Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического анализа и моделирования. Учебное пособие
.pdf
Пример 2.15. Вычислим обратные матрицы, показав при этом, что
для треугольной матрицы обратная также треугольная, для симметрической – симметрическая, для диагональной – диагональная.
26 1
а) А =
03 1
00 4
Ответы: а) А
в) С
; б) В =
12 24 9
1
08 2
24
006
10 0
01/2 0
001/3
–1
–1
=
=
210
131
015
; б) В
.
Задания для самостоятельного решения
1. Вычислите определители разными способами.
12
а)
34
314
г)
423
201
; б)
; д)
14
; в)
52
21 0
10 3
05 1
е)
, в) С =
–1
=
300
21 8
123
510
16 0 3
10 5 1
100
020
003
1
23
.
14 5 1
510 2
125
;
;
;
25 0
ж)
116 3
010 1
300
к)
050
002
; з)
.
21 5
1016
0510
41
; и)
101
023
005
;
2. Убедитесь в справедливости свойств 1 – 8 определителя для мат-
риц.
12
А =
46
; В =
53
; С =
21
123
426
789
; D =
13 2
34 2
220
3. Вычислите обратные матрицы:
12 2
12
а)
34
; б)
73
21
; в)
21 2
221
.
;
322
г)
11 1
02 1
200
ж)
050
003
; д)
.
21 0
10 3
05 1
; е)
432
023
032
Системы линейных алгебраических уравнений.
Решение крамеровских систем линейных
алгебраических уравнений: а) с использованием
формул Крамера; б) с использованием обратной
матрицы; в) методом Гаусса.
Решение однородных систем второго порядка
Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными:
ax ax ax b
11 1 12 2 1 1
ax ax ax b
21 1 22 2 2 2
.....................................................
ax ax ax b
11 2 2
mm mnnm
...
nn
...
nn
... .
(3.1)
;
42
...
ххх
...
...
a
...
n
2
n
; X =
1
2
; В =
.
n
b
1
b
2
.
.
b
m
или AX = B, где
aa a
11. 12 1
aa
21 22
A
... ... ...
aa a
12
mm mn
А – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных (матрица
системы), Х – вектор-столбец неизвестных, В – вектор-столбец свободных членов.
Система (3.1) называется
имеет хотя бы один элемент, не равный нулю, и
элементы
b
= 0 (k = 1, m ) (система (3.1) имеет вид AX = 0).
k
неоднородной, если вектор-столбец В
однородной, если все
Решением системы (3.1.) называется вектор-столбец
с
1
с
2
С =
, если AC = B или
.
с
n
Система (3.1) называется
решение, и
несовместной, если решения не имеет.
Совместная система называется
шение, и
неопределенной, если имеет бесконечное число решений.
a с a с a с b
11 1 12 2 1 1
a с a с a с b
21 1 22 2 2 2
....................................................
a с a с a с b
11 2 2
mm mnnm
совместной, если она имеет хотя бы одно
определенной, если имеет одно ре-
...
nn
...
nn
... .
.
Заниматься анализом условий, приводящих к каждой из возможностей (одно решение, бесконечно много решений, решение отсутствует),
мы не будем.
Рассмотрим способы нахождения решений только
(
определенных) систем, в которых:
число уравнений равно числу неизвестных (в системе (3.1) m = n);
определитель матрицы системы не равен нулю.
крамеровских
Опишем три способа нахождения решения системы (3.1): метод
Гаусса, с помощью формул Крамера и с использованием обратной матрицы.
43
Первый из способов универсален, так как справедлив при любых со-
х
х
х
х
х
х
отношениях m и n: m n, m = n, а два других можно применять только
тогда, когда m = n и det A 0.
Формулы Крамера для системы
ax ax ax b
11 1 12 2 1 1
ax ax a x b
21 1 22 2 2 2
... ... ... ... ... ... ...
....
ax a x a x b
11 2 2
nn nnnn
... ;
nn
... ;
nn
(3.2)
имеют вид
i
x
где = det А,
i
т. е.хх
(i= 1, n ) – определители матриц, полученные из мат-
i
рицы А заменой элементов
1
1
-го столбца на элементы столбца В – сво-
i
,
х
2
, …,
2
х
n
n
, (3.3)
бодных членов.
... ...
ааba
Например, х
11 1, 1 1 1
aaba
21 2, 1 2 2
=
k
... ... ... ... ... ...
aaba
1,1
nnknnn
kn
... ...
... ...
kn
.
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений заключается
в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы, которые приводят
систему к
эквивалентной исходной (имеющей с исходной системой
одно и то же решение).
Приведем алгоритм решения систем методом Гаусса.
Замечание. Однородная крамеровская система AX = 0 имеет только нуле-
i
вое решение, т. е.
х
i
= 0, поскольку все
= 0.
i
44
Алгоритм 5
х
AAХ
Е
Х
Решение крамеровских систем методом Гаусса.
Шаг 1. Составляем расширенную матрицу АВ присоединением
, , ..., :
к матрице системы столбца из свободных членов
aa a b
11 12 1 1
aa a b
21 22 2 2
А
В =
aa a b
12
nn nnn
n
n
bb b
12
.
n
Шаг 2. Приводим матрицу А
В к ступенчатому виду с помощью эле-
ментарных преобразований
aa
11 12
0
a
А
В
22
00
ab
ab
ab
11
n
22
n
nn n
.
