Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы эконометрики. Учебное пособие
.pdf
по оценкам
ε
α
+
δ
+Π+
Π
ββαββαβ
αβαβ
α
Π
ентов
β
2
и
β
ˆ
не предоставляется возможным найти оценки коэффици-
,ˆΠΠ
2111
структурной формы.
3
Определение 1. Уравнение структурной формы СОУ называется точно
идентифицируемым, если его коэффициенты однозначно определяются по
оценкам коэффициентов приведенной формы СОУ [1].
Определение 2. Уравнение структурной формы СОУ называется неидентифицируемым, если его коэффициенты нельзя определить по оценкам
коэффициентов приведенной формы СОУ [1].
Таким образом, в приведенном выше примере, первое уравнение СОУ
является
точно идентифицируемым, а второе неидентифицируемым.
Рассмотрим более сложную модель, описывающую предложение и
спрос в условиях равновесия, включив в модель для спроса процентную
ставку
x
. В итоге модель спроса-предложения имеет вид:
2t
=
yy
ttt
1221
xxyy
(6.11)
εβββ
+++=
ttttt
22413221
Приведенная форма этой системы одновременных уравнений:
=
xxy
xxy
,
12121111
tttt
,
δ
+Π+Π=
22221212
tttt
где:
4
βα
−
22
(6.12)
δ
Очевидно, что
ˆ
,ˆΠΠ
1211
найдем
=
11
21
−
42
и
21
22
εε
−
tt
12
.,
βα
−
22
=
α
2
11
=Π
32
−
22
−
=
t
1
βα
−
22
=Π
12
εβεα
tt
1222
δ
t
2
Π
α
=
2
Π
из первого уравнения (6.12) и
α
ˆ
Π
ˆ
ˆ
:
α
2
11
Π
и
ˆ
21
=
2
α
ˆ
Π
ˆ
12
Π
.
ˆ
22
=
2
3
=Π
12
, но тогда оценив предварительно
Π
22
,ˆΠΠ
,,,
−
22
ˆ
из второго уравнения (6.12),
2221
22
=Π
Определение 3. Уравнение структурной формы СОУ называется сверхидентифицируемым, если его коэффициенты оцениваются по оценкам коэффициентов приведенной формы СОУ не единственным образом [1].
Так, в предыдущем примере, первое уравнение структурной формы
сверхидентифицируемо, а второе неидентифицируемо.
Определение 4. Метод оценивания коэффициентов точно – идентифицируемого уравнения структурной формы, по оценкам коэффициентов приведенной формы,
называется косвенным методом наименьших квадратов [1].
α
В частности, оценка коэффициента
в первом уравнении модели (6.9)
2
получена косвенным методом наименьших квадратов.
131
Используя необходимые и достаточные условия идентифицируемости
−
δ
=
j
(
(
εαα
+
(
∀
=
ε
ε
уравнения структурной формы [1], можно выявить точно идентифицируемые
уравнения и затем оценить их коэффициенты косвенным методом наименьших квадратов, но это лишь частный подход к оцениванию коэффициентов
структурной формы. Поэтому остановимся на общем подходе к оцениванию
коэффициентов, так называемых рекурсивных систем и общем методе оцен-
коэффициентов уравнения СОУ – двухшаговом методе наименьших квад-
ки
ратов.
6.2 Оценка (идентификация) коэффициентов системы одновремен-
ных уравнений рекурсивного вида
Определение 5. Говорят, что имеется СОУ рекурсивного вида, если
первое уравнение содержит только одну эндогенную переменную (будем
y
считать это
держать не более двух эндогенных переменных (y
), а остальные предопределенные. Второе уравнение может со-
1t
и возможно y1t) и т.д. При
2t
этом число, не включенных в i-е уравнение структурной формы, предопределенных переменных не меньше числа включенных в него эндогенных переменных без единицы
()
≥−
1
mkk [1].
ii
Рекурсивная СОУ имеет, таким образом, вид
CXBY
+ (6.13)
где
В- нижняя треугольная матрица с «1» на главной диагонали.
