
i
10
, можно утверждать, что ве-
( 1// ≤ρ).
1−i
положительную автокорреляцию регрессионных остатков.
53
При 01
<
ρ
x
~
β
β
=
ε
εi εj ε
ε2 ε0 ε
~
<−
величина
ε
будет почти регулярно менять знак (рисунок
i
2.4). Такую ситуацию будем называть
регрессионных остатков
.
y
отрицательной автокорреляцией
i+1
j+1
x
+
xy
10
Рисунок 2.3 – Иллюстрация положительной автокорреляции
y
xy
ββ
+=
10
1
x
Рисунок 2.4 - Иллюстрация отрицательной автокорреляции
Приведенное геометрическое свойство ЛММР с автокоррелированными остатками будем использовать для выявления подозреваемых на такое
свойство моделей.
Пример 4. На основе (таблица А.4, Приложение А) данных о еже-
годным потреблением бананов (
y ) и годовым семейным доходом (
строена оценка уравнения регрессии
2
ˆ
ˆ
,734,0089,5
)198,0()23,1(
637,0
=+= Rxy . Проведем
) по-
исследование регрессионных остатков на наличие автокорреляции, для этого
построим график разброса наблюдаемых значений результативного признака
относительно функции регрессии (рисунок 2.5). По графику можно предположить наличие положительной автокорреляции.
54
ρ
≤
D
D
<
ρ
D
Рисунок 2.5 - График разброса наблюдаемых значений результативного
признака относительно функции регрессии.
В случае множественной функции регрессии строится график зависимости
ременной
e , упорядоченных в порядке возрастания значений объясняющей пе-
i
x , по которой исследуется автокорреляция. Если по мере возрас-
l
тания упорядоченной переменной оценки регрессионных остатков сохраняют
определенный знак на некоторых промежутках, то можно выдвинуть предположение о положительной автокорреляции. Если
e , в основном, регулярно
i
меняют знак, то выдвигается предположение об отрицательной автокорреляций. Ниже рассмотрим критерий, позволяющий устанавливать наличие/отсуствие автокорреляции.
2.4.2 Тестирование автокоррелированности регрессионных остат-
ков
Допустим, что регрессионные остатки ЛММР удовлетворяют условию
(2.12). С учетом соотношения (2.12) рассмотрим величину
2
=
D
=
M
−
M
2
εε
ii
1
2
ε
i
Из (2.13), следует, что в случае положительной автокорреляции (
2
M
2
−+
MMM
1
2
ε
i
)(2)(
εεεε
−−−
iiii
1
=
σ
)22(
−
ρσ
2
)1(2
ρ
−=
. (2.13)
)0>
20 ≤
будем иметь
0→
. В случае отрицательной автокорреляции )0(
и, в частности, при ρ близких к единице величина
находиться в интервале
близка к «-4».
величина D может
42≤≤
и, в случае, ρ близких к «-1» величина D
55
Проверить подтверждается или нет предположение (гипотеза) о нали-
D
=
ρ
ρ
α
DW
DW
DW
−
−
чии автокорреляции можно попытаться с помощью критерия ДарбинаУотсона, приведенного ниже:
n
−
2
n
e
∑
1
=
i
где
∑
=
i
=
DW
n,1i,yye
=−= - оценки регрессионных остатков, пронумерован-
iii
ных в порядке возрастания проверяемой объясняющей переменной
2
)(
ee
−
ii
1
ˆ
)
1(2
ρ
−≈
, (2.14)
2
i
x .
l
Статистика Дарбина-Уотсона обладает свойствами аналогичными
свойствам
можно почти всегда считать
при отрицательной автокорреляции почти всегда
DW близко к 4; в сучае отсутствия оснований подозревать автокорреляцию,
в половине случаев считаем, что
близкие к 2 значения
Для проверки гипотезы Н
0≠
(есть явление автокорреляции) используется статистика Дарбина-
из (2.13). Действительно, при положительной автокорреляции
ee , а это означает, что DW близко к нулю;
1−≈ii
ee , из чего следует -
1−−≈ii
DW .
: 0
0
ee , а в другой –
1−≈ii
(нет явления автокорреляции), Н1:
ee , что влечет
1−−≈ii
Уотсона (2.14).
По таблице Дарбина-Уотсона находятся (при данном уровне значимости
значения: нижнее
, числе наблюдений n и объясняющих переменных k) два критических
d и верхнее вd .
н
Если фактически наблюдаемое значение
1)
d <
в
<4-
d , то гипотеза об отсутствии автокорреляции принима-
в
DW (рисунок 2.6):
ется.
2)
d
<
н
<
d или 4-вd <
в
<4-
d
, область неопределенности крите-
н
рия (вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым).
3) 0<
DW <
d
, то принимается альтернативная гипотеза о положитель-
н
ной автокорреляции.
d
4) 4-
< DW <4, то принимается альтернативная гипотеза об отрица-
н
тельной автокорреляции.
