Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа и моделирования. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Я. А. МЕРЗЛИКИНА, Л. И. ШЕВЦОВА
ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА И МОДЕЛИРОВАНИЯ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2024
1
УДК 517(075.8)
М521
Рецензенты:
Е. А. Рапоцевич, канд. физ.-мат. наук, доцент НГУЭУ
И. М. Пупышев, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ВМ
Работа подготовлена на кафедре высшей математики
Мерзликина Я. А.
М521 Основы математического анализа и моделирования: учеб-
ное пособие / Я. А. Мерзликина, Л. И. Шевцова. – Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 2024. – 87 с.
ISBN 978-5-7782-5247-9
Пособие предназначено для студентов I курса направления «Социология» (39.03.01), изучающих дисциплину «Основы математического анализа и моделирования». В нем содержится необходимый теоретический материал с подробно рассмотренными примерами задач
и задания для самостоятельного решения. Пособие может использоваться как для работы с преподавателями на занятиях, так и для самостоятельного изучения дисциплины
.
УДК 517(075.8)
ISBN 978-5-7782-5247-9 © Мерзликина Я. А., Шевцова Л. И., 2024
© Новосибирский государственный
технический университет, 2024
2
A
А
А
B
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Множества и их свойства
Определение. Множество – это совокупность вполне различи-
мых объектов одной природы, называемых элементами множества.
Принадлежность элемента
мент
множеству
принадлежит множеству ),A если элемент a не принадлежит
a
,
то пишут
Определение.
B
A
жеством
всякий элемент из множества А является элементом В
Если
подмножеством (обозначается АВ ).
Рис. 1.1
Множества А и В
дают (или
Множества бывают
элементов) и
бесконечными.
множеству A обозначают
a
.
aA
Множество А называется подмно-
множества В (обозначается А В), если
(рис. 1.1).
В
и
,АВ
то А называется строгим
равны, если их элементы совпа-
В
и
A
).
конечными (состоящими из конечного числа
aA
(эле-
Определение. Число элементов в конечном множестве А назы-
вается его
элементов, называется
ства с равным количеством элементов называются
мощностью. Множество мощности 0, т. е. не содержащее
пустым (обозначают Конечные множе-
равномощ-
ными.
Определение. Совокупность допустимых объектов множества
называют
Примеры бесконечных множеств:
основным (универсальным) множеством U.
3
числовые: ;
N
х
х
х
х
х
[
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
ZQR
Q Z N
R
I
I – множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел;
C – множество комплексных чисел;
множества точек на числовой оси, которые представлены
в табл. 1.1.
Таблица 1.1
№
п/п
Название Обозначение Определение Изображение
1 Интервал
2 Отрезок
3 Полуинтервал
4 Полубесконеч-
ный интервал
5
– окрест-
ность точки
6
Бесконечное
множество
a
(, )ав
[, ]ав
(, ]ав
[, )ав
(,]в
[, )a
xa
[а, )
(,)R
{| }A
ахв
{| }A
ахв
{| }
A
ахв
ахв
{| }
A
{| }
A
{| }
A ха х
A
{| – }
ха х а
{| – }A хх
хв
а в
а в
а в
а в
в
а
а – δ а а + δ
(
/ / / / / / / / / / /
[
/ / / / / / / / / / /
(
/ / / / / / / / / / /
[
/ / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / /
(
/ / / / / ● / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / / / /
)
]
]
)
)
4
Способы задания множества:
Z
x
перечислениями, т. е. списком своих элементов. Списком можно
задавать лишь конечные множества, например, { , , , };А abcd
порождающей процедурой, которая описывает способ получения
элементов либо других объектов. Например, множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки
М
,
n
2
, может быть представ-
nN
лено порождающей процедурой, заданной двумя правилами:
1)
1;
М
n
2
2) если
m М
то
,
2.
n
2
m М
n
2
Пример 1.1. Задать разными способами множество
N
всех нату-
ральных чисел:1, 2, 3 …
Решение
Так как множество бесконечно, его нельзя задать списком.
Порождающая процедура содержит два правила:
1)
1 N
; 2) если
nN
, то
.nnN
Описание характеристического свойства элементов множества
N={x: x – целое положительное число}.
Пример 1.2. Опишите множество перечислением элементов:
/ ( 6)(3 1)( 3) 0 .АхZ ххх
Решение
Множество A – множество решений уравнения (5)(21)хх
(1)0х, принадлежащих множеству целых чисел
шениями уравнения являются числа
1
, то множество {6;3}A .
2
Z
3
6x
,
1
x
2
. Поскольку ре-
1
3
3x
,
3
, но число
Пример 1.3. Опишите множество, задав его числовым промежутком
A|(2)(4)0.xxx R
:N
Решение
Множество А – множество решений неравенства (1)( 2)0хх.
5
Операции над множествами
Над множествами определяют операции, сходные с арифметиче-
скими. Введем понятие таких операций.
Пусть дано универсальное множество U. Множество всех подмно-
A
жеств некоторого множества A обозначим
2
. Тогда
всех подмножеств универсального множества U. Пусть A и B – произвольные подмножества множества U, т. е.
,2
AB
Объединением множеств A и B называется множество AB , со-
стоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат A или B
(или обоим одновременно):
U
2
– множество
U
.
илиAB xxA xB
.
