Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа и моделирования. Учебное пособие
.pdf
()sin()sin()sin ()
f
f
f
x
x
f
f
x
x
x
x
x
y
xT xT xT x fx
1.
22
Следовательно, функция
2T
риодом
2.
()cos cos ()
что функция
.
xT fx
() cosfx
11
Tx
1
() sin
xx
2
2
является периодической с пе-
только при
не является периодической.
при
0T
. Это значит,
2.T
()tg2()tg(22)tg2 ()
xT xT x T x fx
3.
T
.
2
Следовательно, функция
риодом
.
T
2
() tg2
xx
при
является периодической с пе-
2T
Задания для самостоятельного решения
1. Для функций
arccosyx
(
, arcctgyx ). Нарисовать графики обратных функций.
2. Найти ОДЗ функций:
2
56
xx
1)
2)
y
y
ln (2 )
1lnx
; 4)
2
3. Среди заданных пар функций найти пары тождественных функций.
y
yx
yx
sinyx
2
2
3
;
x
3
1
;
;
1
1.
2.
3.
4.
cosyx
; 3)
ctg cos .yxx
1
yx
;
36
x
6
.yx
1
.
и ctgyx найти обратные функции
2
ln ( 3 3)
xx
y
ln (3 2 )
y
25
23
x
x
;
2
x
.
.
61
4. Исследовать функции на четность:
x
x
x
x
x
1
a
.
x
1
a
1)
2
y ; 2)
2
yx x x
35 7
3
1
; 3)
19
yx
5. Исследовать функции на периодичность:
1)
sinyx
; 2)
1tgyx
; 3)
y
cos
.
2
2
3.2. Построение графиков функций
Построение графиков функций
с помощью элементарных преобразований
1. Параллельный перенос графика по оси 0Х: по графику функ-
ции
образовании график функции
оси 0Х, причем начало координат переносится в точку
2. Растяжение или сжатие графика по оси 0Х: по графику функции
мерно растягивается, если
()yfx построить график функции ()yfxa. При данном пре-
()yfx смещается вправо или влево по
a
()yfx
построить график функции
1k
, и сжимается, если
()yfkx
. При этом график равно-
1k
.
.
В качестве примера изобразим график функции
y
sin .
2
3. Суперпозиция преобразований параллельного переноса и рас-
тяжения или сжатия
функции
()yfkxb.
: по графику функции
62
()yfx
построить график
При этом необходимо аргумент функции преобразовать к виду
y
()
fkx b f kx
Таким образом, чтобы нарисовать график функции
нужно график функции
лении оси 0Х и начало координат перенести в точку
Построим график функции
Преобразуем аргумент функции:
b
.
k
()yfx
сжать или растянуть в k раз в направ-
b
.
x
k
sin 2 .
yx
3
(),yfkxb
sin 2 sin 2 .
yx x
36
Чтобы нарисовать график функции
sinyx
функции
динат перенести в точку
сжать в 2 раза в направлении оси 0Х и начало коор-
. Изобразим все это на одном чертеже
x
6
1
0
2
4. Параллельный перенос по оси 0Y: по графику функции
()yfx
построить график функции
Данная операция увеличивает ординату функции на
5. Растяжение или сжатие по оси 0Y: по графику функции
()yfx
построить график функции
В отличие от аналогичной операции в направлении оси 0Х график
1m
функции растягивается при
и сжимается при
sin 2
yx
, нужно график
3
y=sin(x)
y=sin(2x)
x
()yfx n
()ymfx
.
y=sin(2x- )/3
.
1m
n
единиц.
.
63
6. Суперпозиция преобразований параллельного переноса и рас-
yf
x
x
yf
y
y
y
тяжения или сжатия по оси 0Y:
ить график функции
Задание: построить график функции
yx
Объяснить, какие операции использовались при построении графика.
по графику функции
()ymfx n
.
2cos2
.
3
()yfx
постро-
7. Использование модуля: по графику функции
ить графики функций
()
x
yfx
;
yfx
не меняет функции), т. е. ее график
yfx нужно последова-
ln
x
,
.
нужно помнить, что
()yfx
убрать левую часть,
lnyx
,
;
на
()
x
принимает только положительные значе-
lnyx
и построим графики функций:
ln
x
,
yfx
При построении графика функции
это чtтная функция (замена
симметричен относительно оси 0Y. Чтобы построить график функции
нужно в графике функции
,yfx
а правую симметрично отобразить относительно оси 0Y.
Так как функция
ния, то для построения ее графика нужно в графике функции
оставить на месте те части, которые расположены в верхней полуплоскости Х0Y, а части, расположенные в нижней полуплоскости, отобразить в верхнюю симметрично относительно оси 0Х.
Для построения графика функции
тельно выполнить в любом порядке обе изложенные выше процедуры.
Чтобы продемонстрировать изложенные методы построения графиков, возьмем функцию
lnyx
()yfx
постро-
()yfx
.
Отметим, что функции
симметричны относительно оси 0Y.
ln
x
64
и
четные и их графики
lnyx
Построим также графики функций
ln 1yx
Отметим, что функции
мощью модуля из функции
фиков этих функций различен. Чтобы построить график функции
ln 1yx
параллельный перенос вправо по оси 0Х.