,
ttt
δ
и
δ
Если регрессионные остатки
для всех
it
i ≠ (такая СОУ называется часто рекурсивной), то коэффициенты
некоррелированные для всех t и
jt
структурной формы оцененные последовательно в каждом уравнении с помощью метода наименьших квадратов
тельным, а при нормальности
()
; C
i
β
- вектор столбец коэффициентов при эндогенных переменных в
i-го уравнения структурной формы, разрешенного относитель-
(i)
– вектор столбец коэффициентов при экзогенных переменных в
слечае
правой части
но y
it
δ
–асимптотически эффективными. В данном
jt
() ()
ˆ
β
,
TT
ii
ˆ
)
=
1
−
)
()
iTT
YZZZC
будут состоя-
T
этом же уравнении; Z – матрица из векторов столбцов наблюденных значений эндогенных и предопределенных переменных стоящих в правой части
го уравнения и Y
(i)
– вектор наблюденных значений yi.
i-
Например, для модели рекурсивной СОУ:
,0
)
21
=
xxy
+
,
122211
tttt
()
xyy
,
εββ
++=
232111
tttt
M
tt
εε
=
21
t
τ
tM
,0
t
τ
≠
⎧
⎨
2
⎩
i
it
τσ
==
(6.14)
...2,1,,
МНК- оценки коэффициентов первого уравнения (6.14):
132
ˆ
(
)
(
(
)
(
)()(
)
(
)
α
⎞
⎛
1
⎜
⎜
ˆ
α
2
⎝
() ()
⎟
()
⎟
⎠
1
−
() ()
11
T
()
11
,
YZZZ
⋅⋅=
(6.15)
y
⎛
⎞
11
⎜
⎟
y
⎜
⎟
12
=
⎜
⎜
⎜
⎝
...
y
.
⎟
⎟
⎟
⎠
1
nnn
где
x
⎛
⎞
11
⎜
⎟
x
⎜
⎟
() () ( )
()
() ( ) ()
1211
,
XXXZ
12
==
⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎜
⎟
x
⎝
⎠
1
x
⎛
⎞
21
⎜
⎟
x
⎜
⎟
2
,
X
22
=
⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎜
⎟
x
⎝
⎠
2
1
,
Y
МНК- оценки коэффициентов второго уравнения (6.14) имеют вид:
ˆ
⎞
⎛
где
β
1
⎜
⎜
ˆ
β
2
⎝
() () ()
()
YXYZ
,
() ()
⎟
()
⎟
⎠
y
⎛
11
⎜
y
⎜
() ( ) ( )
1312
12
==
⎜
...
⎜
⎜
y
⎝
1
n
1
−
() ()
22
T
()
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
3
X
,
⎠
22
,
YZZZ
⋅⋅=
=
(6.16)
x
⎛
⎞
31
⎜
⎟
x
⎜
⎟
32
⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎜
⎟
x
3
n
⎝
⎠
2
,
Y
y
⎛
⎞
21
⎜
⎟
y
⎜
⎟
22
=
⎜
⎜
⎜
⎝
...
.
⎟
⎟
⎟
y
⎠
2
n
6.3 Двухшаговый метод наименьших квадратов
Представим i-е уравнение СОУ в виде:
,,
1
m
m
i
i
11
−−
11
Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов:
1) оцениваем функции регрессии каждой из эндогенных переменных
yyy
,...,
21
ˆ
на все предопределенные переменные, т.е.
tjtjtj
,,,
m
i
1
−
...
ˆ
γγγ
=+++=
,...,,
jjjjxxy
21110,
msktkttj
1
−
is
ˆˆ
2) находим оценки модельных значений
3) находим оценку
() ()
β
TiTi
C−−=Θ ,
хастических регрессоров
()
i
где
= .
