Основы эконометрики. Учебное пособие

С помощью преобразования объясняющей переменной

x

<

x

β

x

β

1

*

эта зави-

=

x

симость приводится к линейному виду

вычислении МНК-оценок матрица

1

;

x

ββ

+

10

(4.3)

б)

~

y

=

будет иметь вид:

X

1

y

=

i

x

10

,

εββ

++

ii

(, )fx

0

Рисунок 4.3 – График функции

0

−

1

~

y

С помощью преобразования результативной признака

*

xy

εββ

++=

, соответственно при

10

(, )fx

0

iii

1

⎡

1

⎢ ⎢

∗

X

=

⎢ ⎢

1

⎢ ⎣

0

−

1

⎤ ⎥

x

1

⎥

......

⎥

1

⎥ ⎥

x

n

⎦

1

=

+

x

ββ

10

1

*

yy=

эта зави-

симость приводится к линейному виду

1

⎡ ⎢

y

⎢

∗

при вычислении МНК-оценок

=

Y

...

⎢

1

⎢ ⎢

y

⎣

*

i

xy

εββ

++=

, соответственно

10

i

⎤ ⎥

1

⎥

.

⎥ ⎥ ⎥

n

⎦

Замечание. Функции, изображенные на рисунке 4.2 (случай

0

β

) ис-

1

пользуются в определенных ситуациях при построении так называемых кривых Энгеля, которые описывают зависимость спроса на определенный вид товаров или услуг от уровня доходов потребителей; функции, изображенные на рисунке 4.2 (случай

0

β

> ) и рисунке 4.3 – при изучении спроса на товар в

1

зависимости от цены.

91

Показательная (экспоненциальная) зависимость

~

∗

ββ

x

=

ββ

x

β

β0β

Достаточно широкий класс экономических показателей характеризуется приблизительно постоянным темпом относительного прироста во времени. Этому соответствует показательная форма зависимости:

⋅

x

β

1

ey

;

⋅=

β

в)

0

ey

β

i

⋅=

0

(4.4)

x

εβ

+⋅

ii

1

(, )fx

0

x

⋅

β

Рисунок 4.4 – График функции

β

1

ey

⋅=

0

Переход к новой переменной

*

lnyy=

∗

=

Y

,

исследуемому зависимость к линейному виду:

*

ln

= .

00

β

1

г)

~

=

i

β

x

ey

;

0

ey

0

(4.5)

β

1

ε

+

i

x

i

Линеаризация искомой зависимости достигается с помощью следую-

щих преобразований переменных:

*

,

lnyy=

y

...

Y

)ln(

⎤

1

⎥

y

)ln(

2

⎥

позволяет свести

⎥ ⎥

)ln(

y

⎦

n

∗

⎡ ⎢

∗

⎢

=

⎢ ⎢

⎣

...

xy

++=

10

y

)ln(

⎤

1

⎥

y

)ln(

2

⎥

;

⎥ ⎥

)ln(

y

⎦

n

εββ

, где

iii

*

x

1

,

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

1

⎢ ⎢

∗

=

X

⎢ ⎢

1

⎢ ⎣

1

⎤ ⎥

x

1

⎥

*

,

......

⎥

1

⎥ ⎥

x

n

⎦

ln

=

00

92

β

~

ββ

β0β

β

<

β0β

(, )fx

0

β

1

Рисунок 4.5 – График функции

~

= .

β

x

ey

0

Зависимость степенного типа [1]

1

xy

β

=

д)

0

β

xy

0

(4.6)

1

εβ

⋅⋅=

iii

1β>

1

1β=

1

β

−

1

0

β

1

β

>−

1

β

=−

1

1 1

β

Рисунок 4.6 – График

β

xy =

0

1

Линеаризация искомой зависимости достигается с помощью следую-

1

)ln(

y

...

1

)ln(

y

2

)ln(

y

n

⎤ ⎥ ⎥

; )ln(XX =

⎥ ⎥

⎦

∗

щих преобразований переменных:

)ln(1

x

⎤

1

⎥

......