Геометрически объединение множеств интерпретируется с помощью диаграмм Эйлера–Венна. На этих диаграммах множества изображаются точками кругов, треугольников или геометрических фигур произвольной формы. Геометрическая интерпретация объединения множеств A и B дана на рис. 1.2.
Рис. 1.2
Операция объединения множеств удовлетворяет коммутативному и
ассоциативному законам:
ABBA,
()()ABC ABC
.
Очевидно, что
AAA , AA , AU U .
6
Пересечением множеств A и B называется множество AB , кото-
A
A
A
A
B
A
A
A
A
A
рое состоит из тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит обоим множествам:
BxxAxB
Операция пересечения также подчиняется коммутативному и ассоциативному законам, т. е.
ABBA,
Очевидно, что
AAA , A , AU A .
Операции объединения и пересечения подчиняются дистрибутивным законам:
()()()
BC AB AC
Разностью двух множеств B и A называется множество
стоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат B, но не
принадлежат A:
\,но
AxxB xA
Например,
Разность U \ A называется дополнением множества A до универсаль-
ного множества U и обозначается
\{ 0}ZN x Zx .
и
()()
BC AB C
,
()()()
:
.
BC AB AC
.
.
.
\BA
, со-
xx A
Очевидно, что
AU
Геометрическая интерпретация пересечения множеств A и B дана
на рис. 1.3, разности этих множеств – на рис. 1.4, множества
на рис. 1.5.
,
AA
,
7
.
A
, U , U .
–
Рис. 1.3 Рис. 1.4 Рис. 1.5
x
x
x
A
B
A
y
Введем теперь операцию декартова произведения двух множеств A
и B. Пара (x, y) ,
рядок записи элементов x и y. При этом считается, что
тогда и только тогда, когда
ной пары (x, y) называются координатами этой пары; x – первая координата, y – вторая.
Декартовым произведением двух множеств A и B называется
множество, обозначаемое AB , состоящее из всевозможных упорядо-
ченных пар (x, y):
Ay B называется упорядоченной, если указан по-
(, ) ( , )
yxy
11 2 2
x
yy
,
12
(, ) ,
BxyxAyB
. Элементы x и y упорядочен-
12
.
Например, если
Сравнивая AB и
Если
претацией декартова произведения AB является прямоугольник, т. е.
множество точек
Очевидно, что боковую поверхность прямого кругового цилиндра
радиусом R и высотой H можно задать декартовым произведением мно-
жеств AB , где
13Ax x
{( , ) 1 3, 1 2}xy x y .
1, 2, 3A ,
(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4) ,AB
(3,1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)BA .
A , видим, что AB B A.
,
xyx
22
(, )
3, 4B , то
12,By y
R
,
8
то геометрической интер-
0BzzH
.
Отображение множеств.
f
A
f
f
f
f
Эквивалентные множества
Пусть A, B – два множества и f – закон (правило), по которому каж-
aA
дому элементу
bB
.
Тогда говорят, что задано отображение f множества A на множе-
ство B и обозначают :
Элемент
bB
мента a при отображении f и обозначают f(a). Элемент a в этом случае
называют прообразом элемента f(a).
Определение отображения коротко записывается так:
ставится в соответствие единственный элемент
f
AB или
, в который отображен
::()
AB aAbBbfa .
B
.
aA
, называют образом эле-
Множество образов всех элементов
aA
при отображении f
называют образом множества A при этом отображении и обозначают f(A):
() {() }
AfaaA.
Задание отображения предполагает задание тройки (A, f, B), где A –
отображаемое множество; B – множество значений отображения; f – закон, по которому каждому элементу
bB
мент
Отображение :
дый элемент
.
AB называют взаимно однозначным если каж-
bB
является образом только одного элемента
aA
ставится в соответствие эле-
aA
:
f – взаимно однозначное отображение
:()bBaAb fa ,
Если отображение :
AB есть взаимно однозначное соответ-
,aa A
12
12 1 2
() ( )a a fa fa
.
ствие между элементами множеств A и B, то можно говорить об обратном отображении.
9
1
f
f
f
f
f
B
A
Отображение
1
f
ab ,
aA
к
ba
, т. е. элементу
, образом которого при отображении f является b:
1
Если
– отображение, обратное к f, то f – отображение, обратное
1
, поэтому их называют взаимно обратными отображениями.
называют обратным к отображению f, если
bB
ставится в соответствие тот элемент
11
:!:()
BA bBaAafb
.
Два множества A и B называются эквивалентными (равномощ-
ными), если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображе-
ние одного множества на другое.
Эквивалентность множеств A и B обозначается так: ~AB (чита-
ется: «множество A эквивалентно множеству B»).
Например, пусть N – множество натуральных чисел,
А – множество
четных натуральных чисел. Установим между ними взаимно однозначное соответствие с помощью соотношения
2nn
, т. е.
1 2 ... ...
2 4 ... 2 ...
n
n
Таким образом, множество всех натуральных чисел эквивалентно
собственному подмножеству четных натуральных чисел.
Отношение эквивалентности множеств обладает следующими свой-
ствами:
1) ~AA A (рефлексивность);
~,
2) если
3) если
~AB , то
,
~AB
AAB
~BC
, то ~,,
(симметричность);
CABC (транзитивность).
Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел,
называется счетным. Примером счетного множества могут быть множество четных натуральных чисел, множество рациональных чисел.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]