Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа и моделирования. Учебное пособие
.pdf
Первый способ. Согласно правилу Саррюса имеем
123
det А = +
456
780
150 267 348
=
(7 5 3 8 6 1 0 4 2) 27.
123
–
456
780
=
Второй способ. Используя для вычисления определителя модификацию правила Саррюса, получаем
det А =
12312
45645
78078
150 267 348
=
(753 861 042) 27.
Третий способ. Применим правило Лапласа: разложим определитель по элементам первой строки, затем по элементам третьего столбца.
Значения алгебраических дополнений возьмем из примера 2.1.
det А =
aA aA aA
11 11 12 12 13 13
=
= 1(– 48) + 2ꞏ42 + 3(– 3) =27;
det А =
aA aA aA
13 13 23 23 33 33
= 3(– 3) + 6 ꞏ 6 + 0(– 3) = 27.
Пример 2.8. Вычислить определитель матрицы
51 4 1
14 15
D =
41 8 1
326 2
.
31
=
Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:
det D = (– 5) (– 1)
+ (– 4) (– 1)
1+3
= – 5ꞏ74 – (– 15) – 4
415
1+1
181
+ 1 (– 1)
26 2
145
41 1
+ 1 (– 1)
322
(– 31) – 33= – 370 + 15 + 124 – 33 = – 264.
115
1+2
481
362
14 1
1+4
41 8
326
+
=
Ответ: det D = – 264.
Вычисление определителей матрицы упрощается, если использовать свойства определителей:
det (AꞏB)= det A det B.
T
det A
= det A.
det (AꞏB)
T
= det A det B.
Определитель матрицы А равен нулю: det A = 0, если
есть нулевая строка (столбец);
две строки (два столбца) одинаковые;
соответствующие элементы двух строк (двух столбцов) пропорциональны.
Определитель сменит знак, если в матрице поменять местами две
строки (два столбца).
Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной
строки (столбца) прибавить соответствующие
элементы другой
строки (столбца), умноженные на некоторое одно и то же число.
ааа
11 12 13
ааа
21 22 23
ааа
31 32 33
ааа
11 12 13
=
а a а a а a
21 31 22 32 23 33
ааа
31 32 33
32
.
Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за
j
знак определителя
ааа
11 12 13
ааа
21 22 23
ааа
31 32 33
ааа
11 12 13
асасас
21 21 22 22 23 23
ааа
31 32 33
ааа
11 12 13
+
ссс
21 22 23
ааа
31 32 33
ааа
11 12 13
=
ааа
21 22 23
ааа
31 32 33
ааа
=
ааа
ааа
.
.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
+
Замечание 1. Обратите внимание на различие операций вынесения общего
множителя за знак
матрицы:
определителя:
11 12 11 12
аа аа
21 22 21 22
аа аа
11 12 11 12
аа аа
21 22 21 22
,
2
.
аа аа
Замечание 2. Вычисление определителей третьего и более высокого поряд-
ков упрощается, если разложение проводится по строке (столбцу), содержащей
наибольшее число нулей. Свойство 6 позволяет получить элементы определителя, равные нулю.
Замечание 3. Наиболее просто вычисляются определители треугольных
матриц. Для любой треугольной матрицы
нию диагональных элементов, т. е. det
det [Diag (
aaa a
11 22 33
...
nn
aaa a
)] = =
11 22 33
А её определитель равен произведе-
А = =
...
nn
aaa a
11 22 33
.
...
, в частности
nn
Для упрощения записи в дальнейшем при вычислении определителей будем обозначать:
а
– i-я строка,
i
33
b
– j-й столбец. Запись
()
а lа
mn
понимается так: к строке
а
прибавить строку
m
,nа
умно-
женную на число . Аналогично понимается запись и для столбцов
blb
mn
.()
Пример 2.9. Вычислим определитель матрицы D из примера 2.3,
применив свойства определителей.
