Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа и моделирования. Учебное пособие
.pdf
когда АВ = ВА, матрицы А и В называются перестановочными, или
p
B
коммутативными.
Умножение матриц можно изобразить схематически.
n 1
n 1
n n
1 n 1 n
n 1 1 n 1 1
m p
A
n
m n j
i
c
n n
ij
В психологии [23] кроме рассмотренных нами операций с матрицами используются:
алгебраические операции: логическое, декартово, адамово, кро-
некерово
, смешанное умножения;
неалгебраические количественные операции: диссоциирование
и ассоциирование, свертывание и развертывание, задание в матрице
блочной структуры.
Например, диссоциирование – это удаление частей матрицы, в результате которого получается подматрица. Операция ассоциирования –
напротив, приписывание к матрице строки или столбца, в результате которого получается надматрица.
_____________________________________________________________
Алгоритм 2
Умножение матриц АВ = С.
Шаг 1. Проверяем, совпадает ли число столбцов матрицы
()
Aa
с числом строк матрицы
ij m p
рядки сомножителей). В противном случае вычислить
Шаг 2. Определяем порядок матрицы произведения
()
Bb
ij p n
(«согласованы» ли по-
С нельзя.
()
Cc
ij m n
, где
m – число строк первой матрицы А, n – число столбцов второй мат-
В.
рицы
21
Шаг 3. Вычисляем каждый элемент матрицы С по формуле
cabab ab=+ ++
11 2 2
ij i j i j in nj
...
, 1,im= ,
1,jn=
Шаг 4. Выписываем полученную матрицу С.
_____________________________________________________________
Пример 2.3. Найти произведения АВ и ВА, если они определены.
10
12
А =
а)
а)
01
() , ()
Aa Bb
ij ij
; В =
22 22
размерности совпадают: (2
12
АВ =
01
03
ВА =
45
Отметим, что
() , ()
Aa Bb
б)
03
=
45
12
01
АВ ВА, поэтому матрицы не перестановочны.
23 32
ij ij
03
; б) А =
45
125
346
; В =
, произведения АВ и ВА определены и их
2) (22) = 22.
10 2 4 13 25
00 (1)4 03 (1)5
01 30 02 3(1)
=
41 50 42 5( 1)
, произведение АВ и ВА определены и их
32
47
813
45
03
=
43
.
,
размерности равны соответственно:
.
3) (3 2) = (2 2) и (3 2) (2 3) = (3 3),
(2
10
32
47
125
346
22
=
15 31
=
934
125
923
25 20 22
В
125
А
В =
346
10
А =
32
47
,
.
Поскольку сложение матриц сводится к сложению чисел, а умножение матрицы на число – к умножению чисел, то для любых матриц
А, В, С, для которых определены соответствующие операции, и для
любых
, R сохраняются все привычные свойства операций сло-
жения и умножения чисел.
Приведем все введенные нами действия над матрицами и их свойства.
Действия Свойства
А + В = В + А – коммутативность
Сложение
матриц
Умножение
матрицы
на число
Умножение
матриц
Транспонирование матрицы
1.
2.
(А + В) + С = А + (В + С) – ассоциативность
3.
(А) = () А – ассоциативность
(А + В) = А + В – дистрибутивность по матрицам
4.
5.
( + )А = А + В – дистрибутивность по числам
1А = А – унитарность
6.
(АВ)С = А(ВС) – ассоциативность
7.
8.
(А + В)С = АС + ВС – дистрибутивность слева
А(В+С) = АВ + АС – дистрибутивность справа
9.
(АВ) = (А)В = А(В) – однородность
10.
11.
Существует единичная матрица Е
= EnA = A
AE
n
Т
12.
13.
14.
15.
(A+B)
(А)
(АВ)
(А
Т
= АТ
Т
= ВТ АТ
Т)Т
= А
= АТ + ВТ
для каждого порядка n:
n
Кроме введенных действий с матрицами рассмотрим преобразова-
ния
матриц, называемые элементарными:
перестановка строк (столбцов) матрицы;
1)
умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на число,
2)
отличное от нуля;
сложение строк (столбцов).