Н
1
Н
0
Н
0
Н
1
0
d
н
d
в
2
d
4
в
d
4
4
н
Рисунок 2.6 – Критическая область и область принятия нулевой гипоте-
зы об отсутствии автокорреляции первого порядка
56
Пример 5 (продолжение примера 4). По графику разброса наблюдае-
=
ρ
ρ
DW
=
x
ρ
ρ
ρ
ρ
мых значений результативного признака относительно функции регрессии,
было сделано предположение о наличии положительной автокорреляции.
Для проверки нулевой гипотезы Н
0≠
(есть явление автокорреляции) рассчитаем статистика Дарбина-
: 0
0
(нет явления автокорреляции), Н1:
Уотсона (2.14):
определены два критических значения:
0<
DW <
d
, то принимается альтернативная гипотеза о положительной авто-
н
866,0=
. По таблице Дарбина – Уотсона для к=1 и n=10
dd . Так как
36,1,08,1 =
вн
корреляции.
Наличие автокорреляции регрессионных остатков в некоторых практических задачах обусловлено выбором неверной спецификации модели.
Так, в примере 4, наличие автокорреляции является следствием нелинейного характера связи между исследуемыми признаками. Поэтому целесообразным представляется в качестве модели рассмотреть гиперболическую
функцию, оценка которой имеет вид:
1
2
ˆ
y .
08,1008,12
ˆ
,
02,2;998,0
==+= DWR
В том случае, если изменением спецификации модели не удалось устранить автокорреляцию, то для оценки коэффициентов ЛММР рекомендуется использовать ОМНК, реализация которого сводится к оценке параметра
.
2.4.3 Практические рекомендации по оцениванию коэффициентов
обобщенной линейной модели множественной регрессии с автокоррелированными остатками
Можно показать [1], что для ОЛММР с автокорреляционной зависимо-
стью первого ковариационная матрица регрессионных остатков имеет вид:
−
12
n
⎛
⎜
⎜
2
σ
⎜
δ
=Σ
ε
2
1
⎜
ρ
−
...1
...1
...1
⎜
⎜
⎝
−−−
321
nnn
ρρρ
Σ
0
⎞
ρρρ
⎟
−
2
n
ρρρ
⎟
⎟
−
32
n
ρρρ
.
⎟
⎟
...............
⎟
1...
⎠
4444434444421
Таким образом, реализация ОМНК для оценки коэффициентов обобщенной линейной модели множественной регрессии с автокоррелированными остатками первого порядка сводится к нахождению параметра
.
В ситуациях, когда значение коэффициента корреляции
между сосед-
ними значениями регрессионных остатков известно, то исследователь не
должен испытывать затруднений в практической реализации основных формул ОМНК (2.3) – (2.6).
Поэтому остановимся на ситуации, когда значение параметра
априор-
но не известно. Практически все процедуры, предложенные для реализации
57
ОМНК в модели регрессии с автокоррелированными остатками при неиз-
ρ
ε
β
X
r
ρ
ρ
r
r
ρ
вестном значении
, имеют итерационных характер [1]. Рассмотрим описа-
ние одной из наиболее распространенных процедур подобного типа, известной в литературе под названием
1) МНК оцениваются коэффициенты
;
Y
+=
2)
рассчитываются регрессионные остатки первой итерации:
)1()1(
ˆ
yye −= , где
iii
первое приближение
3)
)1(
)1(
1
0
процедуры Кохрейна-Оркатта [1].
b регрессионной модели
)1(
1
...ˆ+++= ;
)1(
xbxbby
ikkii
)1(
оценки неизвестного параметра ρ опре-
деляется с помощью
)1(
ee
−
вычисляются ОМНК-оценки
4)
матрицей
подставлены
рассчитываются регрессионные остатки второй итерации:
5)
)1()1(
δρ
+=
1
iii
ˆ
0
)2()2(
ˆ
yye −= , где
iii
;
)1(
)(
rΣ , определенной соотношением (2.12), в котором вместо
)1(
;
МНК-оценки коэффициента регрессии
)( brb
ОМНК
)2(
)2(
ˆ
)2(
1
0
...
1
)2(
xbxbby
+++= и т.д.
ikkii
= по формуле (2.2), с
в модели
)2()1(
Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута требуемая
точность (пока
дыдущей и последующей оценками параметра
не стабилизируются), а именно пока разность между пре-
не станет любого наперед
заданного числа.
Точечный прогноз для ОЛММР с автокоррелированными остатками,
определяется:
Замечание.
ˆ
T
nn
11
++
При работе с пространственной статистической информаци-
ˆ
ebXy
ρ
+=
.
nомнк
ей, наличие автокоррелированных регрессионных остатков, как правило,
обусловлено неправильной спецификацией модели. Поэтому в некоторых
практических задачах методом устранения автокорреляции является изменение спецификации (вида функции) регрессионной модели.
2.5 Тестовые задания для самоконтроля
1) Оценка вектора коэффициентов обобщенной линейной модели множественной регрессии, найденная методом наименьших квадратов будет обладать свойствами:
а) несмещенности и неэффективности;
б) смещенности и неэффективности;
в) смещенности и эффективности;
г) несмещенности и эффективности.