Разложим
определитель
=
по элементам
второго столбца
=
Dbb
det –
24
50 41
1115
42 8 1
3062
541
= (– 1) (– 1)
2+2
481
+ 2 (– 1)
362
в первом определителе ():
выносим общий
=
множитель 2 из ;
во втором ():bbb
11 2
разложим Δ
=
по элементам ;
Δпо элементамbb
2
221
:;
bb
:
аа
21 3
22
– 2 9(–1)
= (– 2)
3+2
1
1
23
1
= (– 2)
521
441
332
321
041
032
= (–2)(–3)(–1)
= 6(– 5)+18 (– 13) = – 264.
541
3+2
115
362
203
– 2
105
392
1+1
– 2
32
15
=
591
105
392
=
41
–
=
34
Пример 2.10. Вычислим определители матриц А, В, С, D:
2100
12 10
А =
012 1
00 12
; В =
14 2 3
01 3 5
00 9 19
00 0 19
;
2913
0300
С =
2511
0 710
; D =
1021
0413
0051
0001
.
а) Для вычисления det А используем формулу (2.1) разложения определителя, например по первой строке (поскольку
210
det А = 2 (– 1)
1+1
12 1
012
+ (– 1)ꞏ( – 1)
0,a
13
110
1+2
02 1
012
0a
14
):
.
Первый определитель в правой части последнего равенства вычисляем по правилу Саррюса, а второй – по правилу Лапласа разложением
по элементам первого столбца. Получаем (проверьте!)
det А = 2 (8 – 2 – 2) +1 (– + 1) = 8 – 3 = 5.
б) Поскольку матрица В треугольная, то det В = 1ꞏ1ꞏ9ꞏ19 = 171.
Ответы: det С = – 24; det D = 20.
Пример 2.11. Не вычисляя определитель, доказать, что он равен
нулю.
123
а)
456
789
; б)
34 5
87 2
218
2110
012 1
; в)
3123
3161
35
.
123
а)
456
789
Вынесем число 3 общий
множитель элементов третьего
=
столбца за знак определителя
121
=
34 5 2
=
783
=
аа
31
=
7
4
аа
21
12 1
30 3 2
064
Вынесем число 2 общий
множитель элементов третьей
=
строки за знак определителя
12 1
=
320 3 2
032
Указание. Примените преобразования б) а
= [применяем свойство 4:
– а3; в) а3 – а4.
2
]аа
23
= 3ꞏ2ꞏ0 = 0.
Пример 2.12. Вычислить определители матриц А, В по правилам
Саррюса, Лапласа и применив свойства определителей.
12 2
а) А =
534
16 5
; б) В =
412
311
212
.
а) По правилу треугольника
det A =
+ 5 6 (
12 2
534
16 5
1) – ( 2) ( 3) ( 1) – 1 4 6 – 2 5( 5) = 21.
= 1 ( 3) ( 5) + + 2 4 ( 1) +
=
По правилу Лапласа, используя разложение по элементам первой
строки,
det А =
12 2
534
16 5
= 1(15
34
= 1
65
– 2
54
+
15
24) – 2( 25 + 4) – 2(30 – 3) = 21.
36
(2)
53
16
=
Применим сначала свойства определителей, а затем правило
–
А
А
A
Лапласа:
det А =
[выносим 3 из
120
()вв
32
531
161
120
]а
3
230
2
161
=
()–аа
23
разложим
по элементам
=
столбца в
120
690
161
12
= 3
23
3
=
= – 21.
Ответ: а) det А = – 21, б) det В = 6.
В линейной алгебре матрицы являются аналогами чисел обычной
алгебры, поэтому наряду с понятием обратного числа существует понятие
обратной матрицы. Отметим, что это понятие вводится только для
невырожденных матриц, определители которых не равны нулю.
1
,
Обратной к матрице А (det А 0) называется матрица
если вы-
полняется равенство
–1 –1
АААЕ
.
Заметим, что из существования обоих произведений следует, что
матрица А должна быть квадратной, а следовательно, и обратная матрица будет квадратной того же порядка.
1
Приведем формулу для вычисления А
–
:
37
...
...
...
n
n
AА
, (2.2)
T
.()
АA
ij
AA A
11 21 1
AA A
11
1
det det
где
– матрица, присоединенная к матрице А:
12 2–22
... ... ... ...