Рис. 3.3 Рис. 3.4
, нужно сначала построить график
,
ln 1 .yx
ln 1yx
ln ( 1)yx
и
. Однако способ построения гра-
65
ln 1yx
получены с по-
lnyx
, а затем сделать
Функция
x
график функции
ln 1yx
четная. Поэтому сначала нужно построить
ln ( 1)yx, а затем отобразить его симметрично от-
носительно оси 0Y.
Задания для самостоятельного решения
1. Построить графики функций:
1)
y
2)
1
12
, 3)
12 3yx
, 4)
ln(1 2 ).yx
,
3
cos 2
yx
66
x
f
x
f
f
f
x
x
f
f
В
4. ПРЕДЕЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Пусть функция
держащем точку
a
()yfx
определена на некотором множестве X, со-
.
Определение. Число A называется пределом функции ()yfx при
ству
если для
,xa
0
,xa
выполняется неравенство
0
, что для
, удовлетворяющих неравен-
()fx A
.
Таким образом, число А является пределом функции
a
, если для значений x, близких к a, соответствующие значения
()
x
близки к значению А. Запись:
Замечание. Числа А и а могут быть как конечными, так и бесконечными.
lim ( )
xa
.
xA
Методы вычисления пределов функций различны и зависят от вида
функций.
Сформулируем основные теоремы теории пределов, которые необходимы при вычислении пределов.
Пусть функции
x
()
и
lim ( ) , lim ( ) .
xa xa
при
xA xB
a
имеют пределы:
()
Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов:
lim ( ) ( ) .
xa
xxAB
()
x
при
Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов:
lim ( ) ( ) .
fx x A
xa
67
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному от пре-
f
f
x
x
x
fxx
A
A
x
fxx
делов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю:
()
fx A
lim , 0.
xa
()
xB
B
Следствие. Константу можно выносить за знак предела:
lim ( ) lim ( ), lim .
xa xa xa
Cf x C f x
fx
xa
CC
lim ( )
()
x
Рассмотрим методы вычисления пределов для функций вида
()
x
y
()
.
Пусть
a
, то для каждой функции возможны три варианта:
При вычислении
.xa
Если функции
0
fx A
lim ( ) 0,
xa
()
lim
xa
()
1
возможны девять вариантов:
()fx
и
()
lim ( ) 0.
xa
xA
имеют пределы при
0
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0
1
0
0
0
A
2
A
1
A
2
A
2
0
1
Проанализировав полученные данные, приходим к выводу, что
только в двух случаях из девяти имеет место неопределенность.
1. Если функции
()fx
сти, то при вычислении предела
ность
0
0
или
и
()
стремятся к нулю или к бесконечно-
()
lim
xa
имеет место неопределен-
()
68
предела необходимы специальные методы, которые зависят от конкрет-
fxx
x
x
x
x
f
x
x
x
x
ного вида функций.
2. Во всех остальных случаях при вычислении предела
A
()
fx
вет очевиден:
lim
xa
()
нателя конечны и отличны от нуля);
1
(случай 5, где пределы числителя и знаме-
A
2
()
fx
lim 0
xa
()
x
lim
xa
(случаи 4, 7, где чис-
от-
()
()
литель стремится к нулю, и случай 8, где числитель конечен, а знамена-
()
fx
тель стремится к бесконечности);
lim
xa
x
()
(случаи 3, 6, где числи-
тель стремится к бесконечности, и случай 2, где знаменатель стремится
к нулю).
Раскрытие неопределенности вида
Рассмотрим методы вычисления пределов функций вида
, где
()
и
()
– многочлены или алгебраические функции,
f
()
()
при
содержащие иррациональность, причем
lim li (m .() )
fx x
xx
Функции, предел которых равен бесконечности, называются бесконечно большими.
Таким образом, речь идет о раскрытии неопределенности
Для раскрытия неопределенности
тель и знаменатель разделить на
при полезно числи-
k
, где – старшая степень многочле-
k
.
нов. Этот метод можно использовать и для иррациональных функций.
69
Затем нужно применить основные теоремы теории пределов, т. е. теоремы о пределе суммы, произведения и частного. Покажем это на примерах.
Начнtм с частного случая вычисления пределов функций целочисленного аргумента, т. е. когда числитель и знаменатель
()n
и
– числовые последовательности.
()fn
Вычислить пределы функций
Пример 4.1
22
(1) 21
nnn
lim lim
nn
22
nn
lim lim .
nn
Здесь мы использовали тот факт, что
стоянных c и k.
Пример 4.2
22
n
21
2
1
2
2
n
n
2
n
cc
lim 0
k
n
n
11
22
для любых по-
100 1
3
n
1
32
nn n
lim lim lim .
nnn
100 1
2
100 15
nn
2
100
n
3
n
n
15
100
n
Пример 4.3
21 21
33
11
n
3
3
21
nn
lim lim lim 1
nnn
n
2
n
11
70
33
nn
nn
22
nn
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]