Шаг 3. Составляем эквивалентную систему, соответствующую матрице, полученной на шаге 2 (прямой ход метода Гаусса).
Шаг 4. Единственное решение системы получаем обратным ходом
метода Гаусса, решая эквивалентную систему начиная с последнего
.
уравнения, в котором вычислим
n
Шаг 5. Делаем проверку.
Систему (3.2) можно записать в матричном виде: AX = B. Если
det A 0, то существует А
11
–1
, тогда
АВ
1
ХА В
1
АВ
.
Для нахождения решения системы (3.2) с помощью обратной матрицы можно применить алгоритм.
45
Алгоритм 6
xxх
х
Решение системы АХ = В с помощью обратной матрицы.
Шаг 1. Находим обратную матрицу А–1 для матрицы системы А.
Шаг 2. Умножаем обратную матрицу на матрицу-столбец свобод-
ных членов
Х = А
Полученный вектор-столбец – искомый набор неизвестных.
Шаг 3. Делаем проверку.
Пример 2.16. Решить систему линейных уравнений:
1) методом Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса:
227
xxx
123
53 4 5
xx x
а)
12 3
6516
xxx
123
; б)
а) выписываем матрицы:
–1
В. (3.4)
xx x
12 3
xxx
123
xx x
123
28
20
3.
12 2
А =
534
16 5
, В =
7
, Х =
5
16
1
.
2
3
1) Воспользуемся формулами Крамера (3.3).
Предварительно вычислим все определители det А и
12 2
det А = =
534
16 5
34
=1
65
54
– 2
46
15
+
(2)
(i = 1, 2, 3):
i
53
= – 21,
16
х
х
х
х
х
х
x
x
x
Х
xxх
А
x
x
x
Х
=
1
72 2
16 6 5
534
= – 21,
17 2
=
554
2
116 5
= – 42,
=
3
127
535
1616
= 21,
х
1
2121
1
=
= 1,
х
2
4221
2
=
= 2,
х
3
21
3
=
= – 1.
21
Проверка выполняется обязательно для всех уравнений системы:
1222(1) 7,
51 32 4( 1) 5,
1625(1)16.
Ответ:
= 1;
1
= 2;
2
= – 1 или
3
2) Решим систему с помощью обратной матрицы
ритм 6
.
Т
= (1, 2, –1).
, применив алго-
Шаг 1. Найдем обратную матрицу (воспользуемся результатами
примера 2.9):
922
1
–1
А
21 7 14
21
27 8 13
;
Шаг 2. Используем формулу (3.4)
Х =
1
=
2
3
92 2
1
1
В
=
21 7 14
21
27 8 13
7
=
5
16
1
21
21
42
21
1
=
2
1
.
Шаг 3. Проверка сделана в пункте 1).
Ответ:
= 1;
1
= 2;
2
= – 1 или
3
47
Т
= (1, 2, – 1).
3) Решим систему методом Гаусса. Для этого выпишем расширен-
х
х
х
х
х
x
x
x
Х
x
x
x
ную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (прямой ход
метода Гаусса) с помощью элементарных преобразований со строками
этой матрицы:
1227
А|В =
5345
16516
122 7
0131440
0 0 21 21
1227
0131440
08723
1227
0131440
0011
.
Полученная треугольная матрица соответствует системе
227,
xxx
123
13 14 40,
xx
23
x
3
1.
Обратным ходом метода Гаусса найдем все неизвестные. Из последнего уравнения находим
.
дим
Подставляя
2
227,
xxx
123
13 14 40,
xx
23
;
подставляя его во второе уравнение, нахо-
3
и
2
x
в первое уравнение, находим
3
x х x
132
xx
23
x
3
3
1;
72 2,
1
(40 14 ) 2,
13
1.
.
1
= 3.
3
Т
= (1, 2, – 1).
Ответ:
= 1;
1
Ответ: б) = – 9;
= 2;
2
=
1
= – 1 или
3
= 1,
2
48
Пример 2.17. Найти решение системы
х
20,
х y
а)
420;
х y
20
х y
а)
42 0
х y
Пусть х = с y = 2c X =
Пусть с = 1, тогда частное решение (одно из множества), определя-
ющее направление прямой 2х – у = 0, равно
Ответ: Х = с
Ответ: б) Х = с
б)
20х y
1
, х = (1; 2).
2
1
1
х y
220.
, х= (1; – 1) или Х = с
х y
.
= c
2сс
0,
1
.
2
= (1; 2) или Х =
11
, х = (– 1; 1).
Задания для самостоятельного решения
1. Решите системы линейных уравнений:
1
.
2
а), в), г), ж) – методом Гаусса;
а), б), в) д), е) – используя формулы Крамера и обратную матрицу.
25,
xy
316,
xz
а)
510;
yz
44550,
хххх
1234
23 10,
ххх
134
г)
хх х
12 3
321;
хх
23
б)
510,
35 8,
xy
27 9;
xy
д)
49
в)
43240,
xyz
62310,
xyz
53230;
xyz
xyz
52320,
xyz
2250,
xyz
342100;
28,
xxx
123
е)
32 10,
xxх
123
43 2 4;
xx x
123
ж)
22,
xyz
23 1,
xyz
323.
xyz
.
2. Решите однородные системы линейных уравнений и постройте
вектор, указывающий направление прямой:
20,
xy
а)
240;
xy
б)
20,
xy
420;
xy
в)
30,
xy
620.
xy
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]