,
ε
+Θ= ZY
() ( )
ˆ
ˆ
,
j
jj
m
1
...
−
ˆ
21
l
l
k
ii
i
XXYYYZ ...
6.4 Тесты для самоконтроля
1) Переменные, задаваемые «извне», автономно, в определенной степе-
ни управляемые (планируемые) называются
а) экзогенными;
. (6.17)
ntxCxCyyy
,1,......
εββ
kiki
j
s
ˆ
T
ˆ
=
...
=+−−−−−−=
ittliltliltjijtjijit
T
ˆ
)
yyY
,1,
njj
ss
из модели не содержащей сто-
133
б) эндогенными;
ε
δ
в) лаговыми;
г) предопределенными.
2) Переменные, значения которых формируются в процессе функцио-
нирования анализируемой социально-экономической системы, называются
а) экзогенными;
б) эндогенными;
в) лаговыми;
г) предопределенными.
3) Множество всех экзогенных и лаговых эндогенных переменных на-
зывается
а) предопределенными переменными;
б) зависимыми переменными;
в) лаговыми переменными;
г) фиктивными переменными.
4) Система
уравнений, описывающая соотношения между спросом и
pq
εαα
предложением,
⎨
⎩
⎧
(спроса) в период
t , который совпадает со спросом (предложением) на товар
в условиях равновесия;
ная на рынке в период
p - средняя цена за единицу товара, зафиксирован-
t
t ;
x - среднедушевой доход в период t ,
++=
10
t
ttt
xpq
210
+++=
δβββ
tttt
, где
q - объем предложения
t
и
t
- рег-
t
рессионные остатки соответствующих уравнений, представляет собой
а) рекурсивную систему регрессионных уравнений;
б) структурную форму системы одновременных уравнений;
в) приведенную форму системы одновременных уравнений;
г) систему алгебраических уравнений.
5) Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений,
для которого все участвующие в нем неизвестные коэффициенты однозначно
восстанавливаются (определяются) по коэффициентам приведенной формы
называется
а) сверх идентифицируемым;
б) точно идентифицируемым;
в) неидентифицируемым;
г) линейным.
6) Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений,
для которого все участвующие в нем неизвестные коэффициенты восстанавливаются (определяются) по коэффициентам приведенной формы, причем
некоторые из них могут принимать одновременно несколько числовых значений, соответствующих одной и той же приведенной форме
называется
134
а) сверх идентифицируемым;
Π
−
C
B
б) точно идентифицируемым;
в) неидентифицируемым;
г) линейным.
7) Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений,
для которого хотя бы один из участвующих в нем неизвестных коэффициентов не может быть восстановлен по коэффициентам приведенной формы называется
а) сверх идентифицируемым;
б) точно идентифицируемым;
в) неидентифицируемым;
г) линейным.
8) Косвенный
метод наименьших квадратов возможно применять для
оценки коэффициентов
а) сверх идентифицируемого уравнения системы;
б) точно идентифицируемого уравнения системы;
в) неидентифицируемого уравнения системы;
г) алгебраического уравнения.
9) Для оценивания коэффициентов сверх идентифицируемого уравнения, в случае некоррелированности регрессионных остатков разных уравнений системы одновременных уравнений, рекомендуется применять
а) косвенный метод наименьших квадратов
;
б) двухшаговый метод наименьших квадратов;
в) двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов;
г) метод наименьших квадратов.
CB
10) Связь между коэффициентами структурной (
, - матрицы
kmmm
××
неизвестных коэффициентов при эндогенных и предопределенных переменных) и приведенной формы (
Π - матрица неизвестных коэффициентов)
кm×
системы одновременных уравнений имеет вид
а)
б) CB ⋅=Π
−1
CB ⋅−=Π
;
−1
;
в) CB =⋅Π ;
г)
=⋅
.