, где

⎥ ⎥

)ln(1

x

n

⎦

*

ln

= .

00

X

⎡

∗

⎢

=

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎢

*

lnyy=

∗

,

Y

⎢

=

⎢ ⎢

⎣

Важную роль зависимости степенного типа играют в задачах построения и анализа производственных функций, функций спроса. При анализе

93

,

степенных регрессионных зависимостей содержательную интерпретацию по-

β

ββ

x

β

x

ββ

x

=

x

ββ

лучает коэффициент

как коэффициент эластичности.

1

Аналогично процедура линеаризации проводится для множественных регрессионных уравнений. Например, для степенной функции

~

β

= необходимо осуществить преобразования переменных:

*

,

lnyy=

⎡ ⎢

∗

X

=

⎢ ⎢

⎣

В итоге модель приводится к виду:

βββ

k

21

xxxy

...

k

210

)ln(

y

...

xx

.........

xx

⎤

1

⎥

)ln(

y

2

⎥

; )ln(

⎥ ⎥

)ln(

y

n

⎦

)ln()....ln(1

⎤

111

k

⎥

, где

⎥ ⎥

)ln()....ln(1

nkn

⎦

*

1

*

00

xx = , )ln(

1

ln

= .

* 2

*

xx = , …, )ln(

2

k

*

∑

0

=

l

*

xy

εββ

++=

li

1

iil

*

xx = ,

kk

.

⎡ ⎢

∗

⎢

Y

=

⎢ ⎢

⎣

1

4.3 Тестовые задания для самоконтроля

1) Указать, с помощью какого преобразования исходных перемен-

1

%

ye

β

ных зависимость

а)

*

,

lnyy=

=

1

*

x

=

сводится к линейной:

0

(где

*

ln

= );

00

б)

1

*

x

,

=

1

*

y

;

y

1

*

в)

г)

*

yy=

*

,

lnyy=

= ;

(где

−

e

*

ln

= ).

00

2)

Кривая Филипса характеризует:

а) зависимость между объемом произведенной продукции и основными факторами производства;

б) зависимость между спросом на товар (услугу) и уровнем доходов потребителя;

в) нелинейное соотношение между нормой безработицы и процентом прироста заработной платы;

г) зависимость между спросом на товар (услугу) и его (ее) ценой.

3)

Указать регрессионную модель, которая не поддается непосред-

ственной линеаризации:

а)

y

=+ +

01

ii

1

;

ε

x

i

94

б)

β

x

ββ

β

x

β

x

β

x

ββ

β

ββ

x

β

x

=⋅− +

y

ii

⎜⎟

0

⎝⎠

⎛⎞

yx

в)

iii

г)

y

i

()

=⋅ ⋅;

0

=

iii

01

1

x

−

β

1

ε

x

i

++

x

;

ε

β

1

i

.

ε

4)

При анализе степенных регрессионных зависимостей

β

1

yx

iii

()

=⋅ ⋅ содержательную интерпретацию получает параметр

0

ε

как:

1

а) множественный коэффициент корреляции;

б) частный коэффициент корреляции;

в) коэффициент эластичности;

г) коэффициент детерминации.

1

5)

Требуется оценить функцию регрессии

формации:

*

Y и матрицу *X , участвующих в формулах МНК-оценок, после линеариза-

Yyy y=

()

12

...

Т

Xxx x= . Указать вектор-столбец

()

n

12

...

n

ye

Т

%

β

=

на основе ин-

0

ции зависимости:

а)

б)

в)

г)

=

Y

⎜⎟

yy y

12

⎝⎠

*

Yyy y= ;

ln ln ... ln

()

12

⎛⎞

11 1

*

=

Y

⎜⎟

yy y

12

⎝⎠

*

ln ln ... ln

()

12

...

⎛⎞

11 1

*

Т

;

n

Т

n

X

n

;

n

1 1 ... 1

⎛⎞

*

=

⎜⎟

ln ln .... ln

⎝⎠

Т

*

X

⎛⎞

*

=

X

⎜⎟

ee e

⎝⎠

*

=

X

xx

12

1 1 ... 1

⎛⎞

=

⎜⎟

ln ln .... ln

⎝⎠

xx

12

1 1 ... 1

12

1 1 ... 1

⎛⎞ ⎜⎟

11 1

⎜⎟ ⎜⎟

xx x

12

⎝⎠

....

