Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа и моделирования. Учебное пособие
.pdf
Числовые множества
M
p
p
p
p
p
p
p
p
Множество натуральных чисел N. Множество натуральных чисел
обозначают буквой N:
{1, 2, 3, ...}N
,
а его элементы – n.
Множество N обладает следующими свойствами:
1) сумма и произведение двух натуральных чисел являются нату-
ральными числами, т. е.
,: ,nn Nn n Nnn N
12 1 2 12
. Обе опера-
ции подчиняются коммутативному и ассоциативному закону, а умножение – еще и дистрибутивному закону относительно сложения;
2) операции вычитания и деления в N не всегда выполнимы, так как
n
,nn N
12
nn
;
12
1 N
3)
4)
5) если
частное
;
1
не всегда принадлежит N, а
n
2
1nN n N
;
,1
NM
и
nn N
12
1nM n M
, то M = N (аксиома ин-
, если
дукции);
6)
NR
, счетно и бесконечно.
Множество целых чисел Z. Объединение натуральных чисел, чи-
сел, им противоположных, и нуля составляет множество целых чисел Z:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Элементы множества Z, т. е. целые числа, будем обозначать p.
Множество Z обладает следующими свойствами:
NZR
1)
;
2) Z счетно и бесконечно;
,
3) Z упорядочено, т. е. для любых двух целых чисел
имеет место одно и только одно из трех соотношений
p
,
12
p
;
12
pZ
12
p
12
4) в Z определены операции сложения, умножения и вычитания, т. е.
,:
pZ
12
12
pZ
,
12
pZ
,
12
pZ
.
В множестве Z не всегда
,
11
выполнима операция деления чисел (частное двух целых чисел не все-
p
N
гда целое).
Расширением множества Z является множество рациональных чисел Q.
Множество рациональных чисел Q. Множество чисел вида
p
n
,
где
Z
,nN является множеством рациональных чисел Q, его эле-
менты обозначают q, т. е.
Qq pZnN
n
,
.
p
Множество рациональных чисел Q обладает следующими свойствами:
ZQ
1)
2)
QR
;
, счетно и бесконечно;
3) Q упорядочено;
4) любое рациональное число
p
может быть записано в виде ко-
q
n
нечной или бесконечной периодической десятичной дроби;
5) множество Q плотно, т. е. для любых
,qq Q
12
крайней мере, одно рациональное число q, такое, что
ствительно, если взять
6)
,:qq Qq q kZkq q
12 1 2 1 2
()/2,qqq
12
то ясно, что
(аксиома Архимеда);
найдется, по
qqq
12
qqq
12
;
. Дей-
7) в множестве Q выполнимы четыре арифметические операции
(кроме деления на 0), причем сложение и умножение подчиняются ком-
мутативному и ассоциативному законам, а умножение – еще и дистрибутивному закону относительно сложения.
Любое рациональное число можно изобразить точкой на числовой
прямой. Однако не каждой точке этой прямой будет соответствовать
рациональное
число. Например, точке, отстоящей от начала координат
на расстояние, равное длине диагонали квадрата с единичной стороной, не соответствует никакое рациональное число, т. е. нет рационального числа, квадрат которого был бы равен 2. Следовательно,
,
12
между множеством рациональных чисел и множеством точек число-
x
вой прямой не существует однозначного соответствия.
Числа, которые нельзя представить в виде
p
, где
,pZ
,nN
n
называют
иррациональными. Иррациональные числа можно предста-
вить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Множество действительных чисел R. Объединение рациональ-
ных и иррациональных чисел составляет
ных
чисел R. Перечислим основные свойства множества действитель-
множество действитель-
ных чисел R, большинство из которых совпадает со свойствами множества Q:
NQR. R бесконечно, упорядочено, для него имеет ме-
сто аксиома Архимеда. Кроме того, в отличие от Q множество R несчетно и между действительными числами и точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу x соответствует единственная точка числовой оси и,
наоборот, каждой точке числовой
R
действительное число
.
оси соответствует единственное
В множестве R определены операции сложения, вычитания, умно-
жения, деления (кроме деления на ноль), возведения в степень и другие.
