Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа и моделирования. Учебное пособие
.pdf
X
x
X
3. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
3.1. Функции
Пусть заданы два числовых множества {}
На множестве
{}Yy
, если задан закон, по которому каждому значению
вится в соответствие одно определенное значение
Обозначается функция равенством:
Множество
множество
Кривая на плоскости Х0Y с уравнением
динатах называется
Функция называется
большему значению аргумента соответствует большее значение функ-
ции.
Функция называется
шему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Если функция на множестве
убывает, то она называется
{}Yy
{}Xx
задана функция со значениями на множестве
{}Xx
является областью определения функции,
– множеством значений функции.
графиком функции
возрастающей на множестве
убывающей на множестве {},
{}Xx
только возрастает или только
монотонной.
x и {}.Yy
yY
().yfx
()yfx
в декартовых коор-
()yfx
.
X
.
{},Xx
если
x если боль-
ста-
Простейшие элементарные функции и их графики
1. Степенная функция
бым действительным числом (положительным, отрицательным, целым
или дробным). Область определения функции и множество принимаемых
n
. Здесь показатель n может быть лю-
yx
51
ею значений зависит от показателя. Приведём примеры некоторых сте-
x
x
пенных функций и их графики.
2. Показательная функция .
(0; ).y
ya Здесь
Частный случай показательной функции
0,a
экспонента
(;),x
ye
где
,
2,73e число Эйлера.
52
log
3. Логарифмическая функция
yx
4. Тригонометрические функции:
ctg .yx
Графики тригонометрических функций
a
sin ,yx
cos ,yx
tg ,yx
53
Понятие обратной функции
x
x
x
x
Пусть задана некоторая функция
()yfx
и ее график.
Здесь на первом рисунке видно, что каждому значению переменной
также каждому значению переменной
чение переменной
называется обратной для функции
функций совпадают. Если в обратной функции
ные обозначения и аргумент обозначить через
то ее уравнение примет вид
графику функции
соответствует единственное значение переменной
сопоставить единственное зна-
y
. Тогда мы получим функцию
()yfx
При этом графики обеих
()xy
ввести привыч-
, а функцию через y,
()yx
, и ее график будет симметричен
()yfx
относительно биссектрисы первого коорди-
. Можно
y
()xy
, которая
натного угла
Рассмотрим процесс нахождения обратной функции на примере
функции
2
.yx
Изобразим на плоскости график этой функции и отметим характерные точки.
Из формулы
2
и из первого графика (рис. 3.1) видно, что раз-
yx
ным значениям аргумента соответствуют разные значения функции,
т. е. заданная функция однозначна. Чтобы найти обратную функцию,
разрешим уравнение
2
yx относительно
. Получим
.xy
Из данной формулы и из второго графика (рис. 3.2) видно, что каждому
54
значению
x
x
x
x
x
y
y
: равных по модулю и различных по знаку. Так как обратная
ной
функция должна быть однозначной, то на интервале
(0; )y
соответствуют два различных значения перемен-
(;)x
ная функция обратной не имеет.
Рис. 3.1 Рис. 3.2
задан-
Рассмотрим отдельно интервалы
(;0)x
и
(0; )x
. На этих ин-
тервалах графиком заданной функции являются соответственно левая
и правая ветви параболы. На этих же интервалах каждому значению переменной
тервале
соответствует единственное значение переменной
y
(;0)
заданная функция
0x
и
0x
. Это объясняется тем, что на данных участках функция
, на интервале
y
2
yx имеет две различные обратные функции для
(0; )
Следовательно,
.xy
: на ин-
ведет себя по-разному: на одном участке она убывает, а на другом возрастает. Графики обратных функций совпадают соответственно с левой и правой ветвями параболы.
Замечание. Для того чтобы функция имела обратную в области определе-
ния, необходимо чтобы функция в этой области была
Рассмотрим функции
обозначения: функцию обозначим через
x
чим функции
ными для функции
и
2
. Только графики этих функций симмет-
yx
,
y
y
y
x
. Эти функции также называются обрат-
монотонной.
и введем в них стандартные
, аргумент – через x. Полу-
ричны левой и правой ветвям параболы соответственно относительно биссектрисы первого координатного угла.
55
Обратные тригонометрические функции
x
x
у = arcsin x, у = arccos x, у = arctg x, у = arcctg x
1. Вспомним, как вводится функция
график.
Рассмотрим функцию
стве
является монотонной на всей области определения, поэтому для нее
нельзя найти единственную обратную функцию. На каждом участке
монотонности существует своя обратная функция. В частности функция
жутке
(;)xи принимает значения [1;1]y . Функция sinyx не
arcsinyx
x
является обратной для функции
;.
22
sin .yx
Эта функция определена на множе-
arcsinyx
и построим ее
sinyx
на проме-
Объясним подробно процесс нахождения
обратной функции
Рассмотрим функцию
зим ее график (см. график функции
Обратной для данной функции на заданном промежутке является
arcsin
функция
Значения функции
рого равен y.
