Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа и моделирования. Учебное пособие
.pdf
Получим:
lim ( )xfx e e e
20
lim ( ) 0
fx e e e
x
20
Таким образом, в точке
2
2(20)
;
2
220
2x
нарушено второе условие непрерыв-
2
0
2
0
1
.
e
ности, причем предел слева бесконечен. Значит, в этой точке функция
имеет разрыв второго рода.
Чтобы сделать схематический чертеж более точным, найдем го-
ризонтальную асимптоту графика, вычислив пределы функции при
x
:
2
2
lim ( ) 1
fx e e e
x
.
2
0
Следовательно, прямая
1y
является горизонтальной асимптотой
графика функции Сделаем схематический чертеж.
Пример 4.21
Найти точки разрыва функции, определить их вид и изобразить гра-
фик следующей функции:
2
xx
2 для 1;
fx
()
xx
1 для 1.
81
Данная функция составлена из двух элементарных функций:
f
f
f
x
x
x
x
x
x
2
2yx
и
1yx
, которые непрерывны на всей числовой оси и, сле-
довательно, в области их задания. Поэтому точкой разрыва функции может быть только точка «сшивки»
на непрерывность в точке
1x . Проверим, выполнены ли для нее три
1x . Исследуем заданную функцию
условия непрерывности.
1. Значение функции в точке
для которой
ция
2yx
2. Поскольку для
1 x входит в область задания. В нашем случае это функ-
2
(1) 211.f
:
Первое условие выполнено.
1 x и 1x функция задана разными выражени-
ями, найдем односторонние пределы функции при
1x определяется по той функции,
1x :
Так как
lim ( ) lim 2 lim 2 1 1 (1)() ()
xx x
xx x
lim ( ) lim ( )
10 10
xx
xx f
10 10 10
lim ( ) lim 1 lim 1 1 0 )( (1)()
10 10 10
xx f
.
xfx
, то в точке 1
2
функция имеет раз-
;
рыв, а так как оба предела конечны, то это неустранимый разрыв первого рода.
Задания для самостоятельного решения
Исследовать функции на непрерывность, установить вид разрывов,
построить эскизы графиков:
fx
1)
2)
fx
3)
fx e
() 8
()
()
1/ 2
; 4)
2
x
x
x
(1)
x
1,
1,
2,
1
2
0,
x
01,
x
1;
x
; 6)
5)
cos ,
fx
()
1ln,
1
12,
x
3
3
1,
() 2 4
fx ;
()
fx
xx
xx
0,
0;
0,
0.
82
Пример варианта типового расчета
x
x
Вариант № 0
1. Вычислить определитель матрицы A, если А =
Вычислить A(A
2.
–1B–1
+ AB)B, если:
211
013
212
.
12 4 5
AB
33 58
3.
Для множеств А = {1, 2, 5, 6}, В = {1, 2, 3, 5}, С = {1, 2, 4, 5, 6}
определить (
4.
Определить произведение матриц AB, если А =
112
В
221
Определить точки, в которых функция имеет разрывы II рода:
5.
Вычислить предел
6.
АB)\С, AC, С\B.
101
.
,.
11 2
03 2
11 0
,
tg 2
lim
0
x
arctg 4
83
.
7. Решить систему уравнений
x
x
x
x
x
x
y
y
322,
xy z
46,
xyz
22.
xyz
8.
Сопоставить функции и их графики (например, (1а), (2в)):
12
(1) y =
; (2) y =
2
; (3) y =
1
; (4) y =
2
9.
Изобразить график функции
Показать, являются ли функции четными, нечетными или функ-
10.
1| 1|yx
.
циями общего вида:
а)
б)
в)
xx
xx
;
54
24
.
1yx x
;
2
sin
2xx
;
84
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. –
22-е изд. – СПб., 2001. – 432 с.
Мерзликина Я. А. Математический анализ. Введение в анализ /
2.
Я. А. Мерзликина, Э. Г. Соснина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2021. – 69 с.
Клишина С. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие /
3.
С. В. Клишина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006.
85
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Элементы теории множеств ................................................................................ 3
2. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений ............................. 15
3. Функции и их графики ...................................................................................... 51
4. Пределы. Вычисление пределов ....................................................................... 67
5. Непрерывности функции................................................................................... 79
Пример варианта типового расчета ...................................................................... 83
Библиографический список .................................................................................. 85
86
Мерзликина Яна Александровна
Шевцова Лилия Ивановна
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА И МОДЕЛИРОВАНИЯ
Учебное пособие
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.Е. Семенова
Дизайн обложки
Компьютерная верстка
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
___________________________________________________________________________________
Подписано в печать 25.09.2024. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 50 экз.
Уч.-изд. л. 5,11. Печ. л. 5,5. Изд. № 101. Заказ № 185. Цена договорная
___________________________________________________________________________________
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
А.В. Ладыжская
Л.В. Веселовская
87
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]