Множество комплексных чисел С. Решение алгебраических урав-
нений второй, третьей, четвертой и т. д. степеней приводит к необходимости расширить множество действительных чисел так, чтобы простей-
2
шее уравнение
10x
имело решение.
Комплексными числами называются пары
(),ab
действительных
чисел a и b, если для них определены понятия равенства и операции сло-
жения и умножения следующим образом.
1. Два комплексных числа
гда и только тогда, когда
(, )ab
aa
12
11
и
2. Суммой двух комплексных чисел
комплексное число
(, )aab b
121 2
3. Произведением двух комплексных чисел
вается комплексное число
(, )aa bb ab ab
12 12 12 21
(, )ab
и
bb
12
.
13
22
.
(, )ab
11
считаются равными то-
(, )ab
и
(, )ab
11
22
(, )ab
и
называется
назы-
22
.
Из всех комплексных чисел выделяют число
ется мнимой единицей и обозначается буквой i, т. е.
произведение
2
ii i . Имеем:
2
(0,1)(0,1) ( 1, 0) 1iii
(0,1)
которое называ-
(0,1)i
. Вычислим
.
Таким образом, получаем, что число i является корнем уравнения
2
10x .
14
А
2. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Матрицы. Основные определения. Виды матриц.
Действия над матрицами, свойства этих действий
Матрицей размерности (матрицей формата) m n называется
прямоугольная таблица, имеющая m
которых записываются элементы матрицы:
n
строк и n столбцов, на пересечении
aa
11 12
aaa a
21 22 23 2
m
... ...
aa
12
mm
a
где
– элементы матрицы А, i =
ij
aa
...
13 1
... ...
aa
3
mmn
...
...
...
n
n
=
m
, j =
... ...
... ...
... ...
1, n
индексы, кодирующие
n
a
ij
mnn
m
аа а
11 12 1
аа а
21 22 2
... ... ... ... ...
аа а
12
mn
1, m
,()
позиции элементов.
Матрицы являются основными объектами в линейной алгебре и широко используются в различных математических приложениях, в том
числе в психологии (например, для проведения психологических тестов
каждый из тестируемых должен пройти пять процедур проверки. При
переходе от процедуры к процедуре оборудование проходит переналадку. Время (в
переходов, где
мин), затрачиваемое на переналадку, задано матрицей
a
– время перехода от i-й процедуры к j-й. Требуется
ij
определить такой порядок прохождения процедур проверки, чтобы
15
общее время на прохождение всех тестов было наименьшим. Кроме
того, матрицы используются в многофакторном анализе для записи
и обработки информации).
07724
60241
A
61091
23805
61250
.
Компонентами матрицы являются ее строки и столбцы, которые
называются векторами (векторы-строки и векторы-столбцы).
Различают матрицы:
прямоугольные: m n, среди которых особо выделяют матрицы-
()...
строки
(вектор-строка):
матрицы–столбцы (вектор-столбец): D =
ступенчатые матрицы:
Ссс с
12
а a а
11 12 1
0 ... ... ...
... ... ... ...
0 0 ... ...
размерности 1 n;
n
d
1
d
2
размерности m 1;
d
m
... ... ...
а
22
...
аа
mк mn
а
...
n
2
n
,
удовлетворяющие условиям:
все нулевые строки матрицы расположены ниже всех ненулевых;
1)
в каждой ненулевой строке, кроме первой, число нулевых элемен-
2)
тов, предшествующих первому ненулевому элементу, больше, чем
в предыдущей строке;
квадратные: m = n. Число строк (столбцов) в этом случае назы-
порядком квадратной матрицы.
вают
16
...
n
...
n
.
n
n
a
injnnn
.(..)
образуют главную диагональ матрицы,
– побочную диагональ.
Элементы
а элементы
аа а
11 12 1
аа а
21 22 2
А =
... ... ... ...
аа а
12
, , ....,
aa a
11 22
, , ....,
aa a
11,2 1
nn n
nn
Частными случаями квадратных матриц являются единичная мат-
скалярная матрица диагональная матрица:
рица
1000
0100
Е =
0010
0001
, ,..., )
aa a
diag (
12
44
n
;
=
000
000
00 0
000
а
1
0 ... 0
0 ... 0
а
2
;
44
.
... ... ... ...