3)
При элементарных преобразованиях матрицы получаем матрицу,
эквивалентную данной. Приведем алгоритм получения ступенчатой
матрицы, в которой используются элементарные преобразования.
23
Алгоритм 3
Приведение матрицы к ступенчатому виду
Шаг 1. Переставляем строки матрицы так, чтобы в верхнем левом
углу (первый элемент первой строки) отличным от нуля оказался «ведущий» элемент (для ручного счета желательно, чтобы этот элемент был
равен единице).
Шаг 2. Переписываем первую строку без изменения. Применяя эле-
ментарные преобразования, образуем нули в столбце под выбранным
«ведущим» элементом. Получаем первую ступеньку.
Шаг 3. Оставляем без изменений первую строку и первый столбец
полученной матрицы. Операции, описанные в п. 1 и 2, применяем к
«укороченной» матрице (без первого столбца и первой строки) и повторяем до тех пор, пока исходная матрица не приобретет ступенчатый вид.
____________________________________________________________
Пример 2.4. Приведем матрицы А, H, N к ступенчатому виду с по-
мощью элементарных преобразований:
21 30
03 0 4
29 1 1
А =
14 2 3
06 18
; H =
2111
2212
;
30 2
2
210
N =
111
302
Для решения задачи используем
ные преобразования по схеме
«расшифровкой» операций со строками
алгоритм 3. Проведем элементар-
А
В С D F, сопровождая их
24
.
,,,,
А BC DF
iii ii
(i =
1, 4
).
А =
AAA
A
BABABAB
D
D
F
03 0 4
1
29 1 1
2
14 2 3
3
06 18
4
13
22
31
44
14 2 3
29 1 1
03 0 4
A
06 18
C
1
CB B
22 1
CB
33
CB
44
Ответы: В =
14 2 3
01 3 5
2
03 0 4
06 1 8
FD
11
FD
22
FD
33
917
DD
44 3
2130
02 13
00 73
00 01
, С =
DC
11
DC
22
3
CC
33 2
6
CC
44 2
14 2 3
01 3 5
00 9 19
00 0 19
111
032
001
14 2 3
01 3 5
00 9 19
001738
.
.
Минором порядка k матрицы А называется определитель по-
рядка
k, образованный элементами, расположенными на пересечении
каких-либо
Рангом матрицы,
k строк и k столбцов.
,rang ( )A
называется наибольший из порядков
тех миноров этой матрицы, которые не равны нулю.
Замечание. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых
строк.
Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
Базисным минором матрицы называется любой минор, ранг кото-
рого совпадает с рангом матрицы.
25
Пример 2.5. Определите ранг матрицы 𝐴 и укажите все ее базисные
B
миноры.
21 3
10 1.
А
42 6
1) Проверим миноры наибольшего возможного порядка 3. Такой минор только один, он совпадает с определителем матрицы
нулю, так как в матрице
ранг матрицы
А будет меньше трех.
А есть две пропорциональные строки, поэтому
A. Он равен
2) Проверим теперь миноры порядка 2. Среди них есть шесть ненулевых:
21 2 3 1 3 10 1 1 0 1
,,,,,,
101 10 14246 26
и все они являются базисными минорами. Ранг матрицы равен двум.
Задания для самостоятельного решения
Для заданных матриц выполните, если это возможно, указанные
действия.
402 2 2
2240 6
DKC
2240 2
4022 6
20 0
GZB
31; 2; ;
11 2
1. Найдите матрицу BF, проверьте свойство транспонирования
ТТТ
FFB
.()
2. Найдите матрицу CG, проверьте свойство транспонирования
TTT
.()CG G C
113
;;014;
24
13
FY
012
210
103
;
1
1
.
26
3. Найдите матрицу FCG и проверьте равенство F(CG) = (FC)G.
Z
F
4. Найдите матрицу GBF и проверьте равенство G(BF) = (GB)F.
5. Найдите матрицы DK, DG,
Т
Т
,YB
,
K
F + B, FG + B,
FY, GF.
T
+ G,
6. Проверьте перестановочность матриц
12
A
21
и
03
В
45
7. Проверьте перестановочность матриц
121
210
А
411
и
111
232
В
67 5
.