11) При реализации двухшагового метода наименьших квадратов на-
блюдаемые значения стохастических регрессоров заменяются
а) наблюдаемыми значениями эндогенных переменных;
б) наблюдаемыми значениями предопределенных переменных;
в) наблюдаемыми значениями функции регрессии эндогенных пере-
менных на все преопределенные переменные;
135
г) наблюдаемыми значениями зависимых переменных.
ε
12) Система регрессионных уравнений, имеющая следующий вид:
⎧
...
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
++++=
xcxcxcy
ε
tktkttt
112121111
...
+++++=
xcxcxcyy
εβ
tktktttt
222221211212
...
++++++=
xcxcxcyyy
εββ
tktkttttt
332321312321313
,
......................................................................................
+++++++=
xcxcxcyyyy
−− mtktmktmtmtmmmtmtmmt
...
2211112211
εβββ
где
1
переменные,
системы,
it
yy ,...,
– эндогенные переменные,
mtt
ksmjmic
β
isij
,1;,1;,1, ===−
– неизвестные коэффициенты
- регрессионные остатки i -го уравнения, называется
xx ,...,
– предопределенные
1
ktt
а) системой внешне не связанных регрессионных уравнений;
б) рекурсивной системой регрессионных уравнений;
в) системой алгебраических уравнений.
++=
xcyy
13) Для системы одновременных уравнений
⎨
⎩
- производительность труда на предприятии в период t ;
⎧
ty1
лата труда на предприятии в период
- средний по предприятию размер тарифной ставки в период t ) оценена
tx2
матрица коэффициентов приведенной формы
t ; tx
- энерговооруженность в период t ;
1
⎡
ˆ
=Π
⎢
⎣
ty2
−
4773,00388,1
9700,11070,0
εβ
tttt
11112121
, (где
++=
xcyy
εβ
tttt
22221212
- средняя оп-
⎤
. Необхо-
⎥
⎦
димое и достаточное (ранговое) условие идентифицируемости первого и второго уравнения имеет вид
ˆ
xx
11;11
=−=−
ˆ
xx
11;11
=−=−
ˆ
xx
11;11
=−=−
ˆ
xx
11;11
=−=−
1)2(
−>Π−>Π
mrangmrang
21
,
1)2(
−<Π−>Π
mrangmrang
21
1)2(
−=Π−=Π
mrangmrang
21
1)2(
−=Π−>Π
mrangmrang
21
а)
б)
в)
г)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
;1)1(
mmгде
21
;1)1(
mmгде
21
;1)1(
mmгде
21
;1)1(
mmгде
21
14) Для системы одновременных уравнений
+++=
xсxcyy
⎧
⎨
⎩
t ; ty
од
2
в период
- розничный товарооборот в период t ;
t ; tx
++=
xcyy
εβ
- объем промышленности в период t ;
2
доход в период
εβ
ttttt
12121112121
, (где
tttt
23231212
- валовой региональный продукт в пери-
ty1
- объем основных фондов
tx1
- средний душевой
tx3
t ) получена оценка приведенной формы
136
ˆ
⎧
⎨
ˆ
⎩
00494,0376,00716,0
++=
++=
хxxy
3211
. Проверка порядкового и рангового усло-
00434,00406,00488,0
xххy
3212
вий идентифицируемости, позволяет сделать вывод, что первое уравнение
структурной формы
а) сверх идентифицируемое;
б) точно идентифицируемое;
в) неидентифицируемое;
г) нелинейное.
.
