Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории надежности средств и сетей связи. Учебное пособие
.pdf
- N – число объектов, поставленных на испытание;
- N(t) – число работоспособных объектов на момент времени t;
- n(t) – число объектов, отказавших за время t от начала испытаний.
Часто необходимо определять вероятность безотказной работы
объекта в интервале времени (или наработки) от t1 до t2. В этом случае
вероятность безотказной работы объекта представляет собой условную
вероятность того, что объект не откажет в этом интервале, если он
безотказно проработал до начала интервала. Тогда статистическая
оценка вероятности безотказной работы определяется по формуле:
(,
()
)
=
()
()
=
()
,
где:
- (t1), (2) – число работоспособных объектов, соответственно
на начало и конец интервала времени;
- (1), (2) – число отказавших объектов, соответственно на
начало и конец интервала времени.
Показатель «вероятность безотказной работы» имеет следующие
достоинства:
- характеризует изменение надежности объекта во времени;
- является интервальной оценкой, то есть позволяет оценить
безотказность объекта на любом выбранном интервале времени работы
объекта;
- сравнительно просто оценивается по статистическим данным об
отказах объектов.
Основной недостаток этого критерия заключается в том, что он
характеризует надежность объектов до первого отказа.
Вероятность отказа Q(t) - вероятность того, что в пределах
заданной наработки объект откажет хотя бы один раз. Статистическая
41
оценка вероятности отказа за время или наработку определяется по
формуле:
()=
()
=
()
,
Работоспособное и неработоспособное состояния –
противоположные несовместные состояния, образующие полную группу
возможных состояний объекта, поэтому в любой момент времени или
при любой наработке:
()+ ()=1
Если (=0)=1, то (=0)=0; если (=∞)=0, (=∞)=1.
Вероятность безотказной работы и вероятность отказа –
безразмерные величины, выражаются в долях единицы, иногда в
процентах.
Для описания мгновенных значений показателей надежности
применяется дифференциальная функция – частота отказов или
плотность распределения наработки до отказа:
()=
()=
Статистическая оценка частоты отказов
{
1 − ()}= −
().
()
определяется
отношением числа отказавших объектов в единицу времени к числу
поставленных на испытание объектов при условии, что отказавшие
объекты не заменяются новыми:
()=
()
()
,
где:
- (Δ) – число отказов объектов за рассматриваемый промежуток
времени (Δ);
- N - число объектов, поставленных на испытание.
42
Очень важной характеристикой безотказности
невосстанавливаемых объектов является интенсивность отказов ().
Интенсивность отказов – это условная плотность вероятности
возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого
момента времени при условии, что до этого момента времени отказ не
возник. Аналитически интенсивность отказов определяется как
отношение частоты отказов к вероятности безотказной работы:
()=
()
()
.
Статистическая оценка интенсивности отказов определяется по
формуле:
()=
где ()=[(
()
()
,
)
+ (
]
)
/2 – среднее число работоспособных
объектов в интервале времени Δt.
Аналитически наработка до отказа определяется по формуле:
=
∫
()
.
Средняя наработка до отказа – математическое ожидание
наработки объекта до отказа - определяется по формуле:
(
=
∫
()
=
)
()
∫
.
Статистическая оценка средней наработки до отказа определяется
по формуле:
=
∑
,
После интегрирования этого выражения, получаем:
()=()
∫
,
Или
43
∫()
()=
.
Последнее уравнение является одним из основных в теории
надежности. Из него следует, что вероятность безотказной работы
представляет собой экспоненциальную, монотонно убывающую
функцию.
Если интенсивность отказов является величиной постоянной, то:
()=
()=1 −
=
,
,
.
2.2. Методика расчет показателей надежности восстанавливаемых
объектов
Итак, восстанавливаемым называется объект, для которого
восстановление работоспособного состояния после отказа
предусмотрено в правовой, нормативно-технической документации и
обусловлено руководством по эксплуатации. Особенностью
восстанавливаемых объектов является то, что есть, по меньшей мере,
два состояния объекта, в которых он может находиться в случае
возникновения отказа. Эти состояния – работоспособное и состояние
восстановления. Таким образом, процесс эксплуатации объекта можно
представить как последовательное чередование случайных событий
интервалов времени работоспособного
и неработоспособного
состояний tН.
Простейшей моделью функционирования восстанавливаемого
объекта является модель, при которой объект в начальный момент
44
времени, т.е. при t= 0 работоспособен. Затем какое-то случайное время
равное
объект работает до первого отказа, затем следует состояние
восстановления его функций, после чего объект снова работает
случайное время
до второго отказа, затем опять находится в
состоянии восстановления и так далее.
Моменты отказов
отказов, а моменты окончания восстановления
,
,
…,
образуют поток событий
,
,
В
…,
В
В
образуют
В
поток событий восстановлений. Указанные потоки образуются
случайными процессами, происходящим при эксплуатации любого
технического объекта.
Если функция распределения случайного потока событий
подчиняется экспоненциальному закону ()=1 −
, то такой
поток событий называется потоком Пуассона. В данном случае
(среднее число событий в единицу времени) называется интенсивностью
случайного потока. Для пуассоновского потока вероятность наступления
ровно К событий в промежутке времени (,) равна:
(
,)=
()
=
()
Указанная вероятность событий не зависит от времени
!
,
, т. е. в
пуассоновском потоке время ожидания нового события не зависит от
времени, прошедшего после последнего события.
Для пуассоновского потока математическое ожидание случайного
числа отказов n(t) событий за время t равно:
[(
]=∑
)
()
=.