Т

;

n

Т

;

n

Т

;

xxx

−−−

n

Т

.

n

6) Указать регрессионную модель, которая не поддается непосред-

ственной линеаризации:

β

а)

yx

=⋅ ⋅;

0

iii

б)

=

y

i

01

в)

yx

=⋅ +;

0

iii

г)

y

=+ +

01

ii

1

()

iii

()

ε

x

i

++

x

β

1

ε

1

ε

x

i

;

ε

.

7)

Указать, с помощью какого преобразования исходных перемен-

ных зависимость

1

*

а)

x

,

=

%

ye

=

*

y

=

1

β

сводится к линейной:

0

1

;

y

95

*

ββ

x

ββ

x

ββ

x

=

x

ββ

x

=

x

ββ

б)

в)

*

y

=

lnyy=

1

(где

;

y

г)

*

,

lnyy=

8)

Указать, с помощью какого преобразования исходных перемен-

ных зависимость

1

*

а)

б)

в)

y

x

;

=

y

*

=

lnyy=

1

(где

;

1

*

x

=

%

y

=+

*

ln

= );

00

(где

01

*

= );

00

*

= ).

00

1

сводится к линейной:

ln

г)

1

*

x

,

=

1

*

y

.

y

9)

Указать, с помощью какого преобразования исходных перемен-

ных зависимость

*

а)

б)

*

x

(где

lnyy=

1

,

=

y

%

y

*

1

=

+

01

*

ln

= );

00

1

;

сводится к линейной:

y

1

*

в)

г)

x

y

;

=

1

*

.

=

y

10) Требуется оценить функцию регрессии

формации:

Yyy y=

()

12

...

Т

Xxx x= . Указать вид матрицы

()

n

12

...

%

y

=+

Т

n

1

01

на основе ин-

участвующей в формуле МНК-оценок, после линеаризации зависимости:

....

Т

;

n

Т

;

xxx

−−−

n

Т

;

n

T

.

n

а)

б)

в)

г)

11 1

⎛⎞ ⎜⎟

*

X

xx x

=

12

⎜⎟ ⎜⎟

1 1 .... 1

⎝⎠

1 1 ... 1

⎛⎞

*

=

⎜⎟

12

ee e

⎝⎠

1 1 ... 1

⎛⎞ ⎜⎟

*

=

11 1

⎜⎟ ⎜⎟

xx x

12

⎝⎠

⎛⎞

11 1

*

=

⎜⎟

xx x

12

⎝⎠

...

....

*

X ,

96

ββ

x

=

ββ

x

ββ

β

ββ

x

ββ

Указать, с помощью какого преобразования исходных перемен-

11)

ных зависимость

1

*

а)

x

,

=

y

%

y

*

x

=

x

01

1

;

сводится к линейной:

+

y

б)

в)

*

y

=

lnyy=

1

(где

;

*

ln

= );

00

y

1

*

г)

x

.

=

Т

n

%

ββ

=+

01

lnyx

на основе

Требуется оценить функцию регрессии

12)

информации:

*

X , участвующей в формуле МНК-оценок, после линеаризации зависимо-

Yyy y=

()

12

...

Т

Xxx x= . Указать вид матрицы

()

n

12

...

сти:

....

Т

;

n

Т

;

n

Т

;

xxx

−−−

n

Т

.

n

а)

б)

в)

г)

1 1 ... 1

⎛⎞ ⎜⎟

*

=

X

11 1

⎜⎟ ⎜⎟

xx x

12

⎝⎠

1 1 ... 1

⎛⎞

*

=

⎜⎟

ln ln .... ln

12

⎝⎠

1 1 ... 1

⎛⎞

*

=

⎜⎟

12

ee e

⎝⎠

11...1

⎛⎞ ⎜⎟

*

=

11 1

⎜⎟ ⎜⎟

xx x

ln ln ln

12

⎝⎠

....

xx

13)

Какая из приведенных зависимостей не поддается непосредст-

венной линеаризации:

β

а)

yx

=+⋅ +;

01iii

б)

yx

iii

в)

y

ii

г)

y

i

()

=⋅ ⋅;

0

=+ +

01

=

01

iii

2

β

1

ε

1

ε

x

i

x

i

++

x

ε

;

.