AA
AA A
12
nn nn
Свойства обратной матрицы:
A
A
1
1
1) (АВ)
Т
2) (А
)
–
1
–
= В
= (А
1
–
–
ꞏА
; 4) (А–1)–1 = А;
1)Т
–
; 5) det (А–1) =
1
.
det
–1
–1·А–1
3) (λА)
= λ
Приведем алгоритм вычисления А
;
–1
.
____________________________________________________________
Алгоритм 4
Вычисление обратной матрицы
Шаг 1. Вычисляем det A. Если det A = 0, то обратной матрицы не существует.
Если det A 0, то обратная матрица определена, переходим к шагу 2.
ааа
11 21 31
Шаг 2. Транспонируем матрицу А: А
Т
=
ааа
12 22 32
ааа
13 23 33
.
Шаг 3. Вычисляем алгебраические дополнения
транспонирован-
ij
ной матрицы:
аа
11
12
13
=
= –
=
22 32
аа
23 33
аа
21 31
аа
23 33
аа
21 31
аа
22 32
; А21 = –
; А
22
; А
23
А
А
А
Шаг 4. Составляем обратную матрицу А
Шаг 5. Делаем проверку: умножаем построенную матрицу А
данную матрицу А. Если А
–1
ꞏ А = Е, то матрица А–1 найдена верно.
аа
аа
аа
11 31
=
аа
13 33
аа
= –
аа
38
12 32
13 33
11 31
12 32
; А31 =
; А
; А
–1
по формуле (2.2).
32
33
= –
=
аа
12 22
аа
34 23
аа
11 21
аа
13 23
аа
11 21
аа
12 22
;
.
–1
;
на
Пример 2.13. Представим в общем виде обратную матрицу через
A
A
A
элементы невырожденной матрицы второго порядка.
Пусть А =
А a
А
122 1
–1
det
11 12
aa
21 22
, поэтому
aa
1
22 12
aa
21 11
, тогда А11 =
AA
A
AA
.
11 21
12 22
a
, A12 = –
22
aa
=
22 12
aa
21 11
a
21
. Следовательно,
, A21 = –
aa
Проверка:
aa
=
1
АА
1
det
1
det
aa aa aa aa
11 22 12 21 22 12 12 22
aa aa aa aa
21 11 11 21 21 12 11 22
22 12
aa
21 11
aa
11 12
aa
21 22
=
=
a
,
12
aa aa
=
aa aa
11 22 12 21
1
Пример 2.14. Найти А
12 2
а) А =
534
16 5
Используем
алгоритм 4.
11 22 12 21
0
–1
, если:
12 3
; б) А =
21 2
11 4
0
aa aa
11 22 12 21
.
10
=
01
.
Шаг 1. Из примера 2.7 det A = – 21.
15 1
39
Т
А
236
24 5
Шаг 2. Транспонируем матрицу А:
.
Шаг 3. Вычисляем алгебраические дополнения:
А
11
12
А
13
65
54
–А
15
53
16
= – 9;
= 21;
= 27;
А
А
21
22
23
22
–А
65
12
15
12
–
16
= –7;
34
Шаг 4. Составляем обратную матрицу:
= –2;
= –8;
–1
А
А
А
31
32
33
1
21
22
34
–А
= 2;
12
= – 14;
54
12
= – 13.
53
922
21 7 14
27 8 13
.
Шаг 5. Проверяем, верно ли нашли обратную матрицу:
11
AA A A E
922
1
1
AA
9 1 2 5 1 2 9 2 2( 3) 2 6 9( 2) 2 4 2( 5)
21 1 7 5 14 ( 1) 21 2 7( 2) 14 6 21( 2) 7 4 14( 5)
27 1 8 5 13( 1) 27 2 8( 3) 13 6 27 ( 2) 8 4 13( 5)
21 7 14
21
27 8 13
12 2
534
16 5
1
=
21
=
Ответ: б) А
21 0 0
1
=
1
–1
=
11
0210
21
65 7
10 1 8
11 3
0021
.
40
100
=
010
001
= Е.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]