Свойства Пуассоновского потока следующие [33, 34, 35]:
45
1. Стационарность – вероятностные характеристики потока для
любого интервала времени зависят только от длительности этого
интервала и не зависят от момента его начала.
Стационарность потока отказов означает, что вероятность
появления определенного числа отказов за определенный интервал
времени длительностью t не зависит от того, где располагается на оси
времени этот интервал, а зависит только от длительности самого
интервала.
2. Ординарность – в бесконечно малом интервале времени
вероятность появления двух и более событий бесконечно мала. Это
значит, что в один и тот же момент времени появление более одного
отказа невозможно.
3. Отсутствие последействия – начиная с некоторого момента
времени вероятность появления отказа в рассматриваемом интервале
времени не зависит от того, сколько было отказов до момента начала
рассматриваемого промежутка времени. Отсутствие последействия
выражает взаимную независимость отказов, отказы являются событиями
случайными и независимыми.
При анализе надежности восстанавливаемых объектов следует
отметить, что до возникновения первого отказа к ним можно применить
те же методы определения показателей надежности, что и для
невосстанавливаемых объектов [18]. Но, как только в восстанавливаемом
объекте возникнет отказ, он восстанавливается до работоспособного
состояния. После чего работает до возникновения следующего отказа.
Эти циклы продолжаются до наступления предельного состояния. Для
анализа надежности восстанавливаемых объектов используются
следующие показатели:
46
- (t) – параметр потока отказов;
- Т – среднее время работы между отказами (средняя наработка на
отказ);
- P(t) – вероятность безотказной работы;
- Q(t) – вероятность отказа.
Параметр потока отказов ω(t) – это отношение среднего числа
отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его
наработку к значению этой наработки. Формула для определения
параметра потока отказов:
()=
()
ч ,
где n(t) – это число отказов объекта за наработку, равную времени
t.
Статистическая оценка параметра потока отказов определяется
следующим образом:
()=
()
,
где:
- (Δ) – число отказов в рассматриваемом промежутке времени
t;
- N–число объектов поставленных на испытания, при условии, что
отказавшие объекты восстанавливаются или заменяются аналогичными,
но новыми.
Размерность параметра потока отказов – ч-1. Если поток отказов
стационарен, то (t)==. Из этого выражения следует, что при решении
задач надежности понятия «интенсивность отказов» и «параметр
потока отказов» можно не разделять.
47
Для ординарных потоков при известном параметре интенсивности
отказов можно определить математическое ожидание числа отказов n(t)
за время t:
[()]=()
.
Для стационарного потока отказов =, тогда ()=.
Время работы между отказами – это наработка объекта от
окончания восстановления его работоспособного состояния после отказа
до возникновения следующего отказа.
Средняя наработка на отказ (Т) – это отношение наработки
восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его
отказов в течение этой наработки:
=
[(
)]
.
Статистическая оценка наработки на отказ определяется по
формуле:
=
∑
,
где:
-
– время работы между отказами i–го элемента,
- n – наблюдаемое число отказов за это же время.
При известном параметре потока отказов наработка на отказ равна:
=
(
.
)
Вероятность безотказной работы восстанавливаемого объекта в
рассматриваемом интервале наработки:
∫()
()=
,
Вероятность отказов:
∫()
()=1 −()=1 −
,
48
В случае нестационарного потока отказов, когда (
)
=const
вероятность безотказной работы восстанавливаемого объекта в
рассматриваемом интервале наработки определяется по формуле:
()=
)
(
, ()=1−
(
)
, =
.
Отказавшие объекты (средства связи) поступают на
восстановление и в ходе ремонтных работ восстанавливаются до
работоспособного состояния. Однако перед восстановлением
(ремонтными работами) следует оценка возможности ремонта. Эта
оценка характеризуется параметрами ремонтопригодности. К
параметрам ремонтопригодности относятся следующие параметры:
- (t) – параметр потока восстановлений (интенсивность
восстановлений);
- (В) – частота восстановлений;
- ТВ – среднее время восстановления;
- РВ(t) – вероятность восстановления;
- QВ(t) – вероятность не восстановления.
Вводится понятие параметра потока восстановлений
(интенсивность восстановления) работоспособного состояния объекта
(t). Интенсивность восстановления – это условная плотность
вероятности восстановления объекта, определяемая для
рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента
восстановление не произошло.
Аналитическое определение интенсивности восстановления:
()=
где (
()
()
)
=() – это частота восстановлений.
ч
,
Статистическая оценка параметра восстановлений определяется:
49
()=
()
()
,
где:
- (Δ) – это число восстановленных элементов за промежуток
времени Δ;
- () – это число невосстановленных элементов за промежуток
времени Δ.
Далее вводится понятие «Вероятность восстановления
работоспособного состояния объекта». Вероятность восстановления
работоспособного состояния объекта – это вероятность того, что время
восстановления работоспособного состояния объекта не превысит
заданного. То есть, вероятность того, что отказавший объект будет
восстановлен в течение заданного времени. Вероятность восстановления
находится в пределах 0≤()≤1, при условии, что:
(0)
=0,
(∞)
=1.
Вероятность восстановления объекта за время t при известной
интенсивности восстановлений определяется по формуле:
()
∫
()=1 −
0
,
Статистическая оценка вероятности восстановлений за время t
определяется по формуле:
()
=
()
,
где:
- () - число восстановленных объектов за время t;
-
- число объектов поступивших на восстановление.
Также вводится понятие «Вероятность не восстановления
работоспособного состояния объекта». Вероятность не восстановления
работоспособного состояния объекта – это вероятность того, что время
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]