2) Укажите тип линейной модели множественной регрессии, для которой 4 и 5 условия Гаусса-Маркова имеют вид:
⎧
=
εε
М
⎨
ji
2
σ
i
⎩
=
,,
ji
==≠
,1,,1,,0
njniji
58
а) обобщенная линейная модель с гетероскедастичными остатками;
εββ
β
++++=
εββ
β
++++
=
δ
ρεε
+
j
≠
εββ
β
+
j
≠
=
=
б) обобщенная линейная модель с автокоррелированными остатками;
в) классическая линейная модель;
г) линейная модель с гомоскедастичными остатками.
3) К условиям гетероскедастичности в линейной модели множественной регрессии
М
М
=Σ ;
ε
ε
εε
σ
а)
б)
в)
г)
...
110
⎧
⎪
=
⎨
ji
εε
2
σ
2
≠
,,
σ
⎪
⎩
⎧
)(
=
⎨
ji
σ
⎩
Е
n
2
0
ji
,1
2
,
ji
≠
ji
=
xxy
===
,1,,1,,0
,,
n
000
4) Условие автокорреляции первого порядка регрессионных остатков в
линейной модели множественной регрессии
ni ,1= указано в ответе:
а)
б)
в)
г)
M
=
ε
−1
2
Е
σ
=Σ
εε
n
T
σ
=
, где
iii
δ
- белый шум;
i
;
2
Е
;
n
Mсov
0)()( ==
εεεε
,
i
jiji
, ni 1= , .1nj =
5) Линейная модель множественной регрессии
, ni ,1= относятся:
iikkii
njniji
;
njni
,1,,1
==
;
−Σ≠ΣΣ=Σ
110
матрицааядиагональнEгде
...
.
xxy
,
iikkii
xxy
+= ...
110
++
, ni ,1= с автокоррелированными
iikkii
остатками удовлетворяет условию:
а)
б)
в)
г)
М
=Σ ;
ε
М
⎧
⎪
εε
=
⎨
ji
σ
εε
2
σ
⎪
⎩
Mсov
2
Е
n
,0
⎧
)(
=
⎨
ji
2
σ
i
⎩
ji
≠
,,
0)()( ≠=
εεεε
,
,
i
jiji
ji
≠
ji
=
, ni ,...,2,1
njniji
===
,1,,1,,0
;
, .,...,2,1 nj
njni
,1,,1
==
.
;
6) Укажите тип линейной модели множественной регрессии, для которой ковариационная матрица регрессионных остатков имеет вид:
−
12
n
⎛
⎜
⎜
2
⎜
σ
=Σ
ε
⎜
⎜
⎜
⎝
ρρρ
...1
...1
...1
−−−
321
nnn
⎞
ρρρ
⎟
−
2
n
ρρρ
⎟
⎟
−
32
n
ρρρ
⎟
⎟
...............
⎟
1...
⎠
59
а) обобщенная линейная модель множественной регрессии с гетероске-
)
)
дастичными остатками;
б) обобщенная линейная модель множественной регрессии с автокор-
релированными, но гомоскедастичными остатками;
в) линейная модель множественной регрессии с гомоскедастичными
остатками;
г) классическая линейная модель множественной регрессии.
7) Гипотеза о наличие гетероскедастичности по переменной
х под-
j
твердилась с помощью теста Голдфелда-Квандта, используемая статистика
()
;max
QQ
21
'
F
ных остатков для первых и последних
что
()
;min
QQ
21
'
()
QQ > . Укажите вид матрицы
12
=
()
1
−−
kn
(где
1
−−
kn
,QQ -это сумма квадратов оценок регрессион-
21
′
n
наблюдений), при этом оказалось,
Σ
для оценки коэффициентов ОМНК.
0
1
а)
б)
в)
г)
⎛
⎜
2
x
⎜
1
j
⎜
)
⎜
=Σ
0
⎜
1
0
2
x
2
j
⎜
⎜
⎜
...000
⎝
2
⎛
x
1
j
⎜
⎜
)
=Σ
0
⎜
2
x
2
j
⎜
⎜
⎝
)
⎛
βα
x
+
⎜
⎜
)
⎜
=Σ
0
⎜
⎜
⎜
⎝
2
⎛
x
j
1
⎜
⎜
)
=Σ
0
⎜
2
x
j
2
...000
γ
2
j
1
⎜
⎜
⎝
...111
⎞
0...00
⎟
⎟
⎟
0...0
⎟
;
⎟
...............
⎟
1
⎟
2
⎟
x
nj
⎠
⎞
0...00
⎟
0...00
⎟
;
⎟
...............
⎟
2
⎟
x
nj
⎠
0...00)(
)
βα
x
+
2
j
2
0...0)(0
γ
)
...............
)
)
βα
x
+
⎞
1...11
⎟
1...11
⎟
.
⎟
...............
⎟
2
⎟
x
nj
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
;
⎟
γ
⎟
2
⎟
)(...000
nj
⎠
8) Если наблюдаемое значение статистики Дарбина-Уотсона (
ходится в пределах
44 ≤≤− DWd
l
, то:
DW ) на-
а) принимается гипотеза об отсутствии автокорреляции;
б) принимается гипотеза о наличии положительной автокорреляции;
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]