15) По 63 наблюдениям для системы одновременных уравнений
εβ
+=
⎧
yy
ttt
12121
⎪
εβ
⎨
⎪
⎩
формы:
++=
xcyy
+=
xyy
ttt
223
⎧
ˆ
⎪
⎪
ˆ
⎨
⎪
⎪
ˆ
⎩
23,6
=
1
=
2
3
xy
1
)5,1(
5,10
хy
2
)52,2(
+=
1
)35,1(
вычислены оценки коэффициентов приведенной
tttt
21211212
. Матрица приведенной формы имеет вид
2,85,12
ххy
2
)65,3(
а)
б)
в)
г)
⎡
⎢
ˆ
=Π
⎢
⎢
⎣
00,023,6
2,85,12
⎡
⎢
ˆ
−=Π
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
ˆ
−=Π
⎢
⎢
⎣
⎡
ˆ
=Π
⎢
⎣
67,023,6
2,85,12
⎤
⎥
5,1000,0
67,023,6
2,85,12
67,000,0
00,012,4
2,85,12
;
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
5,1012,4
;
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
;
⎥
⎥
⎦
⎤
.
⎥
⎦
137
7 Ответы к тестовым заданиям
№ задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Ответы к раз-
делу №1
Ответы к разделу №2
Ответы к разделу №3
Ответы к разделу №4
Ответы к разделу №5
Ответы к разделу №6
б а в в в В в г а г а а б б в
а а г а б Б б в а в в б в а г
г а в в г В б г в г в б - - -
а в б в г В б в г в а б а г -
в в г б в А в а в г б б б г б
а б а б б А в б б а в б в б а
138
Список использованных источников
1 Айвазян, С.А. Прикладная статистика. Основа эконометрики: в 2т.: учеб.
для вузов / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - Т.2. –
432 с. – ISBN 5-238-00304-82.
2
Доугерти, Кр. Введение в эконометрику: учебник для вузов/ Кр. Доугерти.
- М.: МГУ, ИНФРА-М, 2004. – 402 с. – ISBN 5-16-001463-2.
3
Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс: учеб. / Я.Р. Магнус, П.К. Ка-
тышев, А.А. Пересецкий. – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Дело, 2004. – 576 с.
– ISBN 5-7779-0055-Х.
Эконометрика: учебник / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и стати-
4
стика, 2007. – 576 с. – ISBN 978-5-279-02786-6.
5
Реннер, А.Г. Математическая статистика: уч. пособие / А.Г. Реннер, Г.Г.
Аралбаева. – Оренбург: ОГУ, 2003. – 175 с.
Тихомиров, Н.П. Эконометрика: учеб. для вузов / Н.П. Тихомиров, Е.Ю.
6
Дорохина. - М.: Экзамен, 2003. - 512 с. – ISBN 5-94692-438-9.
7 Домбровский, В.В. Эконометрика: учебник/ В.В.Домбровский. – М.: Нов.
учебник, 2004. – 342 с. – ISBN 5-8393-0400-Х.
8
Новак, Эдвард. Введение в методы эконометрики: сб. задач: пер. с польск.;
под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 248с. – ISBN 5-
279-02927-0.
Катышев, П.К. Сборник задач к начальному курсу эконометрики / П.К.
9
Катышев, А.А Пересецкий. – М.: Дело, 2003. – 208 с. – ISBN 5-7749-0137-8.
10
Сборник задач по эконометрике: учебное пособие для студентов экономи-
ческих вузов / Е.Ю. Дорохина, Л.Ф. Преснякова, Н.П. Тихомиров – М.: Издательство "Экзамен", 2003. – 224 с. – ISBN 5-94692-206-8.
11 Практикум по эконометрике:
М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.
12
Айвазян, С.А. Прикладная статистика в задачах и упражнениях: учеб. для
вузов / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. -270 с.-
ISBN 5-238-00303-Х.
13
Замков, О.О. Математические методы в экономике: учебник/ О.О. Зам-
ков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М.: Дело и Сервис, 2001. – 368 с.
– ISBN 5-86509-054-2.
14 Кулинич, Е.И. Эконометрия / Е.И. Кулинич. - М.: Финансы и статистика,
2001. - 304 с. – ISBN 5-279-02090-7.