ε

14)

Производственная функция Кобба-Дугласа характеризует:

а) нелинейное соотношение между нормой безработицы и процентом прироста заработной платы;

б) зависимость между спросом на товар (услугу) и его (ее) ценой;

в) зависимость между спросом на товар (услугу) и уровнем доходов потребителя;

97

г) нелинейную зависимость между объемом произведенной продукции и основными факторами производства.

4.4 Индивидуальное задание №58

По данным Приложения А провести регрессионный анализ:

- из экономических или других соображений подобрать параметриче-

ский класс нелинейных зависимостей для модели регрессии;

- линеаризовать модель, оценить параметры и провести содержатель-

ный анализ.

4.5 Порядок выполнения индивидуального задания №5

Рассмотрим различные модели регрессии для описания зависимости между потреблением цыплят (у) и среднедушевым доход (

фунта цыплят (

x ) за n= 20 лет.

2

По результатам оценки линейной модели (рисунок 4.7 – 4.8)

ˆ

010,0696,29

xy += , можно сделать вывод, что модель значима; существенное

2

)0007,0()947,0(

x ), стоимость 1

1

влияние на потребление цыплят оказывает среднедушевой доход.

Рисунок 4.7 – Результаты множественной регрессии

Поскольку можно допустить, нормальный характер распределения регрессионных остатков (рисунок 4.8).

Рисунок 4.8 – Гистограмма регрессионных остатков

8

Индивидуальные задания и пример их выполнения разработаны авторами совместно с преподавателем ка-

федры математических методов и моделей в экономике Жемчужниковой Ю.А.

98

Анализируя данные, можно предположить, что функцию спроса можно

~

искать в форме Кобба-Дугласа:

Модель нелинейной регрессии:

ββ

где

21

δβ

210

δ

- регрессионные остатки.

i

=⋅⋅⋅=

iiii

Линеаризуем модель логарифмированием:

ββ

y

=

β

nixxy

...,2,1,

, (4.7)

21

)()(

xx ⋅⋅ .

210

i

cz

Преобразуем наши данные, задав в строке формул необходимое преобразование (рисунок 4.9):

xxy

+++=

22110 i

i

s

i

321321321321

s

210

iii

)ln()ln()ln()ln()ln(

δβββ

. (4.8)

Рисунок 4.9 – Преобразование переменных

Отчет о построении регрессии ln y ( z) на ln x1(s

), ln x2(s2) представ-

1

лен на рисунке 4.10.

Рисунок 4.10 - Отчет оценивания параметров регрессионной модели

На основании отчета (рисунок 4.10) можно сделать вывод, что модель регрессии значима; значимое влияние на результативный признак оказывают

99

обе объясняющие переменные. В результате получили следующее уравнение

2

регрессии:

ˆ

325,0428,0017,2

ˆ

ssz −+= 969,0

=R . Поскольку оценка коэффици-

21

ента детерминации линеаризованной модели выше, чем линейной, то предпочтение следует отдать нелинейной модели (4.6), оценка которой имеет вид:

ˆ

y

=

1

428,0

⋅⋅ xx

325,0

−

)()(525,7

2

Из модели следует, что с ростом среднедушевого дохода на 1% при неизменной стоимости цыплят их потребление в среднем увеличится на 0,428%. Увеличение же стоимости цыплят на 1% при неизменном среднедушевом доходе приводит к уменьшению потребления в среднем на 0,325%.

4.6 Вопросы для самоконтроля

1 Приведите примеры линеаризуемых моделей и приемы их линеаризации.

2 МНК для нелинеаризуемых моделей – проблемы оценки и исследования

100