000
а
n
В симметрической (симметричной) матрице равны элементы,
симметричные относительно главной диагонали
10 35
0283
38 41
5311
44
а a
ij ji
.
Симметрическими матрицами являются единичная матрица
:()
Е,
а также корреляционная матрица, рассматриваемая психологами
в факторном анализе;
17
треугольные, в том числе
верхнеугольные
рицы
aij
ij
аа а
11 12 1
0 ...
...
аа
22 2
... ... ... ...
000
Заметим, что в множестве матриц существует и
)0(,
и нижнеугольные
а
n
n
а
nn
11
a а
21 22
,
... ... ... ...
aa а
nn nn
12
0 ... 0
... 0
...
нулевая матрица 0,
aij
ij
)0(,
.
мат-
все элементы которой равны нулю. Размерность такой матрицы может
быть произвольной.
()
Матрицы
А =
ij m na
Сумма матриц А =
()
и В =
ij m na
А + В =
()
и В =
равны (А = В), если
ij m nb
()
ij m nb
()
ab
ij ij m n
есть матрица
.
ab
ij ij
.
Произведение числа на матрицу А =
()
А =
Замечание. Это определение позволяет нам выносить за знак матрицы
число, являющееся общим множителем для всех элементов матрицы.
ij m na
()
ij m na
.
есть матрица
Противоположной исходной называют матрицу, знаки элементов
которой поменялись на противоположные, если
()
=
, A + (– A) = 0.
ij m na
А =
ij m na
то –А =
() ,
____________________________________________________________
Алгоритм 1
Линейные операции над матрицами. Вычисление матрицы
=+βCAB
, где
Шаг 1. Определяем, имеют ли матрицы А и В одинаковую размер-
ность. Если «да», то переходим к шагу 2, в противном случае вычислить
С нельзя.
, β
R,
,AB
– заданные матрицы.
18
Шаг 2. Умножаем все элементы матрицы А на число :
Аа
ij m n
.()
Шаг 3. Умножаем все элементы матрицы В на число :
Bb
ij m n
.()
Шаг 4. Вычисляем элементы матрицы С по формуле
са b
ij ij ij
,
1,im= ,
1, .jn
_____________________________________________________________
Пример 2.1. Даны матрицы А =
Найти матрицы
Используем
С = А + В, D = 2A – 3C.
алгоритм 1. Матрица А имеет размерность 3 2, такую
же размерность имеет матрица
найдена, при этом
C = A + B =
cab
ij ij ij
.
2(1) 11
1(3)0 3
3(5) 12
21
10
31
и В =
В, поэтому сумма А + В может быть
=
11
33
52
12
43
23
32
.
;
A = 2
2
21
10
31
32
=
D = 2A – 3C =
42
20
62
32
42
20
62
; –3C = – 3
32
12
43
23
36
12 9
+
19
69
32
=
32
14
=
10 9
12 7
36
12 9
69
32
;
.
Матрицы можно преобразовывать с помощью различных операций.
А
j
А
А
Одна из них
Транспонированной для
,()
а
inm
транспонирование.
()
Аа
ij m n
полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом
называется матрица
с тем же номером.
Пример 2.2. Для матрицы А =
Т
рованную матрицу
.
29 12 26
11 6 6
запишем транспони-
Меняя местами строки и столбцы, имеем
29 11
Т
=
12 6
26 6
.
Произведением матрицы-строки на матрицу-столбец, имеющих
одинаковое число элементов, называется число
b
1
b
2
.)..(
аа а аbab ab
12 11 2
nnn
.
b
n
2
n
iab
.
ii
1
Т
=
Произведением
() ,
С =
рица
матриц А =
ij m nc
элементы которой вычисляются по формуле
с ab ab ab ab
11 2 2
ij i j i j ip pj ik kj
()
ij m pa
....
и В =
Размерность произведения матриц определяется
жения
размерностей: (m p) (p n) = (m n).
()
p
k
называется мат-
ij p nb
.
1
по правилу умно-
Если число столбцов матрицы слева не совпадает с числом строк
матрицы справа, то матрицы перемножать нельзя. Если для матриц
определены произведения
АВ и ВА, то не всегда АВ = ВА. В том случае,
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]