15
Сошникова, Л.А. Многомерный статистический анализ в экономике:
учебное пособие для вузов / Л.А. Сошникова; под ред. проф. В.Н. Тамашевича. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 598 с. – ISBN 5-238-00099-5.
Реннер, А.Г. Математическая статистика: учебное пособие / А.Г. Реннер,
16
Г.Г. Аралбаева. – Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ, 2002. – 175 с.
17
Ниворожкина, Л.И. Многомерные статистические методы в экономике:
учебник / Л.И. Ниворожкина, С.В. Арженовский. – М.: Издательско-торговая
корпорация «Дашков и К», 2008. – 224 с. – ISBN 978-5-91131-565-8.
учебное пособие / под ред. И.И. Елисеевой. –
139
18 Просветов, Г.И. Эконометрика: задачи и решения: учебно-практическое
пособие / Г.И. Просветов. – М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2008. – 192 с. –
ISBN 978-5-94280-349-0.
Орлов, А.И. Эконометрика: учебник для вузов / А.И. Орлов. – М.: Изд-во
19
«Экзамен», 2003. – 576 с. – ISBN 5-94692-452-4.
20
Бывшев, В.А. Эконометрика: учебн. пособие для студентов, обучающих-
ся по специальностям "Финансы и кредит", "Бухгалтерский учет, анализ и
аудит", "Мировая экономика", "Налоги и налогообложение"/ В.А. Бывшев. Москва: Финансы и статистика, 2008.- 480 с. – ISBN 978-5-279-03274-7.
21 Гладилин, А.В. Эконометрика: учеб. пособие/ А. В. Гладилин, А. Н. Герасимов, Е. И. Громов. - М.: КноРус, 2006. -232 с. – ISBN 5-85971-118-2.
22
Кремер, Н.Ш. Эконометрика: учеб. для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко. -
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 311 с. – ISBN 5-238-00333-1.
Дуброва, Т.А. Статистические методы прогнозирования /учебн.-практ.
23
пособие/ Т.А. Дуброва. - М.: МГУ экономики ,статистики и информатики,
1998. -92 с.
24
Чураков, Е.П. Математические методы обработки экспериментальных
данных в экономике: учебн. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2004. –
240с. – ISBN 5-279-02745-6.
25
Большаков, А.А. Методы обработки многомерных данных и временных
рядов: учеб. пособие для вузов/А. А. Большаков, Р. Н. Каримов. - М.: Горячая
линия - Телеком, 2007. - 522 с. – ISBN 5-93517-287-9.
Реннер, А.Г. Математические методы моделирования социально-
26
экономических процессов (региональный аспект)/ А.Г. Реннер, О.И. Бантикова, О.С. Бравичева, О.И. Стебунова, Л.М. Туктамышева. – Самара: Изд-во
СамНЦ РАН, 2008. – 182с. – ISBN 978-5-93424-363-1.
27 Берндт, Э.Р. Практика эконометрики: классика и современность: учеб.
для вузов: пер. с англ./Э. Р. Берндт; под ред. С. А. Айвазяна.-М.: ЮНИТИДАНА, 2005. - 863 с. – ISBN 5-238-00859-7.
28
Прокофьев, В.А. Статистические методы анализа социально-
экономического развития административно-территориальных образований/
В.А. Прокофьев, В.А. Динес, Н.Б. Телятников. - Саратовский государственный социально-экономический университет. – Саратов, 2008. – 288 с. – ISBN
978-5-87309-747-0.
Боровиков, В.П. STATISTICA - Статистический анализ и обработка дан-
29
ных в среде Windows. / В.П. Боровиков, И.П. Боровиков - М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1998. - 608 с. – ISBN 5-279-01980-1.
30
Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А. Анализ временных рядов и прогно-
зирование: метод. указ. и тематика к/р по курсу "Анализ временных рядов и
прогнозирование-М.: МЭСИ, 1998. - 22 с.
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]