8. Найдите произведение матриц BA и AB.
54 102
1)
2)
9.
AB
(1450),
AB
,;
12 6 3 4
Найдите произведение матриц АЕ, где Е – единичная матрица.
2
1
.
1
2
142
32 5
А
10 3 17
.
.
10. Приведите матрицы А, В, С к ступенчатому виду с помощью эле-
ментарных преобразований.
402 2
2240
А =
2240
4022
; В =
4231
5342
10361
10 1 4 0
27
; С =
123
456
780
.
Определители матриц.
A
Методы вычисления определителей.
Свойства определителей. Обратная матрица
Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число
det A =
= , которое ставится в соответствие каждой квадратной мат-
рице А =
()
если n = 1: det A =
если n = 2: det A =
порядка n по формулам:
ij n na
a
=а11,
11
аа
11 12
аа
21 22
аа аа
=
11 22 12 21
,
если n = 3, тогда det A может быть вычислен по правилу Саррюса
(«правило треугольника») или по правилу Лапласа.
Правило Саррюса. Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов, соединенных в треугольники по приведенному
ниже мнемоническому правилу.
ааа
11 12 13
ааа
21 22 23
ааа
31 32 33
ааа
11 12 13
=
ааа
21 22 23
ааа
31 32 33
аа а
11 12 13
ааа
+
21 22 23
ааа
31 32 33
аа а аа а аа а
=
11 22 33 12 23 31 21 32 13
()
ааа ааа а а а
13 22 31 12 21 33 23 32 11
.
Замечание. Существует модификация этого правила, состоящая в следую-
щем: к определителю справа приписываются элементы двух первых столбцов.
Тогда определитель третьего порядка равен сумме, в которой со знаком «плюс»
берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и ей параллельных, и со знаком «минус» – произведения элементов, стоящих на побочной
диагонали (
контрдиагонали, как говорят психологи) и ей параллельных.
28
+ + +
A
M
аааaa
11 12 13 11 12
аааaa
=
21 22 23 21 22
аааaa
31 32 33 31 32
аа а аа а а а а
11 22 33 12 23 31 21 32 13
=
()
ааа ааа ааа
13 22 31 12 21 33 23 32 11
– – –
Правило Лапласа, позволяющее вычислить определитель разложением его по строке (столбцу), справедливо для n 2: определитель
равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их
алгебраические дополнения:
элемента
нение
– минора элемента
ij
а
матрицы А, отличающееся только знаком от
ij
а
матрицы А. Минором элемента аij назы-
ij
(1)
ij ij
M
– алгебраическое допол-
ij
вается определитель (n – 1) порядка, получаемый из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит
.
элемент
а
ij
...
...
...
n
n
=
aA a A a A aA
,
i i i i in in ij ij
11 2 2
...
n
j
1
det А =
aa a
11 12 1
aa a
21 22 2
... ... ... ...
aa a
12
nn nn
где i – номер строки. (2.1)
...
...
...
n
n
=
aA a A aA aA
11 2 2
j j j j nj nj ij ij
...
i
n
,
1
det А =
aa a
11 12 1
aa a
21 22 2
... ... ... ...
aa a
12
nn nn
где j – номер столбца.
29
Пример 2.6. Найдем все алгебраические дополнения матрицы А
и построим матрицу Ã, состоящую из алгебраических дополнений
матрицы А.
123
А =
456
780
.
Согласно определению
А
11
= (–1)
1+1
56
= – 48, А21 = (–1)
80
2+1
23
80
= 24,
Тогда Ã =
23
= (– 1)
А
31
А
= (–1)
22
А
= (–1)
13
48 42 3
24 21 6
36 3
3+1
= – 3, А12 = (–1)
56
13
2+2
= – 21, А32 = (– 1)
70
45
1+3
= – 3, А23 = (–1)
78
12
А
= (– 1)
33
.
3+3
45
= – 3.
1+2
2+3
46
70
13
3+2
12
78
= 42,
= 6,
46
= 6,
Пример 2.7. Найдем разными способами определитель матрицы
123
А =
456
780
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]