График этой функции совпадает с графиком функции sin ,yx
x
ции и рассмотрим функцию
функция называется обратной функцией для
;
22
. Перейдем к стандартным обозначениям аргумента и функ-
y
;
sinyx
1; 1y
x
;
arcsin
y
arcsinyx
x
;
– это значение угла, синус кото-
;
sin ).yx
;
22
,
;
22
.
1; 1x
[1;1]y
y
;
sinyx
,
и изобра-
;
. Эта
22
x
;
22
56
и ее график симметричен графику функции
x
sinyx
,
относительно биссектрисы первого координатного угла.
x
;
22
Сложная функция
Определение. Сложной называется функция, полученная из про-
стейших элементарных функций с помощью суперпозиции функций.
Например, сложной функцией является функция
sin 3
57
.
sinvt
;
3.tx
ye
Эта функция получена в результате суперпозиции следующих функций:
u
; uv ;
ye
Элементарная функция
x
x
x
x
Определение. Элементарной называется функция, полученная из
простейших элементарных функций с помощью алгебраических операций и суперпозиции функций.
Например, элементарной является функция
y
Таким образом, функция является элементарной, если она задана одной формулой.
1tg2
arcsin .
x
1sin
Нахождение ОДЗ функции
Областью допустимых значений функции (ОДЗ) называется множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Для того, чтобы найти ОДЗ функции, необходимо знать области
определения простейших элементарных функций, из которых состоит
заданная функция.
Пример 3.1. Найти ОДЗ функции
Решение
ОДЗ функции
тельно для заданной функции должно выполняться неравенство
arccosyx
– это промежуток
112 1.x
Решив неравенство относительно
зом, ОДЗ заданной функции
[0;1]x
arccos (1 2 ).yx
, найдем
.
1; 1x
. Следова-
01
. Таким обра-
58
Исследование некоторых свойств
x
x
f
f
f
x
элементарных функций
1. Тождественность функций
Функции являются тождественными, если у них совпадают ОДЗ
и множества значений, принимаемых функциями.
Пример 3.2. Установить, какие из функций в заданных парах явля-
ются тождественными.
1
x
1
y
1.
2.
3.
y
1
1
1
1
2
lnyx ,
3
lnyx
,
,
Решение
В паре 1 функции не являются тождественными, так как у них не
совпадают ОДЗ (ОДЗ
В паре 2 функции также не являются тождественными, так как у них
не совпадают ОДЗ (ОДЗ
В паре 3 функции тождественны, так как у них совпадают и ОДЗ:
(ОДЗ
12
1
,;yy
; ОДЗ
2
2
2
.
2
1
2.ylnx
3ln .yx
1
:1yx
1
2
; ОДЗ
:0yx
; ОДЗ
:1yx
2
2
:0yx
).
).
и множества значений функций:
2. Четность и нечетность функций
Функция
лена на симметричном интервале
() ()
xfx
()yfx
называется четной (нечетной), если она опреде-
для четной функции и
(;)aa
и удовлетворяет неравенству
() ()
xfx
для нечетной функ-
ции.
График четной функции симметричен относительно оси 0Y, а график нечётной симметричен относительно начала координат.
Пример 3.3. Исследовать на четность и нечетность функции:
x
1
e
1)
() 2
42
xx x
; 2)
()fx x
59
3
2
; 3)
() .
fx
x
1
e
Решение
f
f
x
x
f
x
f
f
x
Для того чтобы исследовать функцию на четность и нечетность,
необходимо проверить два условия, сформулированные в определении.
Рассмотрим функцию
ричном промежутке
() 2
(;)
42
xx x
. Она определена на симмет-
и переменная x входит в функцию
только в четных степенях. Отсюда следует, что выполняется условие
() ()
xfx
. Значит функция четная.
Аналогично можно установить без каких-либо вычислений, что
функция
Рассмотрим функцию
ричная область
()fx x
3
является нечетной.
()
fx
(;0)(0;)x
x
1
e
. ОДЗ данной функции – симмет-
x
1
e
. Заменим в функции x на
(),
по-
2
лучим
xxxx
1(1) 1
eeee
() ().
xfx
xxxx
1(1) 1
eeee
Следовательно, данная функция является нечетной.
3. Периодичность функций
0T
.
()yfx
называется периодической, если существует та-
, что
XxTX
и выполняется равенство
Функция
кое число
()()fx Т fx
Пример 3.4. Исследовать на периодичность функции:
1)
2)
() sin
xx
() cosfx
2
, 3) () tg2.
1
,
xx
Решение
При решении данных задач воспользуемся тем, что тригонометрические функции синус, косинус и тангенс являются периодическими.
Период синуса и косинуса равен
период тангенса равен
2,
60
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]